Лауреат премии Абеля 2014 г. — Я.Г.Синай
Как известно, личные проблемы Альфреда Нобеля в отношениях с математикой (математиком) лишили «царицу всех наук» заслуженной номинации среди прочих дисциплин Нобелевской премии. Эта несправедливость была устранена лишь в XXI в., когда правительство Норвегии в 2002 г. учредило Абелевскую премию (англ. Abel Prize) по математике. Свое название она получила в честь знаменитого норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, чье двухсотлетие отмечалось в том году. Собственно, саму идею этой премии продвигал еще сто лет назад другой норвежский математик, Софус Ли, но его смерть и политические пертурбации в Норвегии помешали реализовать ее. А теперь, начиная с 2003 г., премия, размер которой оставляет 6 млн норвежских крон (750 тыс. евро, или 1.06 млн долл. США), присуждается ежегодно. Лауреата премии Абеля, быстро завоевавшей признание как аналог Нобелевской, определяет международный комитет из пяти крупнейших математиков, назначенных Международным математическим союзом и Европейским математическим обществом. Норвежская академия наук и литературы объявляет лауреата и вручает премию в Атриуме юридического факультета Университета Осло, где прежде вручалась Нобелевская премия мира. В этом году лауреатом уже во второй раз стал наш соотечественник, академик Я.Г.Синай (первый — М.Л.Громов). Поэтому, хотя математика и не входит в число наших постоянных рубрик, редакция не смогла пропустить такое событие.
Двадцать шестого марта в Осло президент Норвежской академии наук объявил имя лауреата премии Абеля за 2014 г. Им стал выдающийся ученый, представляющий Россию и США, Яков Григорьевич Синай «за фундаментальный вклад в изучение динамических систем, эргодическую теорию и математическую физику». Торжественное вручение премии состоялось 20 мая.
Ученик Колмогорова
Я.Г.Синай родился в Москве 21 сентября 1935 г. в семье микробиологов. В 1957 г. окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, Я.Г.Синай там же защитил кандидатскую (1960), а вскоре и докторскую (1963) диссертации. С 1971 г. сотрудничает с Институтом теоретической физики им.Л.Д.Ландау, оставаясь на своей должности и теперь, хотя с 1993 г. является профессором математики Принстонского университета (США, штат Нью-Джерси). В 1991 г. избран действительным членом РАН.
Яков Григорьевич — один из самых знаменитых учеников Андрея Николаевича Колмогорова, ученика Николая Николаевича Лузина, который был основателем московской математической школы, разросшейся подобно могучему раскидистому древу. Колмогоров по праву считается одним
из самых выдающихся не только математиков, но и ученых ХХ в. Он вырастил свою громадную школу, в которой кроме Синая прославились многие академики и профессора (назовем лишь одного из них — Владимира Игоревича Арнольда). Создал свою совершенно замечательную школу и Яков Григорьевич, а многие его последователи — свои, став профессорами в разных университетах (один, но очень наглядный пример — филдсовский лауреат Григорий Александрович Маргулис). Синай — выдающийся педагог. Он сохраняет присущий русской математической школе принцип дарения, идущий от его учителя Колмогорова: наставник щедро дарит свои идеи ученикам. В ситуации, когда западные ученые обычно публикуют совместные статьи со своими учениками, и это справедливо (постановка задачи и идея решения часто бывает решающим вкладом), русская традиция состоит в том, чтобы эту постановку и начальный импульс ученику дарить. И Синай, без преувеличения, — очень щедрый даритель.
В последнее время Яков Григорьевич в основном воспитывает учеников в Принстонском университете. Математический факультет Принсто-на — один из величайших математических факультетов мира, где работает много филдсовских лауреатов. И Синай в этой математической гвар-
дии занимает почетное место. Но каждую весну и лето Синай возвращается в Россию, и тогда интенсивно работает его Московский летний семинар, имеющий уже многолетнюю историю.
Как известно, Колмогоров внес фундаментальный вклад в самые разные области математики. Особенно знамениты его труды по теории вероятностей и динамическим системам. На стыке этих двух областей с математической физикой и работает всю жизнь Яков Григорьевич.
Детерминизм и вероятность
Теория вероятностей изучает случайные события. Например, вы подбрасываете монетку и случайно выпадают орел или решка. Один из главных результатов теории вероятностей — закон больших чисел, доказанный Колмогоровым. Он состоит в том, что в среднем число выпаданий орла или решки при большом числе испытаний будет одинаковым. Но последняя фраза еще далека от строгой математической формулировки. Одно из главных достижений Колмогорова состояло в том, что этому наивному утверждению он придал точный математический смысл, а затем доказал то, что получилось.
Теория дифференциальных уравнений, или динамических систем, на первый взгляд занимается противоположными задачами. Она исследует так называемые детерминированные, вполне предсказуемые процессы. Исаак Ньютон был первым, кто понял, что дифференциальные уравнения описывают большинство процессов, происходящих в природе с течением времени — например, полет планет. С помощью созданной им теории таких уравнений Ньютон описал вращение планет вокруг Солнца и, в частности, доказал открытые ранее на опыте законы Кеплера, включая и то, что все планеты движутся вокруг Солнца по плоским орбитам, имеющим форму эллипса.
В конце ХVШ в. математики начали понимать, что дифференциальные уравнения обладают так называемым свойством единственности решений. Если мы знаем в какой-то момент времени состояние процесса (например, положение планеты и ее скорость), мы можем предсказать в бесконечное время в будущем, а также реконструировать на бесконечное время в прошлом судьбу этой планеты, ее полет, траекторию.
Более того, Пьер Лаплас понял, что этот же принцип детерминизма относится не только к движению планет, но и к движению микроскопических объектов, например молекул. Свойство единственности решений дифференциальных уравнений универсально. И в своем трактате о теории вероятностей Лаплас написал: «Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных час-
тей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движение величайших тел Вселенной наравне с движениями легчайших атомов; не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы пред его взором».
Это гораздо больше, чем математический результат. Это философия, которая осмысливает развитие всей Вселенной вокруг нас, — лапласов-ский детерминизм. Философия, несмотря на патетику Лапласа, довольно унылая. Она состоит в том, что мы живем в мире, в котором все предсказано. Если бы некий великий ум знал начальные скорости и положения всех молекул и всех остальных тел во Вселенной, он бы спокойно предсказал будущее и восстановил прошлое.
Но такого великого ума не существует. А главное — последующее развитие науки эту философию опровергло. В XIX в. казалось, что нет более противоположных ветвей математики, чем дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Но развитие математики в ХХ в. показало, что это две тесно переплетенные области. И в понимание этих связей, которые изучает так называемая эрго-дическая теория, Синай внес решающий вклад.
Но сначала вспомним о некоторых юношеских работах Синая.
Ранние работы: энтропия
Ричард Фейнман писал, что многообразие законов природы не является удручающе необозримым. Происходит это оттого, что разные процессы описываются одними и теми же математическими формулами. То же самое можно сказать и о дифференциальных уравнениях. Их разнообразие кажется совершенно бесконечным, но только на первый взгляд — существует подход, который позволяет многие дифференциальные уравнения считать одинаковыми. Грубо говоря, такие уравнения получаются друг из друга заменой координат, и потому, несмотря на внешние различия, имеют глубокое внутреннее сходство и почти тождество. Возникает вопрос: как узнать, одинаковы ли два дифференциальных уравнения? Чтобы ответить на этот вопрос, математики изучают так называемые инварианты. Это некие характеристики дифференциальных уравнений, которые не меняются, когда мы делаем замены координат. Если мы увидели два дифференциальных уравнения, непохожих на вид, и инвариант, который мы открыли, вычислен для них и принимает разные значения, значит, никакие замены координат превратить одно уравнение в другое не могут.
Кроме дифференциальных уравнений есть еще отображения. Если функция сопоставляет одним числам другие, то отображение сопоставляет одним точкам другие. Например, в школе изучают
отображения плоскости — повороты, переносы, растяжения, но можно изучать гораздо более сложные отображения плоскости, например, взять прямую комплексных чисел: г = х + гу и рассматривать отображения р(г) = г2 или р(г)= г2 + с. Динамические системы изучают не только дифференциальные уравнения, но и итерации (последовательное применение) отображений. Написать итерационный квадрат отображения р — все равно что взять отображение р и применить его не к г, а к образу точки г под действием отображения р: р2(г) = р(р(г)). Хорошее упражнение — написать, какой многочлен и какой степени при этом получится. В теории динамических систем рассматривается отображение р, примененное к раз, и исследуется, что происходит с точкой:рк(г), к = 1, 2..., когда к стремится к бесконечности..
В теории отображений очень популярен так называемый сдвиг Бернулли, который можно понимать как математическую формализацию истории бросания монеты. Мы бросаем монету и записываем выпадания орлов и решек. Теперь представьте себе, что мы кидаем не монету, а, скажем, шестигранную кость. И она выпадает на одну из шести граней. Мы записываем историю этих бросаний. Глядя на получившиеся последовательности, легко придумать отображение (так называемые отображения сдвига на одну позицию), которое
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.