ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 6, с. 105-123
СЛОЖНЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ КОМПЛЕКСЫ
УДК 338.24
ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОЕКТА ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ НА ПОКАЗАТЕЛЬ ЕГО НАДЕЖНОСТИ
© 2014 г. В. В. Топка
Москва, ИПУ РАН Поступила в редакцию 30.04.13 г., после доработки 10.01.14 г.
Для анализа и оценки неопределенности результатов инновационного проекта он рассматривается как сложная техническая система, в которой степень достижения заданных тактико-технических характеристик разработки моделируется кумулятивной вероятностью ее технического успеха. Показано, что указанная вероятность подчиняется закону Вейбулла. Эта вероятность безотказного исполнения работы проекта служит показателем надежности работы и позволяет получить оценку снизу гарантированной надежности всего проекта. Двухкрите-риальная задача (время, стоимость) представляется в виде минимизации по последовательно применяемым критериям, реализуя лексикографический метод упорядочивания решения задач векторной оптимизации. Для однокритериальных выпуклых задач, исходные данные которых известны неточно, применяется регуляризованный метод их решения. Разработанная модель и метод решения двухкритериальной задачи используются для создания интегрированной системы планирования инновационных проектов.
DOI: 10.7868/S0002338814040131
Введение. Вопросам управления проектами посвящено большое число публикаций, создано немало программных систем, которые определяют оптимальный календарный план или стоимость проекта. Еще в конце 50-х гг. прошлого столетия была разработана система PERT [1], в основе которой лежит детерминированная сетевая модель с конъюнктивной логикой, представление работ в виде Activity-on-Arc, а для моделирования неопределенности в продолжительности выполнения работ выбрана одна из функций непрерывно распределенных случайных величин — бета-распределение, которое имеет значение в таких задачах, когда не требуется знания закона распределения вероятности случайной величины. Такой подход получил воплощение в современных программных системах управления проектами. Однако данная методика имеет определенные недостатки [2, с. 445]:
1) трудно объяснить, что продолжительности работ являются независимыми величинами;
2) реальные продолжительности работ могут и не подчиняться бета-распределению;
3) предположение, что критический путь, найденный методом критического пути, всегда будет критическим путем проекта, может быть необъяснимым.
Рассмотрим способы анализа неопределенности результатов инновационных проектов. Для учета неопределенности, возникающей при реализации проектов исследований и разработок в условиях рынка, применяется подход, который рассматривает такой проект как реальный опцион. Выделяют пять типов неопределенности в исследованиях и разработках: требования рынка, рыночные выплаты, выпуск продукта, бюджеты проекта, расписания проекта. Для анализа указанной неопределенности в [3] предлагается использовать подход на основе реальных опционов. Общий подход для оценки волатильности стоимости проекта — это использовать метод Монте-Карло. Для стохастических моделей стоимости проекта [4] связь с волатильностью стоимости реального опциона хорошо известна. Согласно [5], когда волатильность возрастает от 10 до 30%, стоимость реального опциона варьируется до 210%, настолько важна точная оценка параметра волатильности для моделей реального опциона.
Другой подход к анализу неопределенности результатов проекта — использование нечетких множеств. В [6] предложен метод нечеткого критического пути, который сформирован на основе расчета нечеткого множества критических работ, нечеткого множества критических путей, нечеткого резерва выполнения некритических работ, анализа рискосодержания проекта. Расчет
критического пути с нечеткими оценками продолжительностей работ использует расширенные операции сложения, вычитания, взятия минимума и максимума, которые представляют собой основу теории мягких вычислений. Реализация мягких вычислений предложенного метода нечеткого критического пути позволяет найти характеристики проекта, выраженные нечеткими числами, сопоставить и усовершенствовать проекты, создает условия для управления проектом на основе нечетких данных подобно тому, как это делается в теории сетевого планирования и управления (СПУ). Также обобщение метода критического пути (МКП) с использованием нечетких данных для продолжительностей работ представлено в [7]. К тому же и календарное планирование проектов может выполняться [8] на основе нечетких временных отношений. Другой способ календарного планирования [9], который интегрирует нечеткую логику и многокритериальное принятие решений, принимает во внимание не только продолжительности задач, но также дополнительные критические параметры: вариабельность продолжительности, стоимости, распределенные ресурсы, риск крупного пересмотра проекта и внешние риски. Все эти параметры рассчитываются для того, чтобы определить результирующий критический путь. Для нечетких продолжительностей работ в [10] предложен эвристический метод решения RCPSP (Resource Constrained Project Scheduling Problem) — задач календарного планирования с ограниченными ресурсами, который основан на правиле приоритета для параллельной схемы генерирования расписания.
В имеющихся на рынке информационных системах управления проектами неопределенность параметров проекта учитывается посредством таких характеристик, как количественная оценка риска расписания (Risk of Schedule) и риска стоимости (Risk of Cost), которая производится на основе моделирования методом Монте-Карло. Для анализа параметра риска выполнения (Risk of Performance) работ и всего проекта, для которого аппарат его анализа не разработан, будем исходить из учета показателя надежности работ и проекта. Для этого разрабатывается сравнительно новый подход [11—14] на основе понятий теории надежности технических систем [15, 16], в котором сетевой проект рассматривается как сложная техническая система, а для оценки неопределенности в выполнении работы (неисследованный параметр Risk of Performance) применяется кумулятивная вероятность технического успеха работы (степень достижения заданных тактико-технических характеристик (ТТХ) разработки) — вероятность безотказной работы. Вероятность выполнения работы к некоторому времени характеризует возможность достижения определенных технических показателей результата работы при условии, что предшествующие работы, обеспечивающие ее начало, выполнены. Указанную вероятность безотказного исполнения при выполнении работ проекта примем за показатель их надежности.
В статье будет рассмотрена задача минимизации времени и стоимости инновационного проекта — двухкритериальная задача планирования детерминированного сетевого проекта с конъюнктивной логикой AND в представлении работа-узел при ограничении на оценку снизу показателя гарантированной надежности проекта. При двух индикаторах проекта — времени и стоимости — нахождение эффективного решения (например, по Джоффриону, по Борвейну, по Парето, по Слейтеру) выглядит менее предпочтительным, чем попытка рассмотреть задачу векторной оптимизации путем решения однокритериальных задач. Среди таких методов, согласно методу идеальной точки, скажем, ищется минимально возможное значение по каждому i-му
критерию, которое определяется линиями уровня функции надежности f \u) < 0. Достигать минимально возможного значения функции двух переменных только по одной переменной без учета соответствующих ей значений второй переменной — это в нашем случае выглядит нереальным. А сама идеальная точка будет нереализуемой так же, как и точки, минимизирующие евклидово расстояние до нее.
Специфика задач сетевого планирования состоит в том, что, минимизируя критический путь проекта, в котором продолжительности работ увязаны с прямыми затратами на них, мы обозначаем множество допустимых значений стоимости проекта. И поэтому ни метод главного критерия, ни метод свертывания критериев, ни последовательных уступок, ни "разности оценок альтернатив" не соответствуют в такой степени задаче распределения ресурсов при календарном планировании на сетевой модели инновационного проекта, как способ, при котором определяется минимальный критический путь, после чего "ужимается" допустимая стоимость проекта, что есть оптимизация по последовательно (в порядке важности) и с учетом допускаемой спецификой задачи ситуации, применяемым критериям — реализация известного метода лексикографического упорядочивания.
1. Модель показателя надежности работы. В [17] изложены результаты вычислительного эксперимента по имитационному моделированию некоторого иллюстративного проекта. В статье
Общая стоимость [1000 USD]
Рис. 1. Имитационное моделирование кумулятивной вероятности технического успеха работы
Рис. 2. Аппроксимация результатов вычислительного эксперимента функцией распределения нормальной случайной величины (пакет WEIBULL ++7). Прямая (Probability Line) теоретической функции нормального распределения и точки экспериментальных данных (Data Points) на вероятностной бумаге нормальной
дают три оценки для стоимости работы: наиболее вероятная, пессимистическая и оптимистическая, и выбирают распределение вероятностей: треугольное, Эрланга или их комбинацию. Генерируется случайное число от 0 до 1 и выбирают случайное значение стоимости каждой отдельной работы. Вычисляется значение суммарной стоимости. Процедуру повторяют 500 раз и получают относительную частоту появления соответствующей суммарной стоимости проекта, после чего строится кумулянта полученного распределенияp = p(U), в которой p(u) = Pr[U < u] — вероятность того, что стоимость проекта не превзойдет величины u (рис. 1).
Согласно центральной предельной теореме, если очень большое число взаимно независимых событий удовлетворяет условию Ляпунова (т.е. вклад каждого события ничтожно мал), то распределение их суммы близко к нормальному закону. При моделировании стоимости проекта, состоящего из некоторого ограниченного числ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.