Автоматика и телемеханика, № 1, 2014
Светлой памяти моего учителя Владимира Андреевича Якубовича
© 2014 г. С.В. ГУСЕВ, канд. физ.-мат. наук (Санкт-Петербургский государственный университет)
ЛЕММА КАЛМАНА - ПОПОВА - ЯКУБОВИЧА ДЛЯ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛЕЙ 1
Приводится обобщение леммы Калмана — Попова — Якубовича для случая, когда в качестве поля скаляров рассматривается упорядоченное поле, обладающее следующим свойством: если каждое значение многочлена от одной переменной есть сумма квадратов, то сам многочлен есть сумма квадратов многочленов. Такое поле названо полем, обладающим свойством сумм квадратов, или SOS-полем. SOS-полями являются, в частности, поля рациональных чисел, алгебраических чисел, вещественных чисел, рациональных дробей от нескольких переменных с коэффициентами из указанных полей. Доказано, что утверждение леммы об эквивалентности частотного и линейного матричного неравенств остается справедливым, если в качестве поля скаляров рассматривается SOS-поле. Приведен пример, показывающий, что в SOS-поле выполнение частотного неравенства не влечет разрешимости соответствующего алгебраического уравнения Риккати.
1. Введение
Лемма Калмана — Попова — Якубовича является одним из основополагающих результатов математической теории систем. Хотя с момента первой публикации [1], посвященной этому результату, прошло уже 50 лет, исследования различных обобщений леммы продолжаются и в настоящее время [2-5]. Актуальность опубликованных результатов подчеркивает тот факт, что публикация [2] в 2006 г. была удостоена приза как выдающаяся Отделением автоматического управления IEEE.
Появление новых обобщений леммы тесно связано с новыми методами ее доказательства, имеющего репутацию одного из наиболее трудных результатов в теории управления. Первые доказательства [1, 6, 7] использовали методы комплексного анализа. Дальнейшее развитие [8, 9], в том числе и в случае бесконечномерных систем [10, 11], лемма получила с использованием для ее доказательства методов оптимального управления. В [12] установлена связь леммы с задачами выпуклого программирования. Развитие этих идей привело к новой серии обобщений [2, 13-15].
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-00808).
Впервые вопрос о чисто алгебраическом доказательстве леммы был рассмотрен Р. Калманом в [16], где предложено алгебраическое доказательство существования решения уравнения Лурье в вещественном случае.
В данной статье предложено новое чисто алгебраическое доказательство, распространяющее лемму на поля, отличные от поля вещественных чисел, в котором лемма до сих пор только и рассматривалась. Предлагаемое обобщение преследует две цели. Во-первых, это обобщение позволяет выявить наиболее общую часть леммы — равносильность так называемого частотного неравенства и линейного матричного неравенства и показать, что третье утверждение леммы — разрешимость уравнения Лурье — может и не быть следствием первых двух. Во-вторых, предлагаемое обобщение распространяет лемму на поля рациональных дробей, что в практическом плане означает определение характера зависимости решения линейного матричного неравенства в случае, когда уравнение системы управления рационально зависит от параметров. Второй результат является продолжением исследований [17], где впервые рассмотрен вариант леммы в случае, когда матрицы системы зависят от параметров.
Интересно отметить, что обобщение на поля рациональных дробей базируется на знаменитом результате Артина [18], в котором дано решение 17-й проблемы Гильберта [19]. Таким образом, новое доказательство устанавливает связь леммы Калмана — Попова — Якубовича и 17-й проблемы Гильберта.
В качестве отправной точки приведем ставшую классической формулировку леммы Калмана — Попова — Якубовича [20, теорема 1.2.6].
Теорема 1. Пусть А € Мпхп, В € Мпх1 и С € 8Шп+1(Ш). Если пара (А, В) управляема, то следующие высказывания равносильны:
1.1. Неравенство
(1) («)*С(«)>0
выполнено при всех ш € М, х € Спх1, и € С, таких что
(2) 1шх = Ах + Ви;
1.2. Существует матрица Н € 8Шп(М), удовлетворяющая линейному матричному неравенству
п^(НА + А*Н НВ
(3) С ^ В*Н 0
1.3. Существуют матрицы Н € 8Шп(М), Н € Мпх1, удовлетворяющие уравнению
/ Л I НА + А* Н НВ 1 ,77
(4) С =( В*Н 0 )+ НН
*
Здесь М (С) — поле вещественных (комплексных) чисел; Мтхп (Стхп) — пространство вещественных (комплексных) матриц размера шхи;
пространство симметричных вещественных матриц размера п; 1 — мнимая единица, операция * означает транспонирование в вещественном случае и сопряжение в комплексном.
Высказывание 1.1 называется частотным условием, уравнение (4)— уравнением Лурье. Равносильность 1.1 и 1.2 была доказана В.А. Якубовичем [1], равносильность 1.1 и 1.3 — Р. Калманом [6]. Подробно с историей возникновения и доказательства леммы можно познакомится в [21].
Лемма Калмана — Попова — Якубовича тесно связана с вопросом о существовании решений алгебраического уравнения и неравенства Риккати. Представим матрицу С в блочной форме: С = ( Схх ), где Схх <
У Сих Сии У
Схи € Мпх1, Сих € М1хп, Сии € М. Пусть Сии > 0, тогда утверждение 1.2 равносильно следующему утверждению
1.2'. Существует матрица Н € 8Мга(М), удовлетворяющая неравенству Риккати
(5) Схх - НА - А*Н - (Схи - НВ)С-1(Сх„ - НВ)* > 0, а утверждение 1.3 равносильно утверждению 1.3'.
1.3'. Существует матрица Н € 8Мга(М), удовлетворяющая алгебраическому уравнению Риккати
(6) Схх - НА - А*Н - (Схи - НВ)С-и1(Схи - НВ)* = 0.
Интересно отметить, что в [1] была доказана именно равносильность утверждений 1.1 и 1.2'. Тесная связь леммы Калмана — Попова — Якубовича с разрешимостью уравнения Риккати, которое представляет собой квадратное матричное уравнение, привела к распространенному взгляду на лемму как на условие разрешимости этого уравнения. В статье Р. Брокета [22] эта мысль выражена так: "Можно рассматривать лемму Калмана — Попова -Якубовича как имеющую отношение к одной из наиболее фундаментальных идей в алгебре, а именно к решению квадратных уравнений".
Однако, как будет показано, при замене поля вещественных чисел другими полями эта связь утрачивается и предложения 1.1 и 1.2, оставаясь равносильными, не влекут 1.3 и разрешимости уравнения (6), что, впрочем, не означает менее фундаментального характера леммы. Просто равносильность первых двух утверждений леммы связана с другим фундаментальным алгебраическим фактом: возможностью представления полинома, принимающего неотрицательные значения, в виде суммы квадратов полиномов.
Цель настоящей статьи — получить обобщение леммы на случай, когда вместо поля вещественных чисел рассматриваются другие упорядоченные поля. Чтобы пояснить, какие поля имеются в виду, приведем необходимые определения и обозначения. Поле F является упорядоченным, если на нем введено линейное отношение порядка, удовлетворяющее условиям: 1) а ^ Ь а + с ^ ^ Ь + с; 2) а ^ 0, Ь ^ 0 ^ аЬ ^ 0. Для определения линейного упорядочения поля F достаточно задать множество неотрицательных элементов Р С F, удовлетворяющее условиям: 1) Р + Р С Р,2) Р ■ Р С Р, 3) Р П -Р = {0} и 4) Р и -Р = F. При этом полагают а ^ Ь, если а - Ь € Р.
Всякое упорядоченное поле F имеет комплексное расширение которое можно отождествить с множеством элементов вида х + \у, где х,у € F, а 1 — мнимая единица, т.е. корень уравнения г2 = —1. Действия, включая сопряжение, в поле ^ определены так же, как и действия в поле комплексных чисел.
Примерами упорядоченных полей являются все числовые поля, являющиеся подполями поля вещественных чисел, например поле рациональных чисел Q и поле вещественных алгебраических чисел. Во всех указанных полях порядок определен однозначно и индуцируется порядком в М.
Другими важными примерами упорядоченных полей являются поля рациональных дробей. Поле, образованное рациональными дробями от т переменных ¿1,... ,гт, с коэффициентами из поля F обозначим через F(t), где
^ а ¿а
г = (и,...,г т). Элементами F(í) являются дроби вида ^^ , где а —
= (а1,..., ат), в = (в1,..., вт) — мультииндексы и га = г^1 • ¿22 • • • ¿пГ, суммы берутся по конечному набору индексов, причем знаменатель не равен тождественно нулю. Действия в поле F(t) определяются как действия с обычными рациональными дробями. Поле F(t) может быть упорядочено, причем различными способами. Один из возможных вариантов упорядочения определяется следующим образом. Упорядочим мультииндексы, полагая а' > а, если в последовательности а' — а = (а1 — а1,..., а'т — ат) первый ненулевой
элемент положителен. Положим в > 0, если коэффициенты а<* и 6л
¿_,р х в
имеют одинаковые знаки, где а и в — наименьшие в смысле определенного порядка индексы в числителе и знаменателе дроби соответственно.
Определение. Будем говорить, что поле F обладает свойством сумм квадратов (кратко, является вйв-полем), если каждый полином от одной переменной над этим полем, все значения которого суть суммы квадратов элементов поля, сам является суммой квадратов полиномов над полем F.
Основным результатом данной статьи является распространение леммы Калмана — Попова — Якубовича (точнее, утверждения о равносильности ее первых двух предложений) на БОБ-поля. В наиболее общем виде соответствующее утверждение сформулировано в разделе 4. В разделах 2 и 3 рассмотрены случаи поля рациональных чисел и поля рациональных дробей с вещественными коэффициентами соответственно. В разделе 5 рассмотрено обобщение леммы на упорядоченные подполя поля вещественных чисел, в разделе 6 — на поля рациональных дробей с коэффициентами из рассмотренных в разделе 5 полей. В Приложении приведены доказательства основных утверждений.
2. Лемма Калмана — Попова — Якубовича в поле рациональных чисел
Теорема 2. Пусть А € Qnхn, В € Qnх1 и С € §Ш п+1^)- Если пара (А,В) управляема, то следующие высказывания равносильны:
2.1. Неравенство (1) выполнено при всех ш € 0>, х € Qпх1, и € Qс, удовлетворяющих (2).
2.2. Существует матрица Н € 8Мга(<), удовлетворяющая линейному матричному неравенству (3).
В случае, если нестрогое частотное условие 2.1 заменить строгим, т.е.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.