ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 429-434
УДК 519.62
ЛИДЕР В ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ КОНКУРЕНТНОГО ТИПА1)
© 2015 г. В. Н. Разжевайкин
(119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: razzh@mail.ru Поступила в редакцию 23.09.2014 г.
Для системы уравнений реакции—диффузии, в точечном варианте обобщающей систему конкуренции Вольтера, рассматривается одномерная задача Коши, для которой доказывается теорема о независимости от начальных неотрицательных финитных распределений номера лидера по скорости распространения неисчезающих значений решения на периферии. Библ. 5.
Ключевые слова: модель конкуренции, система реакции—диффузии, скорость распространения.
DOI: 10.7868/S0044466915030151
1. ВВЕДЕНИЕ
Наблюдаемый в природных биологических сообществах процесс сукцессии помимо локализованного точечного проявления достаточно часто находит свое пространственное выражение, возникающее зачастую из-за неравномерности распределения фаз развития отдельных видов по ареалу обитания. Основными причинами такой неравномерности являются процессы распространения более приспособленных форм существования сообщества от очага к периферии, связанные, как правило, с диффузионным характером распространения семян для представителей флоры и случайными блужданиями особей фауны. В результате такого распространения формируются (см. [1]) цепочки бегущих волн, имеющих постоянные скорости, так что процесс временной сукцессии приобретает наглядную пространственную интерпретацию, в которой роль времени на моментальном срезе картины играет удаленность от очага. На этой картине можно наблюдать отставание более медленных, но и более приспособленных видов биологических сообществ, от более подвижных, но и более слабых в конкурентном отношении. При этом на финальной стадии оказываются, как правило, виды, имеющие в сложившихся условиях эволюци-онно оптимальные характеристики (см. [2]).
Что касается начальной стадии, то натурные наблюдения показывают, что она так же, как и финальная, остается достаточно стабильной при изменении численных характеристик видов, окружающих ареал, пригодный для распространения одуванчиков (taraxacum), заселяющих све-жевспаханное поле. Они не могут конкурировать с лопухами (arctium), заполняющими заброшенные земельные участки, но имеют наиболее подвижные семена, позволяющие им оказываться лидерами в гонке за новыми территориями. Тщетность усилий по предотвращению подобного заселения свидетельствует о том, что даже самого незначительного количества растений подобного лидирующего вида вполне достаточно для наблюдения уже знакомой картины, особенно если вспаханный участок достаточно велик. Оказывается, что похожая картина весьма наглядно может быть описана посредством диффузионной модели конкуренции. Именно такая модель рассматривается в настоящей работе. В качестве основного результата доказывается теорема о независимости выбора лидирующего вида от конкретных начальных значений численности присутствующих в очаге видов.
2. ДИФФУЗИОННЫЕ МОДЕЛИ КОНКУРЕНТНОГО ТИПА
Предположим, что в некотором одномерном ареале, настолько большом, что для его описания можно использовать всю вещественную ось x е [, распределено конечное число видов, за-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 12-07-00789, 15-07-06947).
нумерованных индексом ' е I = {1, ..., Щ, плотность численности которых в момент времени t задается функциями и'(^ х) > 0. При отсутствии каких-либо популяционных взаимодействий динамика каждого из них подчиняется уравнению диффузии с коэффициентом Б' > 0, а чисто популяционные (точечные) взаимодействия характеризуются функциями источника конкурентного типа вида и'Р(и) с непрерывно дифференцируемыми мальтузианскими функциями Р(и). При этом они считаются функциями конкурентного типа, что означает монотонное невозрастание по каждому из своих аргументов, выполнение неравенств М = ^(0) > 0, а также конечность минимальных величин и' > 0 : Р (и') = 0 для всех ' е I.
В совокупности два обозначенных локальных (по времени) процесса задают динамику сообщества, описываемую системой уравнений реакции—диффузии вида
и, = Б1 ихх + иР(и), ' = 1, ..., N (1)
называемой далее диффузионной моделью конкурентного типа. Вопросы существования, единственности, положительности решений задачи Коши для системы (1) подробно изучены (см., например, [3], [4]) и здесь не обсуждаются. Далее без ограничения общности относительно начальных условий предполагается, что для каждого из видов ' е I начальное распределение неотрицательно и'(0, х) > 0, причем носитель $ = 8ирр и'(0, х) = с1{х : и'(0, х) > 0} не пуст и ограничен.
Выпуклую оболочку всех носителей $ = со( ^^ : &) с К" будем называть очагом сообщества. Для
условного обозначения области в пространстве, находящейся на достаточно большом расстоянии от очага, мы используем название периферия.
В случае N = 1 в условиях, указанных выше, формируется одиночная бегущая волна, распространяющаяся от очага к периферии со скоростью с1 = 2VБ1 И1 , причем на хвосте этой волны
устанавливается устойчивое стационарное решение точечного уравнения и(^ х) = и1. (Это следует из того, что в указанных условиях график функции и1Р1(и1) расположен ниже собственной касательной в нуле, см. [1].) На этом примере видно, что процесс стабилизации к устойчивому состоянию биологического сообщества (в данном случае состоящего из одного вида) проходит две стадии. На первой из них, занимающей сравнительно небольшой промежуток времени, происходит формирование механизма процесса установления, на основе которого в дальнейшем эта стабилизация будет проходить. Второй (медленный) этап собственно и составляет сам процесс стабилизации. Принципиальная разница между двумя этапами заключается в том, что характер динамики системы на втором из них намного проще, чем на первом. При подходящей интерпретации (см., например, [1]) его можно просто считать стационарным состоянием по отношению к процессам первого этапа, что позволяет существенным образом упростить математический аппарат, необходимый для его моделирования. Так, для рассмотренной модели пространственно распределенной изолированной популяции сформировавшаяся бегущая волна представляет собой стационарное неоднородное решение уравнения реакции—диффузии в системе координат, перемещающейся в пространстве с постоянной скоростью, равной скорости волны.
3. ТЕОРЕМА О ЛИДЕРЕ
Для введения определения лидера фиксируем произвольный набор 5 = {5'} с 0 < 5' < и (называемый далее разделяющим набором) для ' е I и потребуем выполнения неравенств, отделяющих на периферии один вид от остальных.
Определение 1. Номер (вид с номером) ¡1 е Iназовем лидером для системы (1), если для любого разделяющего набора 5 = {5'} и любого X> 0 найдется такое р > X, что существуют х> 0 и х : |х | = р, для которых верно следующее:
1) и''(,8>х, х) >5';
2) для всех к е /Д^} и х : |х| > р выполнены неравенства ик(^, х, х) < 5к.
Будем вычислять /ь исходя из соотношения
Б И = тах{ Б'И}. (2)
' е I
ЛИДЕР В ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ КОНКУРЕНТНОГО ТИПА
431
Номер ¡1 определяется однозначно во всех грубых случаях, т.е. кроме тех, когда максимум в (2) может достигаться более чем на одном из подходящих значений. Последняя ситуация может возникнуть в вырожденном случае, т.е. при выполнении условий типа равенства, устраняемых сколь угодно малыми шевелениями коэффициентов диффузии. Во избежание ее возникновения для лидера будет предполагаться выполненной следующая
Гипотеза. Решение задачи (2) однозначно.
Теорема. При выполнении гипотезы для диффузионной системы конкурентного типа (1) лидер существует и его номер определяется решением задачи (2) независимо от начальных финитных распределений.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ЛИДЕРЕ
Зафиксируем некоторый разделяющий набор 5 = {5'}. Покажем, что для uh (t, x) с номером /ь вычисленным в соответствии с (2), будет выполнено условие 1) в определении лидера. Обозначим через
- - Mt -
G(t, x, M, D) = t 2e 4Dt
экспоненциально подправленное гауссово распределение. Для всех i е Iсогласно теоремам сравнения справедливы оценки
u (t, x)< CG(t + t0, x, M, D) (3)
с некоторыми положительными постоянными C, t0 > 0. (Для каждого i в силу компактности носителя S' можно подобрать центрированную, т.е. с вершиной в нуле, "шапочку" CiG(ti, x, M', D'), мажорирующую u'(0, x). При этом величину tt > 0 можно считать сколь угодно малой за счет последующего выбора подходяще большой постоянной Ct = C(t) > 0. Далее выбирается t0 = mint,- > 0, а
i е I
следом за ним C = maxC,(t0). После этого динамика мажорант запускается по линейному уравне-
i е I
нию (1) с заменой в правой части Fi(u) на M' (сохранение свойства мажорирования со временем следует здесь из монотонности функций F(u)), что в результате дает правую часть в (3).)
Скорость распространения "бегущей волны", задаваемой правой частью в (3), т.е. скорость движения точки x, в которой она равна заданной наперед положительной величине, асимптотически, (т.е. при t —+ да) равна колмогоровской скорости ±cK = 2л/D'M (это проверяется непосредственно решением уравнения G(t, x, M', D') = const > 0 относительно x) так, что для любых
v
(0, mini л/D-M1 - JD'M) ), s > 0 найдется T > 0 такое, что для всех t > T и ' Ф будут выполнены
i * i1 ^ '
неравенства u'(x (t), t) < s для x (t) = ±2r1t с r1 = JD' м- — v > 0. Далее для определенности мы будем выбирать знак плюс, т.е. следить за перемещениями вместе с x (t) слева направо.
Заметим, что поскольку скорость роста функции х (t) меньше скорости волны clK, имеющейся у самого быстрого вида '1, то приведенные выше неравенства означают малость влияния остальных видов на его динамику при движении вместе с x (t).
В системе координат (£,, t) = (x — x (t), t) функция w(%, t) = u1 (£, + x (t), t) удовлетворяет уравнению
ii ~ ii wt = D w^ + 2T'W^ + w(F (w) - ст(u)) (4)
с F'1 (uh) = F1 (u)| . . . = M - g1 (и1), где g1 (u1) = O(и1) и F1 (u) - F'1 (uh) = O(||u - u11|) с
и = 0 J * г-
■^'i ii
u = (0, ..., 0, u , 0, ..., 0) (отличный от нуля элемент раположен на 'гм м
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.