ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 3, с. 5-15
= ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ =
УДК 681.511.4
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ПОЛЕЗНОМУ СИГНАЛУ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИХ ЗВЕНЬЯ С ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ*
© 2007 г. А. В. Моржов, Н. В. Фалдин
Тула, Тульский государственный ун-т Поступила в редакцию 12.09.06 г.
Предлагается метод линеаризации по полезному сигналу релейных систем, объект управления которых содержит звенья с ограничителями. Рассматриваются релейные системы с двухпозиционным релейным элементом. Метод позволяет достаточно просто исследовать в релейной системе режим слежения за входными сигналами. Это очень важно для синтеза релейных систем, когда приходится анализировать большое число вариантов.
Введение. Релейные системы автоматического управления широко используются в технике, так как позволяют обеспечить высокие динамические характеристики при малых весах и габаритах управляющих устройств. Настоящая статья тесно связана с работой [1], которая посвящена исследованию автоколебаний. Как и в [1], в ней рассматривается важный для приложений класс объектов управления, нелинейность которых обусловлена наличием в них звеньев с ограничителями. Такие объекты управления часто встречаются на практике.
Важной характеристикой релейной системы управления, как и вообще любой системы автоматического управления, является точность режима слежения. Универсальный способ определения этого показателя - метод моделирования, когда динамика системы имитируется, например, на компьютере. Однако подобный метод сложно использовать на этапе синтеза релейной системы, когда приходится анализировать значительное число вариантов. Поэтому большое значение приобретают приближенные методы исследования, которые позволяют сравнительно просто оценить точность режима слежения. Это тем более важно, так как задача синтеза часто сводится к проведению конечномерной оптимизации по точности режима слежения.
Релейные системы обычно проектируются таким образом, чтобы частоты входного сигнала и автоколебаний были разнесены в 10 и более раз. В этом случае можно говорить о линеаризации автоколебаниями релейного элемента и нелинейностей объекта управления.
В [2-4] для релейных систем с линейными объектами управления предложен метод линеаризации системы по полезному сигналу. Накопленный опыт
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант < 05-08-33506).
использования данного метода на практике показал, что он обладает высокой точностью, не имеет ограничений типа "гипотезы фильтра" и его можно успешно применять для синтеза и оптимизации релейных систем управления. В работе указанный метод линеаризации получил свое дальнейшее развитие. Он доработан для линеаризации релейных систем, объект управления которых содержит звенья с ограничителями. Метод позволяет линеаризовать как релейный элемент, так и звенья с ограничителями, т.е. релейная система заменяется некоторой "эквивалентной" линейной системой.
Таким образом, в [1] для релейных систем, содержащих звенья с ограничителями, разработаны методы исследования автоколебаний: определяются их параметры, оценивается устойчивость. В настоящей работе предлагается метод линеаризации по полезному сигналу релейных систем указанного класса. Это дает возможность весьма просто исследовать в релейной системе режим слежения за входными сигналами. Сохраняются отмеченные выше (для релейных систем с линейными объектами управления) достоинства метода. Он не имеет ограничений типа гипотезы фильтра. Рассмотренные примеры по использованию данного метода показывают его высокую точность. Сочетание его с изложенными в [1] методами исследования автоколебаний открывает для широкого класса технических объектов управления хорошие перспективы синтеза и оптимизации релейных автоколебательных законов управления.
1. Производные фазового годографа. В основу развиваемой теории положен фазовый годограф релейной системы [1, 4]. Фазовый годограф является характеристикой объекта управления. Для систем с двухпозиционным релейным элементом (именно такие системы рассматриваются в работе) он представляет собой вектор-функцию х*(Т) (0 < Т < го, х = (х1, ..., хп) - вектор состояния системы,
u к № xi u к
s2 + 2as + n _/ s + a ^J
Рис. 1.
Рис. 2.
2Т - период), каждая точка которой задает периодическое движение соответствующей частоты. При фиксированном Т точка х*(Т) устанавливает значение вектора состояния в периодическом движении в момент переключения релейного элемента с минуса на плюс. Предполагается, что и релейный элемент, и звенья с ограничителями обладают свойством симметрии [1].
В соответствии с [1] рассмотрим два типа звеньев: содержащие ограничители в форме механических упоров и с ограничителями в форме насыщения. На рис. 1 и 2 представлены структурные схемы звеньев с ограничителями. Движение звена с ограничителями в форме механических упоров (рис. 1) задается уравнениями
Xi Х2
x9 =
1 A2>
ku - 2ax2 - nx1, если < D или |x1 = D и (ku - nx1)signx1 < 0; 0, если |x1 = D и (ku - nx1)signx1 > 0.
(1.1)
Ниже всюду будем предполагать, что удары об упор являются абсолютно неупругими, т.е. в каждый момент :* входа на ограничитель
х1 (г * + 0) = хЛ г * -0),
х2( г * + 0) = 0.
Сход с ограничителя является непрерывным.
Движение звена, изображенного на рис. 2, задается уравнением
x =
ku - ax, если |x| < D или |x| = D и (ku - ax) signx < 0; (1.2)
0, если |x| = D и (ku - ax) signx > 0.
Выходной сигнал х(:) - непрерывная функция времени. В уравнениях (1.1) и (1.2) функции (^ -- nx1)signx1 и (Ы - ax)signx описывают так называемую прижимающую силу, т.е. указывают, в каком направлении двигалась бы фазовая точка с ограничения в свободном движении, т.е. если бы не было ограничителей.
В [2-4] линеаризация системы сводится к замене релейного элемента коэффициентом передачи по постоянной составляющей движения. Для этого
рассматриваются несимметричные периодические движения с малой величиной ассимметрии. В таком движении сигнал, поступающий с релейного элемента на вход объекта управления, в интервале 0 < t < 2Т имеет вид
и(г) = А • 1(т) - 2А • 1( г - т),
здесь А - высота полки реле. Для определения постоянных составляющих, а они определяются точно, необходимо знать производную фазового годографа по параметру т при т = Т (2т - период).
Аналогичный подход, связанный с выделением постоянных составляющих движения, используется и в настоящей работе. Однако поскольку необходимо линеаризовать не только релейный элемент, но и звено с ограничителями, то наряду с производной фазового годографа по параметру т иногда требуется и некоторая другая производная. Как и в [2], линеаризация системы усложняется, если в передаточных функциях линейной части системы присутствует интегрирующее звено.
Наиболее сложными являются ограничители в форме механических упоров. Поэтому в работе основное внимание уделяется линеаризации релейных систем, содержащих подобные ограничители. Результаты, касающиеся систем с ограничителями в форме насыщения, легко следуют из соответствующих результатов для рассматриваемого случая. На рис. 3 дана структурная схема релейной системы, в которой присутствует звено с ограничителями в форме механических упоров, у(:) - входной сигнал, а g вводится искусственно для линеаризации релейной системы, т.е. в реальной системе он отсутствует.
Исследуется наиболее сложный вариант, когда звено с ограничителями и интегрирующее звено охвачены внутренней обратной связью. Эту обратную связь будем относить (для анализа это не имеет значения) к структурной схеме объекта управления. На рис. 4 приведена статическая характеристика релейного элемента. Пусть в изображенной на рис. 3 автономной релейной системе (у(:) = 0, g = 0) существует симметричное периодическое решение х(:) периода 2Т (х(: + Т) = -х(:)), задаваемое точкой х*(Т). Рисунок 5 иллюстрирует вид периодического выходного сигнала звена с ограничителями. Далее предположим, что передаточные функции ^(у), W2(s), W3(s) и W4(s) не имеют нулевого полюса.
' о
и
РЭ W1(s)
к о X W2(s) 1 хр W4(s)
$2 + 2ая + п я
Wз(s)
X
а
X
V
Рис. 3.
А и
-ь Ь о
-А
х/0 D
х* (
Рис. 4.
Рис. 5.
При g = 0 и постоянном входном сигнале уО в системе имеют место несимметричные периодические колебания. Однако из-за присутствия во внутреннем контуре интегрирующего звена в системе установятся колебания, при которых средние значения за период сигналов х() и ха(?) равны нулю. Это исключает возможность линеаризации звена с ограничителями.
Для линеаризации релейного элемента и звена с ограничителями рассмотрим несимметричные периодические колебания, возникающие в системе при у^) = 0 и постоянном сигнале g, который будем считать малой величиной. Периодическое решение системы при постоянном сигнале g обозначим х (t). При малом значении сигнала g периодические траектории х^) и X(t) являются близкими, т.е. X (t) = х(^) + 5х(?). Ниже будет показано, что указанный сигнал g приводит к несимметрии сигнала и(0, но не изменяет (если не принимать во внимание величины, имеющие порядок малости выше первого) период колебаний. Таким образом,
при малой величине сигнала g траектория хх (t) имеет период 2Т.
Для периодических траекторий хф и х (t) совместим момент I = 0 с моментом переключения релейного элемента с минуса на плюс. Тогда, очевидно, х(0) = х*(Т). В интервале 0 < t < 2Т на траектории х({)
и (0 =
а на X (t)
и (t) =
[ А при 0 < t < Т, - А при Т < t < 2Т,
А при 0 < t < Т + Ат, -А при Т + Ат < t < 2 Т,
(1.3)
(1.4)
здесь Ат - малая величина.
Пусть "свободное" (ограничители не достигаются) движение объекта управления описывается уравнением
ёх
— = Сх + Ви,
(1.5)
а движение на ограничителе - соотношением
$ = С* х + Ви.
(1.6)
Напомним, что удар об упор предполагается абсолютно неупругим, так что
х](t! + 0) = х](^ - 0), х;(tз + 0) = х](tз - 0), х}- + 1 (^+0) = 0, х}- + 1 (tз + 0) = 0.
Преобразование вектора х в момент удара об упор задается матрицей Е, например
х (11 + 0) = Ех( t1-0).
Для определения близкой траектории хх(г) = = х(:) + 5х(:) запишем у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.