ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 1, с. 80-87
ПЛАЗМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 621.385
линеиная теория взаимодеиствия электронного потока
с электромагнитными волнами
при ионноИ фокусировке в пазотроне
© 2004 г. Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Саратовский госуниверситет им. Н.Г. Чернышевского, ГосУНЦ "Колледж" Поступила в редакцию 23.04.2003 г.
Анализируется взаимодействие электронного потока, сфокусированного положительным ионным фоном, с электромагнитными волнами в таком современном устройстве плазменной СВЧ-электро-ники как пазотрон - приборе с длительным взаимодействием и ионной фокусировкой электронного потока.
Пазотрон1 представляет собой новый класс мощных плазменных генераторов (или усилителей) СВЧ-диапазона [1-6], использующих в качестве источника электронного пучка электронную пушку с плазменным катодом и заполненную газом замедляющую электродинамическую структуру, в которой при инжекции в нее интенсивного электронного пучка за счет ионизации газа создается плазменный канал. Электронный пучок проходит через пространство взаимодействия пазо-трона в режиме ионной фокусировки, когда возникающая за счет ионизации нейтрального газа (обычно используется водород, гелий или ксенон) плазма нейтрализует пространственный заряд пучка и создает заметную фокусирующую силу, которая сжимает пучок при инжекции его в пространство взаимодействия.
Такой способ транспортировки электронного пучка через пространство взаимодействия позволяет отказаться от внешней магнитной фокусирующей системы, а следовательно, значительно снизить вес и уменьшить габаритные размеры мощных линейных источников СВЧ-излучения, требующих ту или иную фокусировку электронного пучка2.
Экспериментальные макеты пазотронов разрабатываются как генераторы обратной волны (ЛОВ-пазотрон) и как усилители бегущей волны (ЛБВ-пазотрон). В качестве электродинамических замедляющих структур в них в зависимости от частотного диапазона и мощности использу-
1 От английского PASOTRON - Plasma Assisted Slow-Wave Oscillator.
2 Заметим, что идея ионной фокусировки электронного потока в приборах с длительным взаимодействием была высказана и исследована еще в 50-60-х годах (см., например, работы [7-11]), однако тогда она не нашла широкого практического применения, и к ней вернулись только при разработке мощных компактных усилителей и генераторов с длительным взаимодействием в 90-х годах.
ются периодические замедляющие структуры (гофрированные волноводы, спирали, системы типа цепочек связанных резонаторов), что позволяет отнести пазотрон к приборам с длительным взаимодействием типа О с ионной фокусировкой электронного потока. Как уже указывалось, источником электронного пучка в пазотроне служит электронная пушка с плазменным катодом [12-15]. Она позволяет эффективно формировать пучок в системе, в которой пространство транспортировки и взаимодействия электронного пучка целиком заполнено подвижной плазмой.
Целью данной работы является приближенный теоретический анализ (в линейном приближении) взаимодействия электронного потока, сфокусированного за счет действия пространственного заряда положительных ионов, с бегущей электромагнитной волной. Проводимый анализ основан на использовании математического аппарата теории взаимодействия непрямолинейных электронных потоков с электромагнитными волнами [16, 17] и результатах, полученных в [7, 911], по теоретическому описанию безмагнитной транспортировки электронных пучков при использовании ионной фокусировки.
Рассмотрим простейшую модель пазотрона, представляющую собой ионно-сфокусированный электронный пучок, движущийся со скоростью V0 вдоль замедляющей системы, и взаимодействующий с бегущей электромагнитной волной в линии передачи в условиях черенковского резонанса. Предполагается установившийся режим, когда плазменный канал, через который транспортируется пучок, уже сформировался.
Пусть электрон пучка движется в направлении оси г, которая совпадает с осью аксиально-симметричного пространства взаимодействия исследуемой системы. Уравнение движения электрона ионно-сфокусированного пучка в присутствии
плотного ионного фона в цилиндрической системе координат с учетом аксиальной симметрии системы можно записать в виде
й2 г
—2 = П( !г + !е + Р1). йг
л2
йг = 0
2
йг
(1)
(2)
Здесь предполагается, что г = v0(г - г1) = v0т, т. е. считается, что продольная скорость v0 электрона не меняется; - фокусирующая сила положительных ионов, ^ - дефокусирующая сила пространственного заряда электронов, р1 - сила, обусловленная поперечным тепловым разбросом скоростей электронов3, п - удельный заряд электрона.
Предположим, что плотность пространственного заряда постоянна по поперечному сечению пучка и что длина волны аксиального изменения поверхности пучка мала по сравнению с его характерным поперечным размером (диаметром) пучка. Тогда, воспользовавшись теоремой Гаусса и предполагая в качестве уравнения состояния электронного газа уравнение адиабаты [7-9], можно показать, что уравнение движения электронов ионно-фокусируемого пучка принимает вид
2
й г
йг2
п р ,■ г ' Уо '
г V о V о
+
2
Фгг*
3'
Vо г3
(3)
где величина 5 определяет длину волны пульсаций 2п/5 границы пучка. В интересном с точки зрения практики случае (р; - ре)/ре < 1 величина 5 определяется следующим соотношением [8]
5 = 2 /те.
(6)
Здесь т; и те - масса ионов и электронов соответственно, 5 - удельная ионизация, Р - давление газа.
Решение уравнения (5) очевидно будет иметь
вид
где а = г\г = 0 и Ь
г = а ео8 5г + Ь 8т 5г,
= йг
(7)
йг
соответствуют началь-
г = 0
ным условиям при г = 0.
Перейдем к решению высокочастотной задачи в одномерном приближении без учета градиентов статических полей и высокочастотных полей пространственного заряда электронного пучка. Предполагая, что все переменные величины изменяются по закону ехр^'юг), уравнение для сгруппированного тока в ВЧ-поле бегущей волны можно записать в виде
.ЛРе^оГ/- - „ч .1—— Е(гь г;,т)' (8)
V 0
1 Ю + К 1
где р; - средняя плотность ионов в рассматриваемом поперечном сечении пучка, 10 и у - ток и напряжение пучка, фТ = кТ/е, к - постоянная Больц-мана, Т - температура электронов, эмитируемых катодом, гк - радиус, характеризующий положение электронов на катоде.
Будем считать, что амплитуда поперечных флуктуаций фокусируемого пучка мала, тогда статический радиус пучка можно представить в виде
г; = го( 1 + г)' |г| ^ го.
(4)
2
й г с.2~ п
— + 5 г = о,
йг2
(5)
В работах [7-9] показано, что неучет поперечных тепловых скоростей электронов при ионной фокусировке приводит к значительным ошибкам в определении параметров транспортируемого пучка.
где ве = ю/^о, 10 - ток инжектируемого пучка, а ВЧ-поле Е выражается как [17]
г,- _ , ^о -1 Рог -РоП -Зог Е (г;, г;, т) = Ее е е ,
(9)
Здесь г0 - равновесное значение радиуса пучка, Г -величина, характеризующая волнистость границ пучка. Тогда при сделанных предположениях уравнение для величины г пульсаций границы пучка сводится к линейному уравнению вида
где Р0 - постоянная распространения электромагнитной (9) волны в линии передачи.
Удобнее воспользоваться уравнением для сгруппированного тока не в дифференциальной (8), а в интегральной форме. Учитывая, что г = v0т (последнее соответствует малости величины
|Е|), перепишем уравнение (8) в следующем виде:
Г = 12У°е^г|Е(г;(£), г^Ше*А(г - £), (10)
1ве ^
где У = V о /2п - ускоряющее напряжение.
Разложим экспоненциальный множитель ехр(-рог;), где г; определяется формулами (4) и (7), в выражении (9) для ВЧ-поля в ряд Фурье, ог-
г
о
раничиваясь для получения аналитического результата только членами с номерами к = 0, ±1,
е =
= -]е-2 * §г(( 1 + е2 ^) I!(а в0гь) - е;'8 % (а во Ч)) х
х(( е* -1) II (Ь во гь) - ]е1&г1о( Ьво^ь)). (11)
Здесь 11 и 10 - модифицированные функции Бесселя соответственно первого и нулевого порядка.
Будем рассматривать в дальнейшем случай а ^ 0, Ь = 0, что означает, что накладывается начальное условие вида йг/ йг|г = 0 = 0. Такое начальное условие соответствует инжекции пучка параллельно оси системы. С учетом начальных условий, интегрируя уравнение (10), находим
ч . ßeI 0 -J ßez -ßorbw
1 ( Z ) = J 2Ve e x
r Jz(ße-ßo-28) 2 -5^2
x [e ((ße-ßo) -48 ) x
, -JZ(ße-28), J ßeZ J ßoZ,, . „ „ ...
x ( e (- e + e ( l+ Jz(ße - ßo)))x
x((ß e - ßo )2- 82 )2 Io ( а ßo rb ) +
+ (ße - ßo)2( e3J8Z(8 - ße + ßo)2 +
+ eJ8z(8 + ße - ßo)2 +
(12)
0 . J(28 - (ße- ßo))Z. Q3 ,Q3 Q3 B2,. Q
+ 2 Je (zßo+ Jße - zße + ßo ( J -3zße) +
+ J82 + zße82 + ßo(3zße2 - 2 Jße - z^) )) x
х 11(авоГь))]/((ве - во)2(52 - (ве - воГГ X
X ( 452-(ве - во )2 )2 ) .
Вид выражения для сгруппированного тока (12) показывает, что динамика пучка в поперечном направлении (периодические колебания с пространственным периодом 2п/8) оказывает существенное влияние на процессы группировки электронов. Рассмотрим этот вопрос подробнее, для чего найдем наведенное в линии передачи сгруппированным током ВЧ-поле и, следовательно, величину электронной мощности взаимодействия ВЧ-поля с непрямолинейным ионно-фоку-сируемым пучком.
Рассмотрим отдельно взаимодействие ионно-сфокусированного электронного пучка с прямой и обратной волной в линии передачи, соответственно случай ЛБВ-пазотрон и ЛОВ-пазотрон.
Пазотрон - усилитель прямой волны (ЛБВ-пазотрон). Используя найденную величину сгруппированного тока (12) и стационарное уравнение возбуждения непрямолинейным потоком прямой
22
волны в линии передачи в интегральном виде [1б, 18]
E ( z ) = E e
))o2))) z 2
o -Jßoz ßoK f^^ _ л -Jßo(z-Ç)
J i (^)ф±( r¡ ) e
d\ (13)
o
(14)
(ф±(г) - распределение ВЧ-поля (9) по поперечному сечению линии передачи4, K - сопротивление связи) и учитывая малость колебаний пучка в поперечном направлении |Г| <§ r0, после несложных, но весьма громоздких выкладок можно получить выражение для полного поля в конце волноведу-щей системы (x = l) при ионной фокусировке электронного пучка в виде
E (l) = Е°е]Ыв%г х х [ 1 - (2пCN)3(Fa(Ф0, ф, х) + jFг(Ф0, ф, х))], где
I о(Х)( 2 (1-cos Фо) + Фо sin Фо)
F a = -3- +
Фо
+ 4 ' 1 (х )Фо ( C0s Фо 2- C0s ф > + 211(х) sin Фо,
(Фо-ф )
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.