МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2011
УДК 532.526:533.6.011.55
© 2011 г. С. А. ГАПОНОВ, Н. М. ТЕРЕХОВА
ЛИНЕЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ СЖИМАЕМОГО ГАЗА НА НЕПРОНИЦАЕМЫХ И ПОРИСТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ С ТЕПЛООБМЕНОМ
В линейном и нелинейном приближениях (слабонелинейная теория устойчивости) рассмотрено взаимодействие возмущений в пограничном слое сжимаемого газа на непроницаемых и пористых стенках при охлаждении поверхности.
Рассмотрены режимы умеренных (число Маха М = 2) и высоких (М = 5.35) сверхзвуковых скоростей. Установлено, что охлаждение поверхности приводит к значительному изменению линейной эволюции возмущений: вихревые возмущения первой моды стабилизируются, а акустические возмущения второй моды дестабилизируются, степень изменения определяется значениями температурного фактора. Противоположным образом действует на устойчивость пористое покрытие, применяемое для целей управления режимами обтекания. Нелинейные взаимодействия в трехволновых системах для вихревых волн при М = 2 при охлаждении значительно ослабевают. Можно ожидать, что охлаждение поверхности приведет к затягиванию ламинарного режима при М = 2 и ускорению турбулизации при М = 5.35.
Ключевые слова: сверхзвуковой пограничный слой, гидродинамическая устойчивость, лами-нарно-турбулентный переход.
Вопросы устойчивости пограничных слоев имеют непосредственное отношение к управлению ламинарно-турбулентным переходом. С практической точки зрения важно как предотвращение турбулизации течения, так и инициирование более раннего перехода его из ламинарного состояния в турбулентное.
Первый класс задач связан с возможностью снижения сопротивления трения за счет ламинаризации пограничного слоя [1, 2]. В настоящее время хорошо известны многочисленные методы повышения устойчивости до- и сверхзвуковых пограничных слоев. К ним относятся отсос, охлаждение поверхности, ускорение потока.
Второй класс задач следует из необходимости интенсификации процессов перемешивания, а также увеличения надежности управления полетом летательного аппарата или обеспечения устойчивой работы отдельных его элементов. Ввиду того, что средняя скорость в ламинарном пограничном слое ниже, чем в турбулентном, он обладает меньшей кинетической энергией и более склонен к отрыву. Для целей турбулизации часто используются пористые покрытия, эффективные на дозвуковых и невысоких сверхзвуковых режимах. В настоящее время создание новых материалов, разработка пористых металлов привела к повышенному научному интересу к исследованию высокоскоростных потоков над пористыми поверхностями.
В ранних работах при анализе устойчивости задача решалась в предположении, что возмущения скорости на проницаемой поверхности равнялись нулю. Это несоответствие было устранено в [3], где показано, что возмущения нормальной относительно обтекаемой поверхности компоненты скорости пропорциональны возмущениям давления и установлено, что устойчивость пограничного слоя на пористой стенке при невысоких сверхзвуковых скоростях меньше в сравнении с непроницаемой поверхностью.
В случае течения сжимаемого газа теоретические исследования осложняются необходимостью учета возмущений температуры и плотности. При высоких числах Маха помимо собственных колебаний — бегущих волн вихревой природы (синонимы: волны Толлмина—Шлихтинга, вязкие волны, возмущения первой моды) — появляются возмущения, связанные с возбуждением акустических мод, из которых в данном диапазоне чисел Маха наиболее неустойчива вторая мода [2]. На теплоизолированных поверхностях обнаруживается обратное влияние пористого покрытия на их линейную устойчивость — значительное уменьшение степеней роста. Нелинейное развитие волн первой и второй мод при сверх- и гиперзвуковых скоростях на проницаемых покрытиях изучены в [4—7]. В линейной и нелинейной поставках установлено, что проницаемое покрытие дестабилизирует первую и стабилизирует вторую моду.
При движении со сверхзвуковыми скоростями происходит аэродинамический нагрев обтекаемого тела [8]. Для его уменьшения используется охлаждение поверхностей. Течения с охлажденной поверхностью имеют место при кратковременном полете на большой скорости самолета или ракеты, при этом обшивка летательного аппарата не успевает сильно нагреться и ее температура существенно ниже температуры теплоизолированной поверхности.
Изучение данных по моделированию влияния теплообмена на стенке на устойчивость пограничных слоев показало многообразие и неоднозначность этого фактора. С одной стороны, профили скорости при охлаждении становятся более наполненными, что работает на повышение их устойчивости, с другой — они становятся более тонкими и чувствительными к состоянию поверхностей, наличию шероховатости. На охлаждаемых поверхностях может меняться агрегатное состояние газа, выпадать иней, что не дает реализоваться ожидаемому эффекту. Опытным путем установлено наличие реверса перехода, когда более глубокое охлаждение вызывает более ранний переход. При численном моделировании наряду с явлением полной стабилизации пограничных слоев обнаружено сложное поведение нейтральных кривых и наличие изолированных неустойчивых областей [2]. Все это свидетельствует о том, что этот важный в практическом плане вопрос нуждается в дальнейшем изучении.
Существует несколько сценариев перехода к турбулентности. При малых уровнях внешних возмущений после линейного усиления наступает стадия нелинейного взаимодействия волн. Один из наиболее типичных и часто реализуемых на начальных стадиях нелинейности — субгармонический трехволновый резонанс, хорошо исследованный для дозвукового пограничного слоя [1, 9]. Понимание природы физических процессов, сопутствующих эволюции неустойчивых возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях, имеет важное фундаментальное значение. К сожалению, для сверхзвуковых потоков нелинейное развитие волн в пограничных слоях все еще недостаточно исследовано. Имеется ограниченное число теоретических работ, в которых изучался субгармонический трехволновый резонанс в сверхзвуковом пограничном слое на теплоизолированной поверхности [4—7, 10, 11].
С практической точки зрения большой интерес представляют пограничные слои на проницаемых охлаждаемых поверхностях. В данной работе приводятся результаты численного исследования влияния охлаждения на устойчивость сверхзвукового пограничного слоя на непроницаемой и пористой поверхностях как в линейной, так и нелинейной постановках. Рассматриваются режимы умеренных (М = 2) и высоких сверхзвуковых значений числа Маха (М = 5.35), изучается линейная эволюция возмущений, а также в рамках слабонелинейной теории проводится теоретическое исследование возможности реализации трехволновых взаимодействий в пограничном слое при разных значениях температурного фактора.
1. Основные соотношения и методы решения. При моделировании рассматривается возмущенное поле скоростей и, V, м плотности р0, давления р0 и температуры Т0 сжимаемого газа в безразмерной декартовой системе координат [2, 10, 11]
и = и (У) + £и ', и = £ и', И = ЕЙ"', Р0 = р(У) + '
Ро = Р(У) + вр', То = Т (У) + е© ', Р = ^ + ^
Р р Т
За характерный линейный размер взята толщина пограничного слоя 8 = (хие /Ц,)1/2 , где и — кинематическая вязкость; индекс е соответствует параметрам на внешней границе пограничного слоя. Величины со штрихами и без штрихов пульсационные и средние компоненты соответствующих величин; масштабный параметр б < 1. Обез-размеривание проведено параметрами потока на внешней границе; числа Рейнольдса и Маха рассчитаны по этим параметрам: Яе = (хие/ие)1/2, М = ие/ае (ае — скорость звука). Безразмерное значение Х совпадает со значением Яе. Решение строится методом разложения по малому параметру б и двухмасштабному разложению продольной координаты х . Помимо "быстрого" масштаба Xвводится "медленный" масштаб = бХ, характеризующие изменения фазы и амплитуды возмущений соответственно.
Ищутся решения для волн в виде
и' = А(^)и(У)ехр('9), 9= \айХ + |р й1 -юг (1.1)
где А — медленно меняющаяся по продольной координате амплитуда; а = аг +'а'; а' < 0 — инкремент; волновые числа а, в и частота ю = 2 л/ связаны дисперсионным соотношением а = а(ю, в) по линейной теории.
После установления дисперсионных связей законы развития возмущений в линейной области считаются известными. В слабонелинейной теории нелинейность оказывает влияние только на амплитуду волны А.
Основная система для возмущений — система Дана—Линя [2], в нелинейном приближении дополненная нелинейными членами
р(Ои + иг и) + ^Р
уИ2 Яе
рОи + 2
;'Р р ^иУУ уИ2 Яе
ехр (;9) = -Ри ехр('9) = -Ри
р Ои + -РУ-
уМ2 _
ехр (9) = -Р„ (1.2)
[Од + р Уи + р('аи + иУ + ;'Р и)] ехр('9) = -Рр
ехр('9) = -Р©
р(О© + ТУи) + (у - 1)('аи + иУ + ф и) —^©УУ
о Яе
? = Р(р -1), О = '(-® + аи)
Здесь у = Ср/ву — показатель адиабаты; ст = срце/к — число Прандтля; к — коэффициент теплопроводности. В нелинейных членах Р учитываются все моменты второго порядка системы Навье—Стокса [6].
Для возмущений ставятся следующие краевые условия: на непроницаемой поверхности — равенство нулю возмущений скоростей и температуры на стенке, а также затухание возмущений в бесконечности и, и, м, 9 = 0 при У = 0, У = да; на пористой поверхности и, V, м, 9 = 0при У = да, а на стенке — и, м, 9 = 0 и связь и(0) = Кр(0), предложенная в [3].
На пористых поверхностях как лежащих на подложке, так и примыкающих к камерам слабого отсасывания
к = и(0) = п (Zо - X¿ЦШ)) Р(0) Zо(Zоth(XH) - X!)
1 о (п) ,2
12 (п)'
^ = ;'а , Ж = -га сМ
у + (у-1) 12ф)' . ¡оУ оп).
П = V г'а скс/1' X = Z0 = —
X
Здесь в единый комплекс сведены параметры пористой поверхности (и — пористость, Н — толщина пористого покрытия, гх — радиус пор), потока (числа Маха и Рей-нольдса) и возмущений (частота ю = ас), а I — функции Бесселя соответствующего порядка.
Для получения средних характеристик пограничного слоя и и Т совместно решается система для динамического и теплового пограничных слоев в автомодельных переменных Блазиуса У (и = Г')
' = 0
2Т" + аГТ' + 2ст(у - 1)М2Г"2 = 0
С граничными условиями: Г = 0 Г' = 0 (У = 0); Т = 1 Г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.