ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 850-875
УДК 519.634
ЛИНЕЙНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТЕЧЕНИЯ ПОЛИМЕРОВ В БЕСКОНЕЧНОМ КАНАЛЕ1)
© 2015 г. А. М. Блохин, А. В. Егитов, Д. Л. Ткачёв
(630090 Новосибирск, пр-т Акад. Коптюга, 4, Ин-т матем. СО РАН; 630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2, Новосибирский гос. ун-т) e-mail: blokhin@math.nsc.ru; tkachev@math.nsc.ru; eav15@mail.ru Поступила в редакцию 19.06.2013 г. Переработанный вариант 26.06.2014 г.
Изучается новая реологическая модель, описывающая течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости. Доказана линейная неустойчивость (по Ляпунову) аналога течения Пуазейля для системы уравнений Навье—Стокса в плоском бесконечном канале. Библ. 17. Фиг. 2.
Ключевые слова: несжимаемая вязкоупругая полимерная жидкость, реологическое соотношение, броуновская частица, гантель, решение типа Пуазейля, корректность смешанной проблемы, линейная неустойчивость решений.
Б01: 10.7868/80044466915050075
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучается новая реологическая модель, которая с приемлемой точностью учитывает нелинейные эффекты, возникающие при рассмотрении движения полимерной среды как суспензии невзаимодействующих упругих гантелей (см. [1]). Каждая из гантелей представляет собой две броуновские частицы, связанные упругой силой и движущиеся в анизотропной жидкости, образованной растворителем и другими гантелями.
Эта модель, ее основное звено — новое реологическое соотношение, устанавливающее связь между кинематическими характеристиками потока и внутренними термодинамическими параметрами, является модификацией известной модели Покровского—Виноградова (см. [2], [3]). По мнению авторов модели, она продемонстрировала свою высокую эффективность при численном исследовании течений полимеров в областях со сложной геометрией (см. [4], [5]).
В работе рассмотрен вопрос о линейной устойчивости экспериментально наблюдаемого аналога течения Пуазейля для системы уравнений Навье—Стокса.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.
ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
В [1] была предложена новая математическая модель для описания течений несжимаемой вяз-коупругой полимерной жидкости. В плоском случае нестационарные течения полимерных сред описываются с помощью следующей реологической модели (предварительно проведена процедура обезразмеривания):
ых + V = 0, (2.1)
du 1
— + Px = —
dt x Re
+ Px = -T {(«11 )x + (a 12)y}, (2.2)
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-08-00286-а) и Минобрнауки (соглашение № 14.В37.21.0355).
<а11
<г
^ + * = ^ {(а12 ), + (а22 )у } ,
- 2Л1ых - 2а12ы + Х1аи = -р(ап + а22),
<<012 -г
- Л1 Vx - Л2 Ыу + К/аи = 0,
^ - 2Л2 Ъ - 2а12 V + К/а22 = -в(а12 + а22).
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Здесь I — время; и, V — компоненты вектора скорости и в декартовой системе координат х, у; р — гидростатическое давление; а у — симметричный тензор анизотропии второго ранга; й/й = д/д? + + (и, V) — субстанциональная производная.
Остальные величины определяются следующим образом: I = а11 + а22 — первый инвариант тензора анизотропии;
к = к — р; к, р — скалярные феноменологические параметры реологической модели (0 < р < 1); П0, т0 — начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации;
Л, = аи + —, Л2 = а„ + —,
1 11 Ж 2 22 Ж
Яе =
рын1 По
К = - + к/, К = - + к/ = Кг + в/, к = к + 2 В = к + 3 В, 1 Ж 3 Ж 3 И И И
— число Рейнольдса, причем р(=еоп81) — плотность среды;
ин — характерная скорость, I — характерная длина;
Ж=
т о Ын I
— число Вейсенберга (см. [5]).
Замечание 1. В формулировке реологической модели (2.1)—(2.6) участвуют числа Рейнольдса и Вейсенберга, а также феноменологические параметры к и р, определяющие течение физического эксперимента. Как следует из монографии [6], наиболее адекватным экспериментом с полимерными жидкостями является соотношение к = 1.2р.
Линейная система уравнений, которая возникает в результате линеаризации системы (2.1)—(2.6) относительно выбранного стационарного решения (в дальнейшем его компоненты снабжены значком "л") в случае, когда жидкость движется в бесконечном плоском канале, получена в [7].
В векторном виде она формулируется следующим образом. В области (см. фиг. 1)
О = {(г, х, у) | г > 0, (х, у) е П = {(х, у )| |х| <ю, 0 < у < 1}} требуется найти решение следующей системы уравнений:
Здесь
иг + вих + сиу + яи + г = о,
АО = Яе {°хх + 2(а12)ху} - 2<Ъ V
( \ Ы
(2.7)
(2.8)
и=
V
12
V а 22 V
У
1/2
Фиг. 1.
есть неизвестная вектор-функция, а = ап — а22; О = р--а22; матрицы В = В( и), С = С( и),
Яе
Л = Я(и) выписываются с помощью компонент стационарного решения и (у):
( - ^
и(у) =
( иМ ^ 0
ап( у)
а12( У )
^ а22 (у) у
В =
0
-2.41
0 1 Яе 0 0
ии 0 1 Яе 0
0 ии 0 0
-41 0 ии 0
-2 ¿12 0 0 и у
и =
0 0 0 1 0 ( Ч
Яе 0 со 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
л
-2 о12 Яе , Я = 0 а '11 *33 ^34 ^35
0 0 0 0 0 а '12 ^43 ^44 ^45
-42 0 0 0 0 V 0 а 22 ^53 ^54 ^55 У
0 -242 0 0 0 У
где 41 = аи + — , 42 = о77 + -1- ,
11 ж 2 22 Ж
^ = 1 + + к±5Р
33 Ж 3
а11, Л34 = -2(со - ро12), со = и , Л35 = - а1
Я44 = — + к1, ^45 = -со + ка12,
44 Ж 3 3 12
^ = 3а22, ^ = 2 ра12,
( \ р.
1
я55 = - + -1+
55 Ж 3
(2.9)
^43 = 3 а12,
22
г =
Ру 0 0
V 0 У
А — символ оператора Лапласа.
1
0
У 1.0'
0.8
0.6
0.4
0.2
Фиг. 2.
Будем предполагать, что на границах области О выполнены краевые условия
и\у - о - Чу = о
= и|у - 1 - Vу
ПУ - Яе ("12^
1 - о,
при у = 0, 1,
\\Щ(г, х, у)|| - (и, V)2 и заданы начальные данные
0, р(г, х, у) — 0, Рх(г, х, у) — 0 при |х|
да
Щг - 0 - и0(х, у), Р|г - о - Ро(х, у),
(2.10) (2.11)
(2.12) (2.13)
которые удовлетворяют уравнению (2.8) и условиям (2.12).
Замечание 2. В качестве основного решения можно рассматривать, например, решение, аналогичное решению Пуазейля для системы уравнений Навье—Стокса (см. по этому поводу [4], [8], [9]), которое симметрично относительно оси канала у = 1/2 (причем р (х, у) = — а22(у) + ро = Ах , ро — значение дав-
Яе
ления на оси канала, А — параметр, связанный с безразмерным перепадом давления на отрезке И).
Используя интегралы, в [7] при к = р компоненты и (у), а11 (у), а12 (у), а22 (у) этого решения найдены в явном виде, а при к Ф р они получены численно с помощью предложенного итерационного процесса. На фиг. 2 изображены профили функции и (у) при следующих значениях параметров к, Б (= ЯеА), Ж: к = 0, Б = 2, Ж = 1. Графики под номерами 1, 2, 3, 4соответствуют значениям р = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4.
Замечание 3. Как отмечается в [4], [8] (см. также [7]), профиль функций и (у) отличается от параболического профиля Пуазейля для вязкой жидкости. Максимальное значение скорости и тах находится по следующей формуле:
Б
1/2к а - а
Б + Р
8 Л
22
А2
итах - и - -
о
Замечание 4. В [7] доказано, что система (2.7) при известном давленииp(t, x, y) является t-гиперболи-ческой (см. [10]), если Л1 > 0, Л2 > 0, AiA2 — a12 > 0 (см. представления (1.3) матриц B и C). Эти неравенства, в частности, справедливы, когда в качестве основного решения выбирается "решение Пуазейля" (при к = р этот факт проверяется непосредственно, а при к Ф р численным образом). Информация о корнях характеристического уравнения играет существенную роль при постановке смешанных задач для t-ги-перболических систем.
В силу геометрии области П система уравнений (2.7) и уравнение Пуассона (2.8) допускают преобразование Фурье по переменной x.
Поэтому будем рассматривать проблему (2.7), (2.8), (2.10)—(2.13), предполагая, что компоненты вектора скорости u, v е D'+ a (P'x (R), Cly [0, 1]), давлениеp и компоненты тензора анизо-
21
тропии ап, an, а22 принадлежат классу D+ a (Px (R), Cy [0, 1]) (D+ a (Px (R), Cy [0, 1]), D+ a (Px (R),
Cy [0, 1]) — пространства обобщенных функций u(t, x, y), обращающихся в нуль при t< 0, причем
u(t, x, у)в-ы е P+, t при всех а > a (P+ = D+ n P), D+ — множество обобщенных функций из D'(R), равных нулю при t < 0, P — пространство функций медленного роста (см. [11], [12]), являющихся обобщенными функциями медленного роста по переменным x и принадлежащих пространствам
12
Cy [0, 1], Cy [0, 1] соответственно по переменной у). Переменная в качестве индекса в обозначении пространства, например Px(R), указывает на действующую переменную.
Таким образом, смешанная задача (2.7), (2.8), (2.10)—(2.13) понимается как краевая задача для обобщенных функций по переменным t, у и x, при этом начальные данные (2.13) выполняются в смысле предельного перехода при t —»- +0 (см. [11], [12]).
Замечание 5. Если решить краевую задачу (2.8), (2.11), (2.12), найдя давление p, то, подставив найденные производныеpx иpy (полностью определив тем самым вектор F), можно свести смешанную задачу (2.7), (2.8), (2.10)—(2.13) к смешанной задаче в области G только для компонент вектора U. Эта идея будет использована в дальнейшем.
Так, для модельной задачи с параметром (3.8)—(3.10), полученной после применения преобразования Фурье по переменной x (она сформулирована в § 3), справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Если выполнены условия (3.25) и (3.27), то смешанная проблема (3.8)—(3.10) имеет единственное решение из D+ a (Cy[0, 1]) при любом значении вещественного параметра (£, — двойственная переменная к переменной x).
Теорема 2. При —да решение смешанной задачи (3.8)—(3.10) выходит за пределы пространства D+ a (Cy[0, 1]) для любого положительного числа a. Таким образом, проблема поставлена некорректно в пространстве обобщенных функций D+ а.
Замечание 6. Допустим, что при постановке проблемы (2.7), (2.8), (2.10)—(2.13) условие (2.12) заменено на условие периодичности решения по переменной x. Тогда при стремлении длины волны к нулю амплитуда решения задачи возрастает экспоненциальным образом к бесконечности.
Таким образом, сформулированная в работе [1] модель требует внесения изменений.
3. ФОРМУЛИРОВКА ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Реализуем идею, описанную в замечании 4, и получаем одномерную (с одной пространственной переменной) смешанную зада
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.