ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 7, с. 1067-1081
УДК 519.633
ЛИНЕЙНАЯ ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА. ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ1)
© 2013 г. В. В. Гусаченко, Е. А. Ильичева, В. Б. Левенштам
(362040 Владикавказ, ул. Ватутина, 46, ЮФУ) e-mail: vleven@math.rsu.ru Поступила в редакцию 18.03.2012 г.
Переработанный вариант 14.01.2013 г.
Рассмотрена линейная параболическая задача второго порядка с высокочастотными слагаемыми. Эллиптический оператор соответствующей ей предельной (усредненной) задачи предполагается вырожденным. Для возмущенной задачи построена полная формальная асимптотика периодического по времени решения. Библ. 9.
Ключевые слова: параболическая задача, высокочастотные по времени коэффициенты, вырожденная предельная задача, полная асимптотика периодического по времени решения.
DOI: 10.7868/S0044466913070107
ВВЕДЕНИЕ
В классической теории метода усреднения Крылова—Боголюбова (см., например, [1]) имеется важный результат о построении и обосновании полной асимптотики периодического решения нормальной системы нелинейных дифференциальных уравнений с высокочастотными членами в окрестности невырожденного стационарного решения усредненной задачи. Последнее означает, что линеаризованная на стационарном решении правая (стационарная) часть усредненной задачи является обратимым оператором. Указанный результат помимо систем обыкновенных дифференциальных уравнений установлен для параболических и ряда иных эволюционных задач в частных производных (см. [2]—[5]).
В [6], [7] построены и обоснованы полные асимптотические разложения периодических решений линейных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с высокочастотными коэффициентами, для которых матричный коэффициент правой части усредненной задачи имеет простое нулевое собственное значение. Важную роль при этом играет методика, развитая в [8], где рассматривались возмущения стационарных задач на спектре.
В данной работе результаты из [6] и [7], относящиеся к построению формальной асимптотики, перенесены на случай линейных параболических задач второго порядка с высокочастотными коэффициентами и граничными условиями Дирихле. По данным возмущенной задачи построена тройка операторов A, B, C, и предполагается, что собственная функция, отвечающая нулевому собственному значению оператора A, который определен правой частью усредненной задачи, не имеет обобщенных присоединенных функций относительно пары A, B (см. разд. 1) или имеет единственную обобщенную присоединенную функцию относительно тройки A, B , C (см. разд. 2).
1. ОТСУТСТВИЕ ОБОБЩЕННОЙ ПРИСОЕДИНЕННОЙ ФУНКЦИИ
1.1. Постановка задачи
1.1.1. В цилиндре Q = Пх R рассмотрим задачу о классических — -периодических по времени t
ю
решениях линейного параболического уравнения второго порядка с большим параметром ю и граничным условием Дирихле
1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 и 8210, и РФФИ (код проекта 12-01-00402-а).
1067
2*
^^ = l +1 l) uix, t) + У (Mku(x, t) + dk(x))e'k(ú> + do(x), (1.1)
dt \ ю )
1<\k\<m
u(x, t)r = 0. (1.2)
Здесь Q — ограниченная область евклидова пространства Rn, n e N, с бесконечно гладкой границей SQ; Г = SQ х R; L0 и L1 — дифференциальные выражения второго порядка, а Mk — первого порядка; d0(x), dk(x) — бесконечно дифференцируемые на Q функции, 1 < |k| < m. Дифференциальные выражения L0 и L1 имеют вид
Lu(x) = У a°(x)+ У bf(x)+ с\x)u(x),
, ox¡dx¡ , dxt-,,j=1 ' j t=1 '
Lu(x) = У a)j(x)+ У b)(x)duU(x) + c:(x)u(x),
, dx¡ dx¡ , dxt-,, j=1 ' J ,=1 '
где ak(x), bk(x), ck(x) e С"(Q) — вещественные функции, i, j = 1, и, k = 0,1. Выражение L0 при этом
эллиптическое, т.е. для любого x еО и % = ..., 2, n) e Rn выполнено неравенство
n
У 0&&J > 0. (1.3)
=1
Выражения Mk имеют вид
n
Mku(x) = У dki (x) ^^ + gk(x)u(x), dxt-
где gk(x), dki(x) е С"(Q), причем dki(x) и d_ki(x), gk(x) и g-k(x), dk(x) и d-k(x) являются комплексно сопряженными, i = 1, и, 1 < |k| < m, d0(x) — вещественно.
С дифференциальным выражением L0 и граничным условием (1.2) свяжем обычным образом действующий в L2(Q) эллиптический оператор A с областью определения D(A) = {v e e W-(Q): Vsn = 0} : Av = L0v, v e D(A). Будем считать, что X = 0 — простое собственное значение оператора A, которому отвечает собственная функция a0(x). Как известно, в этом случае оператор A*, сопряженный с A, также имеет простое собственное значение ц = 0, которому отвечает некоторая собственная функция z0(x).
1.1.2. Введем в рассмотрение дифференциальное выражение
Mu(x) = Lu(x) + У M-kMku(x) (1.4)
ik
1<\k\<m
и оператор B, действующий в L2(Q) по правилу Bv = Mv, v е D(B) = D(A). Предположим, что a0(x) не имеет присоединенных функций относительно пары операторов A, B (см. [8]), т.е. уравнение Av = -Ba0 не разрешимо. В исходных терминах это означает, что задача
L0v(x) = -Ma0(x),
v(x)l so = 0
не имеет классических решений. Последнее, согласно альтернативе Фредгольма, равносильно неравенству
(Ma0(x), z0(x)) Ф 0. (1.5)
1.2. Основной результат
В некоторой погранполоске области Q перейдем к криволинейной системе координат. Точнее говоря, в области Q выберем пограничную полоску Qп толщины п, и определим отображение 3Q х [0, n] ^ , действующее по закону (у, r) ^ у + n^r, где у — точка на 5Q, имеющая местную
координату у, а п^ — вектор внутренней нормали к дО в точке у. Число п выберем столь малым, чтобы указанные нормали в О п не пересекались. В погранполосе Оп сделаем замену переменных
х = х(у, г) =
г)=(*£)
= гТю.
Полное формальное асимптотическое разложение — -периодического по времени г решения
ю
(формальное — -периодическое по г решение) задачи (1.1), (1.2) будем строить в виде ю
" Л
ыа(х, г) = юе_2а0(х) + ^ю 2(ык(х) + (у, р) + ека0(х) + ук(х, т) + 1к(у, р, т)). (1.6)
к=-1
Здесь т = ю г; ск е Я; ик : О ^ Я и ук Я ^ Я — регулярные, а wk(y, р) и 1к (у, р, т) — погранслой-ные функции (см. [9]), т.е.
^ (У,Р) р=„ = О, 1к р=ш = 0.
При этом функции ук(х, т), (у,р, т) являются 2п -периодичными по т с нулевым по т средним, т.е.
2п
2п
(ук (х, т)) = 2П ¡ук (х, т)ат = 0, ^к (V, Р, т)) = ^ 11к (V, Р, т = 0. 0 0 Напомним, что, как принято в методе пограничного слоя (см. [9]), погранслойные функции ^к(у,р) и (у, р, т) первоначально нужно определить лишь в погранполоске Оп, т.е. при
0 < р < п/5. После этого они продолжаются нулем внутрь О, а затем полученные функции умножаются на бесконечно дифференцируемую функцию
, л I1' 0 < г <2П, г) = < 3
[0, г >ц.
Прежде чем сформулировать основной результат, определим четыре типа линейных задач. Задача 1:
Ь0и(х) = Р(х), (Р(х), z 0(х)) = 0, (u(х), z 0(х)) = 0,
^х)| 0П = 0.
Задача 2:
ду(х, т)
дт
X fk(хwk%,
(у(х,т)) = 0.
Задача 3:
д и(|/, р)
Задача 4:
др р=„ = 0.
2
Ш д - кКУ, Р) = р) , д р
р=„ = 0, к 6 Ж\0, ре[С,®).
Здесь у е дО играет роль параметра; Р(х), /к(х) — известные бесконечно гладкие на О функции, 1 < |к\ < т/, / е N\0; /о(у) > 0 — коэффициент при второй производной по р в представлении Ьо в криволинейных координатах; , р) и С(у, р) — известные погранслойные квазимногочлены по р, коэффициенты которых зависят от у.
Введем обозначения частичных сумм ряда (1.6):
к к
4(х, 0 = ШС-2Йо(х) + X® 2(и*(х) + ^(У, р) + САо(х) + Уз(х, т) + ^(у, р, т)), к > -1.
з=-1
Теорема 1. Формальное асимптотическое--периодическое по времени г решение задачи (1.1),
ю
(1.2) в условиях п. 1.1 может быть представлено рядом (1.6) с вещественными коэффициентами, построение каждого из которых сводится к решению конечного числа типа задач 1—4.
Замечание 1. В формулировке теоремы говорится о задачах 1—4, поскольку этот список вполне характеризует используемый алгоритм построения коэффициентов ряда (1.6). Однако, поскольку задачи 2—4 решаются с помощью конечного числа арифметических действий, то можно было бы говорить, что построение коэффициентов (1.6) сводится к решению конечного числа задач вида задачи 1.
Доказательству теоремы 1 посвящена остальная часть раздела.
1.3. Нахождение коэффициентов асимптотики Подставим ряд (1.6) в уравнение (1.1) и в граничное условие (1.2):
Ж 2_к / \ Ж к
Х«~ + = Х»^ (х) + ^ (V, р) + Ук (х, Т) +
к=-1
к=-1 к+2
+ ¿к(ъ р, т)) + с_2Аао(х) + Xю 2 (х) + ™к(V, р) + Скйо(х) +
к=-1
/ Ж
+ У к (х, т) + 1к (V, Р, т)) + X юс_1Мкйо(х) + X ю 2Мк[и,(х) +
(1.7)
1<|к|<т V
г=-1
+ (V, р) + сао(х) + У1 (х, Т) + г1(V, Р, т) ] + 4(х)
' ™ к " X® 2[ик (х) + ™к (у, р) + У к (х, т) + 1к (V, р, т) ]
V к=-1
ек + й о(х),
= о.
(1.8)
В дифференциальных выражениях, в которые входят погранслойные функции, перейдем к криволинейным координатам, затем приравняем в полученных равенствах коэффициенты при одинаковых степенях ю, причем отдельно для регулярных и для погранслойных слагаемых. Нач-
нем со старшей степени ю2. Получим
= о, (у _1(х,т)> = о,
01
так что у_1(х, т) = о, и
= /о(^)д г-1(¥; р, т) + /^-1(¥, р). дт др др
Применяя к последнему равенству операцию усреднения по т, приходим к двум равенствам:
дг_1(у,р,т) _ / , , д г-1(у, р, т) д w_l(y , р) _ о
д _ 'о(¥) г-2 , _о •
дт др др
СО
Отсюда с учетом (1.8) получим задачи
дг-1(у, р, т) _ г у) д2г-1(у, р, т) - _ 1о(у) —2 ,
дт др2
(г -1(у,р,т)) = 0, г-1(у,Р,т) р=„ = 0 г _1(у,р,т)| Г = 0;
д У^у,р) = 0 др2 , р=ш = 0.
Так что г _1(у,р,х) = 0, ^(у,р) = 0.
Приравняем коэффициенты при степени ю1. Получим
= У е_2Мка0(х)в'кт, УМ) = 0,
дт
1<\к\<ш
так что
УоМ = У с-2 ек
1<\к\<ш
дг0(у , р, т) _ г (у) д2г0(У , р, т) + , ( А Р)
д _10(у) ~2 +10(у) ~2 •
дт др др
Последнее уравнение распадается на пару:
_ ! (,п)д2г0(у, р, т) д2^(у, р) _ 0
я = 10^ , - 0 ■
дт др др
Таким образом, приходим к задачам
д У(у,р) = 0
др2 '
^^ р=„ =0;
р=
2
дг0(у,р,т) _ , ,г) д г0(у , р, т)
т др2 , (1.9)
(г0(у,р,т)) _ 0,
г0(у,р,т) р=„ = 0
г 0(у,р,т)| Г = -
( \
У с Мка0(х) е1кт
-2 Iк
\Д<|к|<ш У
Отсюда ^0(у, р) = 0. К задаче (1.9) вернемся после нахождения коэффициента с Выпишем регулярные слагаемые при следующей степени ю1/2:
-2-
= ьи-1(х) + У (Мкыл(х) +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.