ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 1, 2014
УДК 531.381
© 2014 г. В. Ю. Ольшанский
ЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПУАНКАРЕ-ЖУКОВСКОГО
Найдены все случаи существования линейного инвариантного соотношения уравнений Пуанкаре—Жуковского при симметричных матрицах гамильтониана. Для известных частных случаев указан простой геометрический смысл условий существования. Выделены прецессионные движения с линейным инвариантным соотношением.
Показано существование линейных инвариантных соотношений уравнений Пуанкаре—Жуковского, отличных от известного [1] и найденного позже [2] случаев. Получено описание всего множества линейных инвариантных соотношений при симметричных матрицах гамильтониана. Выделены прецессионные движения с линейным инвариантным соотношением. Отмечена связь с условиями существования дополнительного квадратичного интеграла. Для известных частных случаев [1, 2] указан простой геометрический смысл условий существования.
1. Введение. Рассматриваются уравнения Пуанкаре-Жуковского M = M х (AM + Bp) + p х (Cp + B TM) p = p х (AM + Bp) + M х (Cp + B TM) При переходе к переменным K = M + p, S = M - p система (1.1) записывается в виде
K = K х (A' K + B' S), S = S х (B' TK + C' S) (1.2)
Здесь М, р e R3, А, В, С — линейные операторы R3 ^ R3,
2A' = A + C + B + BT, 2B' = A - C + BT- B, 2C' = A + C - B - BT (1.3)
Операторы А, С, А', С' — симметрические; всюду ниже рассматривается случай, когда операторы В и В' также симметрические.
Уравнения (1.1) допускают различные физические интерпретации [1]. При описании движения вокруг неподвижной точки твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, имеющей однородную завихренность, вектор S пропорционален завихренности жидкости О, K = 1ш + JO — суммарный кинетический момент тела и жидкости, ш — угловая скорость твердого тела, I — оператор инерции системы, компоненты оператора J выражаются через полуоси эллипсоидальной полости [1, 3—5].
Система (1.2) имеет следующие интегралы:
K2 = const, = const, (A'K, K) + 2(K, B'S) + (C'S, S) = const (1.4)
При существовании четвертого интеграла система будет интегрируемой.
Ниже решается задача нахождения всех возможных случаев существования линейного инвариантного соотношения (ЛИС) уравнений (1.2)
При построении ЛИС отдельно рассмотрены случай |ш| Ф |п| (разд. 4) и случай |ш| = |п|, m Ф п (разд. 5). Показано, что при движении с ЛИС в случае |m| = |п| происходит прецессия векторов К и S вокруг нормалей плоскостей круговых сечений эллипсоидов = 1 и C'z) = 1 соответственно.
Для известных частных случаев — при m = п [1] и при п = 0 или m = 0 [2] найден простой геометрический смысл условий существования ЛИС (разд. 6). Указана связь (разд. 7) ЛИС с квадратичным интегралом О.И. Богоявленского [6].
2. Основные результаты. Обозначим а', еа1, Ь', еЬ/, с', еы (' = 1, 2, 3) собственные значения и векторы операторов А', В', С'; а1 и eai, ... — собственные значения и векторы А, В, С. Для разностей чисел и1, и2, и3 используем обозначение
Аи1 = и2 - и3 (1 2 3)
Система (1.2) сохраняет свой вид при умножении К, S, А', В', С' на — 1 и, не ограничивая общности, можно рассматривать случай, когда оператор В' имеет не более одного отрицательного собственного значения. Операторы А' и С' определены с точностью
до слагаемых вида цЕ, где Е — тождественный оператор, и можно считать аг > 0, сг > 0
(' = 1, 2, 3). Для краткости формулировок круговые сечения эллипсоидов = 1,
C'z) = 1 и эллипсоида либо однополостного гиперболоида В^) = 1 будем называть круговыми сечениями для операторов А', С' или В'.
Теорема 1. В случае |m| Ф |п|, m -Ц п для существования ЛИС (1.5) необходимо и достаточно, чтобы операторы А', В', С' имели общий собственный вектор е2 = ^ х п)°, где m и п — нормали круговых сечений для операторов А' и С', и оператор В' имел вид
F = (m, K) + (n, S)
(1.5)
1 / T Tч
B = I-; (rmm - qnn )
|m x n|
(2.1)
q = A a\A a3, r2 = Aci A c3
(2.2)
При движении с ЛИС векторы K и S задаются равенствами
K = a m° + ak( cos ф^ + sin x e2)
m
(2.3)
S = --n° - aS(cosф5е2 + sinф5п°x e2), a, ak, as = const
n
и совершают прецессии вокруг, соответственно, нормалей m и n. Функции фк(0 и ф5(?) удовлетворяют системе уравнений
фk = ka + тДфк, ф^) , фs = kc + пДфк, ф^)
Афк, ф*) = k + k2sin+ k3sinфk, ka, kc, k = const
(2.4)
Скорости прецессий связаны линейной зависимостью тфs - пфk = mkc - nka = const
(2.5)
Теорема 2. В случае, когда и, ф , m || n, m ф 0, n ф 0
для существования ЛИС (1.5) необходимо и достаточно, чтобы
1) задаваемые операторами А', В', С' поверхности второго порядка имели общую плоскость кругового сечения (с нормалью m) и общее направление средних осей;
2) собственные значения оператора В' удовлетворяли условиям
b'2 = 0, b'1b'i = -JA a'jA a'3A c\A c3 (2.6)
При движении с ЛИС векторы K и S совершают прецессию вокруг нормали m, скорости их прецессий связаны линейной зависимостью
, i 1/4 i i 1/4
(AcjAc3) фk - (AajAa3) ф^ = const (2.7)
Теорема 3. В случае |m| = |n| , m -Ц n для существования ЛИС (1.5) необходимо и достаточно выполнения условий
1) векторы m и n являются нормалями круговых сечений для операторов А' и С';
2) (q, n) + (г, m) = 0 (2.8)
где q = qea2 , r = rec2 и модули векторов q и r заданы равенством (2.2);
3) оператор В' может быть записан в виде
B' = B0 + —1— < <m, n, г)mmT- <m, n, q)nnT-sin 2 6 I
--y- [(m + n)(m x n)T + (m x n)(m x n)T] I (2.9)
2 cos 6 J
B0 = E--Ц- (m + n)(m + n )T (2.10)
2 cos26
к = (m x n) • (q x m) = (m x n) • (г x n) (2.11)
Здесь — произвольный параметр, cos2s = (m, n).
Получена новая форма условий существования известных ЛИС. Для случая [1] m = ±n условия описаны ниже в предложениях 1 и 2, для случая [2] m = 0 или n = 0 — в предложении 3.
Предложение 1. Для существования ЛИС F = (m, K + S) системы (1.2) необходимо и достаточно, чтобы задаваемые операторами А', В', С' поверхности второго порядка имели общую плоскость кругового сечения (с нормалью m), общее направление средних осей и собственные значения были связаны условием
A a'jA a3 = A b\A b'3 = A c1 A c3 (2.12)
Предложение 2. Для существования ЛИС F = (m, M) системы (1.1) необходимо и достаточно, чтобы операторы В, С были линейными комбинациями тождественного оператора Е и проектора Рт на нормаль m кругового сечения для оператора А
В = Д ЬЕ + V ь?т, с = Д с Е + Vс?т, Рт = шшТ (2.13)
Условием существования ЛИС Г = (п, р) является представимость операторов А и В в виде
А = Д ЙЕ + V аР„, В = Д ь Е + V Ь Р„
где Ри — проектор на нормаль п кругового сечения для оператора С.
Отметим, что при выполнении условий (2.13) квадратичные поверхности, задаваемые операторами В и С — поверхности вращения и вектор m направлен по их оси вращения.
Предложение 3. ЛИС Г = (т, К) уравнений (1.2) существует тогда и только тогда, когда В' = vbPm = vbmmг, где m — нормаль кругового сечения для оператора А'. ЛИС Г = = (п, S) существует, только если В' = vbnn7, где п — нормаль кругового сечения для оператора С'.
3. Некоторые свойства определяющих тождеств. При существовании ЛИС (1.5) производная Г в силу системы (1.2) должна иметь вид
Р = ((^ К) + (г, 8))Р (3.1)
Это равенство эквивалентно следующей системе тождеств, определяющих допустимый вид матриц коэффициентов системы (1.2) и векторных параметров m и п, задающих ЛИС (1.5):
<ш, К, А'К) = (^ К)(ш, К) (3.2)
<п, 8, С'8) = (г, 8)(п, 8) (3.3)
<ш, К, В'8) + <п, 8, В'К) = (^ К)(п, 8) + (г, 8)(ш, К) (3.4)
Предложение 4. Для существования ЛИС необходимы условия (^ ш) = 0, (г, п) = 0 (3.5)
Доказательство. При K = m из тождества (3.2) следует т2^, m) = 0 и получаем первое условие (3.5); аналогично получаем второе условие.
Предложение 5. Для симметрического оператора G1 тождество
<ш, К, в!К) = 0 (3.6)
выполнено, только если оператор можно представить в виде
в! = д Е + vm ° ш °Т (3.7)
Доказательство. Пусть g;, у,- — собственные векторы и собственные значения оператора G1. Тождество (3.6) эквивалентно выполнению условий т:(у2 — у3) = 0 (1 2 3), где т1 = (т, gi). Если у: Ф у2 = у3, то т2 = т3 = 0 и m0 = g1, тогда G1 = у2Е + (у: — у2)т0т07. Если У! = у2 = у3, то G1 = цЕ.
Предложение 6. Тождества (3.2) и (3.3) выполнены тогда и только тогда, когда операторы А' и С' могут быть записаны в виде
А' = даЕ + Vаш°ш°Т + ш°(ш°х q)Т + (ш° х q)ш°Т
(3.8)
С' = дс Е + vcn ° п°Т + п °(п °х г )Т + (п °х г) п °Т
Доказательство. Обозначим
в! = А' - т°(т°х с|)Т- (т°х q)т°Т
Подставив отсюда А' в тождество (3.2), для симметрического оператора С1 получим тождество (3.6). Тогда имеет место представление (3.7) и оператор А' записывается в виде (3.8). Аналогичное представление для С' получаем из тождества (3.3).
Предложение 7. Любой симметрический линейный оператор и: Я3 ^ Я3 можно записать в виде
и = и2Е + (Аи3 - Аих)88Т + к(8(8 х е2)т + (8 х е2)8Т) (3.9)
где и, и е, — собственные значения и векторы и, и2 е [и1, и3], а
s = ^ ej ± /-i-^-1 e3, к = ^ s3A и2 = ± sign (А и2 )JA и1А u3 (3.10)
А u2 sj А u2
Доказательство равенства (3.9) можно выполнить, подставив выражения s и к из формул (3.10) и получив равенство U = ^ Uj ei eT.
Формула (3.10) для s задает нормали двух семейств круговых сечений поверхности (z, Uz) = 1, являющейся эллипсоидом (при ui > 0), либо однополостным гиперболоидом (при u1 < 0, u2 > 0, u3 > 0).
Из предложений 6 и 7 следует, что тождества (3.2) и (3.3) не накладывают никаких ограничений на операторы А' и С', а только определяют векторы m, n, q, r.
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 8. Тождества (3.2) и (3.3) выполнены тогда и только тогда, когда векторы m и n — нормали круговых сечений эллипсоидов (z, A'z) = 1 и (z, C'z) = 1, векторы q и r коллинеарны средним осям этих эллипсоидов и их модули заданы равенствами (2.2).
Предложение 9. Для выполнения тождества (3.4) необходимо условие 2 теоремы 3 и условия
n2q = -m х B'n, m2r = -n x B'm (3.11)
<m, n, B'(m - n)> = 0, <m, n, B'(n2m - m2n)> = 0 (3.12)
Доказательство. Пусть zi = (z, e'bj). Приравнивая в тождестве (3.4) нулю коэффициенты при KiSi (i = 1, 2, 3), получим
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.