научная статья по теме ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ С ОБЛАСТЬЮ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА Физика

Текст научной статьи на тему «ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ С ОБЛАСТЬЮ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА»

РАСПЛАВЫ

1 • 2013

УДК 536.421.4

© 2013 г. Д. В. Александров1, А. П. Малыгин

ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ С ОБЛАСТЬЮ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА

Проведен линейный анализ динамической устойчивости фронтальной постановки задачи о направленной кристаллизации бинарного расплава с постоянной скоростью при наличии квазиравновесной двухфазной зоны. Выведены эволюционные уравнения и линеаризованные граничные условия на плоской поверхности разрыва для возмущений. Найдено уравнение для определения параметра, характеризующего временное поведение возмущений. Получена кривая нейтральной устойчивости в зависимости от теплофизических параметров системы. Показана возможность существования областей монотонной, колебательной неустойчивости и устойчивости процесса. Определены границы, разделяющие эти области.

Ключевые слова', затвердевание, двухфазная зона, динамическая устойчивость.

ВВЕДЕНИЕ

Впервые теоретически обоснованный анализ морфологической неустойчивости плоского фронта кристаллизации, движущегося с постоянной скоростью, был проведен в работе [1], где использовался подход, фактически аналогичный методу статьи [2] по гидродинамике горения. Авторы [1] налагали на плоскую поверхность раздела между твердой фазой и расплавом произвольное синусоидальное возмущение, ссылаясь на то обстоятельство, что его можно разложить в интеграл Фурье. Такой подход является строгим, и полученный критерий неустойчивости можно считать правильным. Линейная теория неустойчивости [1] показывает, что при определенных соотношениях между параметрами, характеризующими процесс кристаллизации, возможно нарушение морфологической устойчивости процесса затвердевания относительно квазистационарного режима движения фронта с постоянной скоростью. Правильность полученного в [1] критерия неустойчивости подтвердили теоретические и экспериментальные работы (см., например, [3—6]).

Затем последовала серия работ различных авторов, которые исследовали морфологическую неустойчивость для различных ситуаций (влияние конвекции [7—12], плавучести [13], эффектов термодиффузии [14], периодичности скорости роста [15], кинетических факторов и анизотропии [16, 17], высокоскоростной кристаллизации [18], направленного действия давления [19, 20], включений примеси в твердую фазу при изотермической кристаллизации [21]). Основной результат этих работ — получение условия нарушения морфологической устойчивости (областей изменения системных параметров, при которых процесс кристаллизации морфологически неустойчив). Анализ устойчивости важен по двум причинам. С одной стороны, с его помощью можно выделить области режимных параметров, в которых следует ожидать появления того или иного типа структуры (полосчатой, ячеистой или дендритной). С другой, в случае формирования этих структур, метод исследования позволяет рассчитывать различные характеристики процесса кристаллизации и соответствующее им распределение примеси в твердой фазе.

В реальных процессах затвердевания возможно появление различных типов неоднородного распределения примеси в твердой фазе (ячеистые [22—25], дендритные [26, 27] и полосчатые образования [23, 28]), связанных с неустойчивым поведением межфазной

1Отйп.А1ехапдгоу@ши.ги.

границы. Кроме того, в работах [23—25, 29] зафиксировано, что при определенных условиях возможен переход от полосчатых к ячеистым структурам, а также их совместное существование. Неоднородности в распределении примеси могут быть вызваны протеканием различных процессов (например, кинетикой и нуклеацией частиц перед границей раздела фаз, конвекцией, концентрационным переохлаждением, а также другими эффектами).

Математическое моделирование образующихся неоднородных структур основывается на теории возмущений и анализе развития неустойчивости. Так, ячеистое распределение примеси в твердой фазе вызывается появлением морфологически неустойчивых выступов твердой фазы на фронте кристаллизации. Для определения принципиальной возможности возникновения ячеистых образований требуется проведение линейного анализа морфологической неустойчивости [1], а для расчета их характеристик — нелинейного анализа [30] в области существования колебательной неустойчивости. Другими словами, ячеистое распределение примеси описывается в рамках теории бифуркации решений относительно изучаемого процесса (например, квазистационарного).

Из опытов известно, что кроме ячеистых структур наблюдается так называемая поперечная примесная слоистость (слоистая ликвация, возникающая в направлении, перпендикулярном затвердеванию). Существуют попытки связать такую слоистость с неустойчивостью стационарных конвективных течений (термогравитационная конвекция, конвекция Марангони) и с появлением автоколебательных режимов конвекции [6]. Однако с таких позиций трудно объяснить однородность структуры слоев в плоскостях, параллельных фронту затвердевания. Попытки сопоставить наличие слоистой ликвации с возможностью генерации автоколебаний в дендритной зоне [31] или со способностью твердой фазы к изоморфному расслаиванию [32] имеют ограниченную применимость, поскольку указанное явление может наблюдаться при отсутствии дендритов и для материалов, не способных образовывать изоморфные фазы.

Возникновение таких полосчатых неоднородностей традиционно связывают либо с разнородными внешними факторами и воздействиями (конвективные движения расплава, случайные колебания температуры и других характеристик процесса, вращение кристаллизационной ванны, электромагнитные поля и т.д.) [33] либо с возможностью самовозбуждения колебательных режимов затвердевания охлаждаемых расплавов, содержащих оттесняемую от фронта примесь. В качестве основной физической причины такого самовозбуждения выступают специфические свойства двухфазной зоны, которая может сформироваться вблизи от фронта в результате появления дендритов или гомогенного образования кристаллических зародышей в локально переохлажденном расплаве [31], способность твердого раствора к расслаиванию на изоморфные фазы разного состава [32] и некоторые другие факторы. При этом часто остается неясным, в какой степени выводы о генерации автоколебаний и их особенностях отражают объективные свойства реальных систем, а в какой они являются следствиями априорных и обычно плохо проверяемых допущений о структуре и свойствах двухфазной зоны или о кинетике протекания процессов переноса вблизи фронта.

В статье [34] высказана мысль о том, что слоистая ликвация обусловлена неустойчивостью движущегося фронта кристаллизации по отношению к малым возмущениям его скорости и установлением в результате неустойчивости некоторого нового нестационарного режима процесса направленного затвердевания. Указанная идея подтверждена в [35, 36], а в работах [37, 38] показано, что динамическая неустойчивость фронта кристаллизации тесно связана с особенностями фазового перехода на фронте.

Вместе с тем известны многочисленные примеры установления колебательных режимов движения фронта (ритмичной кристаллизации), не связанных с морфологической неустойчивостью и приводящих к возникновению поперечных слоистых структур (отдельные слои направлены по нормали к фронту кристаллизации, форма слоев отражает его конфигурацию в моменты их образования) [39, 40]. Поэтому колебательные режимы, приводящие к возникновению слоистой ликвации примеси, можно исследовать на осно-

ве линейной и нелинейной теорий динамической неустойчивости. Основной задачей линейного анализа является изучение возможности нарушения устойчивости квазистационарных решений, описывающих кристаллизацию с плоской границей раздела фаз, по отношению к малым возмущениям скорости затвердевания. Линейная теория динамической устойчивости также определяет, при каких значениях параметров процесса реализуются колебательный и устойчивый режимы кристаллизации.

Такой анализ устойчивости отличается от аналогичного анализа морфологической устойчивости лишь тем обстоятельством, что волновое число возмущений равно нулю для динамических колебаний межфазной границы при сохранении ее морфологии. Можно также сказать, что динамическая неустойчивость — это частный случай морфологической неустойчивости. При этом возмущения с нулевым волновым числом являются наиболее быстро растущими. После исследования динамической неустойчивости при затвердевании бинарных расплавов во фронтальном режиме [36—38] необходимо исследовать возможность образования такой неустойчивости в процессах кристаллизации с протяженной областью фазового перехода.

Двухфазная зона образуется в процессах направленной кристаллизации вследствие возникновения концентрационного переохлаждения перед плоской межфазной поверхностью [41—44]. Математическая модель затвердевания с областью фазового перехода является нелинейной нестационарной системой уравнений в частных производных с пограничными условиями, заданными на движущихся с неизвестной скоростью межфазных границах. Поэтому общих методов решения уравнений двухфазной зоны не существует. В случае кристаллизации квазиравновесной двухфазной зоны (когда концентрационное переохлаждение компенсируется за счет интенсивного выделения скрытой теплоты) с постоянной скоростью в статьях [45—48] были разработаны методы определения точных аналитических решений нелинейной модели двухфазной области, основанные на переходе к новой независимой переменной — доле твердой фазы. Затем эти методы были обобщены на случаи влияния термодиффузии и температурно-зависимой диффузии [49, 50], слабой конвекции расплава [51], нелинейности уравнения ликвидуса [52] и трехкомпо-нентности системы [53, 54] для квазистационарного процесса затвердевания. В публикациях [55—68] были получены решения уравнений двухфазной зоны для автомодельного процесса кристаллизации (формирующегося на заключительных стадиях процесса) [55—62] и существенно нестационарного начального режима затвердевания при произвольных временных колебаниях температуры на границе охлаждения [63—68]. Теория отыскания аналитических решений для уравнений двухфазной зоны в неравновесных условиях реализации процесса рассмотрена в статьях [69—71].

Найденные аналитические

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком