ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 4, с. 579-584
УДК 536.21;27.35;25
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ТЕПЛОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ С ПОГЛОЩЕНИЕМ
© 2015 г. В. Ф. Формалев, Е. Л. Кузнецова, Л. Н. Рабинский
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
E-mail: formalev38@yandex.ru Поступила в редакцию 24.11.2014 г.
В работе на основе впервые полученного аналитического решения задачи теплопереноса в анизотропном пространстве с поглощением, характеристики которого зависят от температуры, исследованы температурные поля и тепловые потоки под действием импульсного точечного источника теплоты. Оказалось, что теплоперенос носит волновой характер, причем фронты тепловой волны на плоскости представляют собой эллипсы. При этом учитываются стоки тепловой энергии и происходит локализация тепловых возмущений внутри эллипса даже при стремлении времени к бесконечности. Полученные результаты подтверждают гипотезу о локализации фронтов температурных возмущений и тепловых потоков в теплозащитных композиционных материалах при их фазовых превращениях в условиях аэрогазодинамического нагрева.
Б01: 10.7868/80040364415040109
ВВЕДЕНИЕ
Изучение теплового взаимодействия мощных излучений с поверхностями, ограничивающими тепловую защиту гиперзвуковых летательных аппаратов, изготовленных из анизотропных композиционных материалов, является актуальной проблемой.
Исследованию теплопереноса в нелинейных средах посвящено значительное число работ, среди которых можно назвать монографии [1—3], а также работу [4]. Волновой теплоперенос в нелинейных анизотропных средах анализировался в [5]. Однако работы по теплопереносу в нелинейных анизотропных средах с поглощением тепловой энергии авторам неизвестны. В [5] показано, что если теплофизические характеристики в анизотропном пространстве являются однородными многочленами температуры, то теплоперенос носит волновой характер, причем фронты тепловых волн являются эллипсоидами в пространстве и эллипсами на плоскости. При этом оказывается, что на фронтах тепловых волн непрерывны температуры и тепловые потоки, но разрывны производные второго и более высоких порядков от температуры по пространственным переменным и, кроме того, скорости движения фронтов тепловых волн в различных направлениях не совпадают.
В данной работе поставлена и впервые аналитически решена задача о теплопереносе в нелинейном анизотропном пространстве, в котором равномерно распределены стоки теплоты, зависящие от температуры (так называемое поглощение). Оказалось, что фронты тепловых волн,
представляющие собой эллипсоиды в пространстве и эллипсы на плоскости, локализуются, т.е. при стремлении времени к бесконечности фронты и, следовательно, температурные возмущения локализуются в конечном пространстве (температуры и тепловые потоки не распространяются дальше предельного фронта).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается следующая задача о нестационарном распределении температур Т(х, у, ?) в плоской анизотропной области V с поглощением под действием точечного источника с энергией Е0, приложенного в начале координат х = 0, у = 0 в начальный момент времени ? = 0:
{x,y} е (-да,да), t > 0;
cpjjY(x, y, t)dxdy = E0 = const, t > 0. (2)
V
Здесь у — постоянная положительная величина, а E0 — действующий в начальный момент времени t = 0 в начале координат мгновенный точечный источник тепловой энергии, распределение температур от которого при t > 0 таково, что интеграл по области V от этого распределения постоянен и равен E0¡ cp.
579
7*
Компоненты тензора теплопроводности Xхх (T), Xxy (T), Xyx (T), Xyy (T), зависящие от температуры, определяются соотношениями [6]
Xxx (T) = X% (T)cos2 ф + Xn (T)sin2 ф, Xxy (T) = Xyx (T) = [X% (T) - Xn (T)]sin фcos ф, (3)
Xyy (T) = Xi (T)sin2 ф + Xn (T)cos2 ф, где главные компоненты тензора теплопроводности являются однородными многочленами от температуры
X^ = k(Tс, Xn = knT(4) ф — угол между главной осью O% и осью Ox декартовой системы координат; k^ = const, kn = const.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Используя линейное преобразование поворота вокруг начала координат на угол ф
2 = x cos ф + y sin ф, n =-x sin ф + y cos ф, (5) сведем задачу (1), (2) к следующему виду, не содержащему смешанных производных:
dT д cp— = —
dt д£,
г ^ dT 1 д kT — +--
дП
kTTа
дП
-YT,
{г} е (-ж;да), t > 0; En
fir( n, t) d^dn = — = const, t > 0. JJ cp
V
Перейдем к новой системе координат
X! (Щ)2, х2 =n (L/kn f, где L — любая постоянная. Получим из (6), (7)
dT = a-d
dt dx,
Ta dT_ dx
1У
dx2
Ta dT_ dx
2 У
-Y T, cP
(6)
(7)
(8) (9)
(x,,x2} e (-»,да), t > 0; ^^T(xi,x2,t)dxdx2 = E0, t > 0.
(10)
Здесь a = L/cp. При замене
Т(*!,х2,г) = ехр[ г ]$Хх2,г) (11)
^ сР )
в уравнении (9) исчезает источниковый член и задача (9), (10) приобретает вид
exp
с \ ya t
\ ср j
г±
dx2
{xi,x2} e (-да,да), t > 0;
= a^
dt dxi
0a
dx.
„ dx2j
ííexpI —Yt Id(x,,x2t)dx1dx2 = E0,
V ^ cP J
t > 0.
(12)
(13)
cp , - exp с o -H , T 6 0, CP
ya V CP^ _ ya_
Введем новую переменную т, зависящую от времени t:
(14)
д д дт Тогда, учитывая равенство — =--=
дг дтдг
= ехр I -— г I— и тот факт, что условие (13) имеет ^ ср )дт
место и при г = 0 (т.е. т = 0) получим из (12), (13)
^ = a-dír — 1 + a^ír Щ,
дт dx, ^ dx,J dx2 ^ dx2 J {x,,x2} e (-да,да), т e ( 0, — I;
^ YaJ
(x,,x2,0)dx,dx2 = E0, т = 0.
(15)
(16)
Дальнейший вывод решения использован из работы [5]. Решение задачи (15), (16) находится путем введения автомодельных переменных
d (x,, x2, т) = xa0 (q,, q2),
где
(17)
(18)
Х1 Х2
Т Т
а а и в должны быть определены. Для их определения подставим (17), (18) в (15), (16) и получим
х-!
a0(q,,q2)-P| q,^Т + ^IT
dq, dq2
= тa(a+1)-2p x
x a
I dq,) dq21 dq2
а+2$л] k^ki
a
jje (fh, Q2 )dqldq2 = E0
(19)
(20)
Из уравнений (19), (20) следуют два соотношения:
a-, = a (a +,) - 2p, a + 2p = 0,
откуда
, r ,
a =--; в =
1- ■ о о (21)
a +, 2a + 2 С учетом (21) задача (19), (20) сводится к стационарному виду
aAf0* 501 + х
dq, V dq, J dq2 ^ dq2) 2a + 2
(22)
fq,дт + q2= 0, {q,,q2} ^
V 5ql dq2) a + \
Ц0(q,, q2)dh1dh2 = E0 = const. (23)
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ТЕПЛОВЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
581
Пусть функция 0 (qb q2) является радиально симметричной, т.е. зависит от одной полярной координаты r
V2 2 q1 + q2,
• . . t q2 (24)
q2 = r sin o, o = arctg—.
q1
Тогда задача (22), (23) трансформируется в следующую задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения:
адde) + r 50 + _
r дЛ dr! 2а + 2 dr а + 1
= 0,
12л|r е (r )dr = E0,
(25)
(26)
так как интеграл в (23) по переменной 8 равен 2я, а якобиан преобразования (24) равен г.
Поскольку функция 0 д2) является радиаль-но симметричной, то для уравнения (25) должно выполняться условие симметрии
0СТ0' (0) = 0. (27)
Таким образом, задача Коши (25), (26) для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (25) представляется в виде
1
(r ес0' (r))'
;(0r2)'
= 0,
а (2а + 2)
¿Ё 2п \rе (r) dr = E0, а J
r
0°0' (0) = 0. Первый интеграл уравнения (28) будет
(28)
(29)
(30)
r 0°0' (r) + -
1
-0r1 = С1,
r0CT0' (r) + -
;(2ст + 2)
0r2 = 0,
(31)
2п IVе (г)йг = Е0. (32)
а ■>
г
Уравнение (31) — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид
( 2 2 Л1а
0 (r) =
ОТ0
2а (2а + 2) 2а (2а + 2)
(33)
Постоянная интегрирования г02 может быть определена из условия постоянства энергии (32)
2п
yjk^kn
2а (2а + 2)
1 -
{r (r02 - r)) dr = E0. (34)
Интеграл в левой части выражения (34) вычис-
r 1
ляется в квадратурах с заменой — = z, p — — > -1 х
а
(z = 0) при r = 0 и z = 1 при r = r0) [7]:
"+1 V Г С Ч 211" С Ч
К1 -(i] dй = <r»)
"1 Г (СТ +1)
2Г (СТ+2)
( )
ст+1
Г (+1
(35)
2( + 1|Г ( + 1
(0)
ст+1
СТ
2 (ст + 1)
\СТ / \СТ
где Г (s) — гамма-функция. Из (34) и (35) получаем
!(E0) =
( Z7
Eoа а +1
.n/kk
ст+1 (4а (а + 1))ст+1
(36)
а (2а + 2)
причем в силу условия (30) при г = 0 постоянная С1 = 0. Следовательно, из задачи (28)—(30) получим
1
Выражения (33) и (36) определяют решение задачи (28)—(30)
( У/а И
0(41,42) = ^4а(+ ^ [Г02(Е0)-(2 + 42)] (37)
Возвращаясь в (37) к исходным переменным (5), (8), (11), (14), (17), (18), получим окончательно решение задачи (1)—(4)
а
r
r
0
ст
exp
T (x, y, t ) =
(_л
V cP
cp Y a
/ с
1 - exp
V
\2
Y at V cP
1/(a+1)
4а (a +1)
1 *
2(v\ (x cos Ф + У sin ф) L¡k^ + (-x sin ф + y cos ф) L¡kn r0 (E0) ñ ; ; wnV(a+1)
cp Ya
/ с
1 - exp
V
Yat
v cP
1 *
(38)
T, К
6 X 103
4 x 103
2 x 103
0
T, К 6 x 103
4 x 103
2 x 103
0
(а)
а = 0.5
0.6
-
■г 0.7
/] \\
, \ V
-0.02 0 0.02 х, м
(б)
- а 0.6 = 0.5
- 0.7 А.
/Л ' / / / ^ .- S 1 1 \ '"S л
-0.01 -5 x 10-
5 x 10-3 0.01 X, м
Рис. 1. Температура и температурные фронты тепло-
_4
вой волны в момент времени I = 10 с: (а) — сечение у = о, (б) — сечение х = 0.
где г02 (Е0) определяется выражением (36).
При у = 0 решение (38) совпадает с решением нелинейной задачи в анизотропном пространстве без стоков [5], при этом особенности не возникает, так как достаточно экспоненту в знаменателе разложить в ряд Тейлора в окрестности у = 0 и положить значение у, равное нулю.
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Анализ формулы (38) показывает, что ст Ф 0,
с Ф -1 и из (35) — +1 > 0, а а> 0 и у> 0, так как ст
í /..\Л /
exp
(Y)t
^ и exp
V ф У t
у<0
Y (t
ср
■ да. Таким
образом, формально решение существует при у > 0 и ctg (0; да).
Из равенства нулю выражения в фигурных скобках формулы (38) следует геометрическое место точек на плоскости
(x cos + y sin ф)2
r02 (E0 )кг L
cp уст
i i 1 - exp
V V
YCTt
(-x sin ф + y cos ф)
i
CT+1
Г02 (E0 )kn
cp уст
1 - exp
r уст/ cP
1
CT+1
+
= 1,
(39)
являющейся кривой второго порядка и определяющей подвижный фронт волны, которая разграничивает область ненулевого решения и остальную область с начальным распределением температуры. Таким образом, фронты бегущей тепловой волны по холодному пространству на плоскости представляют собой эллипсы с полуосями
I% - Г0 (E0)
1 n - r0 (E0 )
(40)
При стремлении вр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.