МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.5
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ КОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СЛОЕ НЕОДНОРОДНО НАГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ
© 2014 г. С. Н. АРИСТОВ, Д. В. КНЯЗЕВ
Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН, Пермь e-mail: asn@icmm.ru, dvk@yandex.ru
Поступила в редакцию 11.09.2013 г.
В рамках класса точных решений уравнений тепловой конвекции в приближении Обербека— Буссинеска, предполагающего линейную зависимость температуры и вертикальной компоненты скорости от высоты, изучено неавтомодельное поведение локализованных возмущений специального типа в слое неравномерно нагретой жидкости. Показано, что в неустойчиво стратифицированной среде эти возмущения способны эволюционировать к изотермическим образованиям типа вихрей Бюргерса. В условиях устойчивой стратификации либо однородного нагрева слоя рассмотренные возмущения стремятся к состоянию покоя колебательным или монотонным образом. Найдены новые решения, описывающие автомодельные конвективные вихри.
Ключевые слова: уравнения Обербека—Буссинеска, точные решения, конвективные вихри.
Необходимым условием равновесия неравномерно нагретой жидкости в поле силы тяжести является вертикальность однородного градиента температуры; при нарушении этого требования возникает конвекция [1]. Характер образующегося течения зависит от типа начального возмущения. Особый интерес представляют возмущения, использующие энергию фоновой стратификации для долговременного поддержания либо интенсификации собственной пространственно-локализованной конфигурации потока. Примерами такого рода образований являются конвективные вихри, характеризуемые преимущественно конвергентной структурой меридионального течения, формирующейся вследствие радиальной адвекции поддерживающей восходящее течение в ядре вихря и способствующей переносу момента импульса в эту область.
В качестве модели конвективного вихря, при единичном значении числа Прандтля, в [2] предложено стационарное осесимметричное решение уравнений термогравитационной конвекции в приближении Обербека—Буссинеска, принадлежащее тому же классу точных решений уравнений гидродинамики (с линейной зависимостью вертикальной компоненты скорости от высоты), что и изотермические вихри Бюргерса [3] и Салливана [4]. Недостатком это решения является линейный рост радиальной составляющей скорости вдали от оси симметрии потока. В ходе численных исследований, выполненных в рамках упомянутого выше класса, было найдено однопараметри-ческое семейство решений, удовлетворяющих некоторым условиям на бесконечности (не самого общего вида), обеспечивающим обращение в ноль меридиональной составляющей поля скорости [5, 6]. При этом вопрос о поведении азимутальной компоненты, по сути, не рассматривался.
В [7] найдено нестационарное обобщение решения [2]. Основное внимание в [7] уделено анализу автомодельного режима течения, так как в этом случае легко выписать частное автомодельное решение линейного уравнения для тангенциальной ско-
рости. В [8] показано, что среди автомодельных решений [7] имеется, по меньшей мере, одно, описывающее локализованный конвективный вихрь, радиальная и азимутальная компоненты скорости которого убывают обратно пропорционально расстоянию от оси симметрии. Численные исследования [9] показали существование целого семейства автомодельных вихрей в ограниченном диапазоне единственного параметра задачи (во всех упомянутых работах рассмотрен случай Рг = 1).
В настоящей работе рассматриваются некоторые вопросы, оставшиеся за рамками исследований [1—9], в частности, изучена неавтомодельная эволюция радиально-ло-кализованной меридиональной составляющей поля скорости, а также построены новые решения, описывающие локализованные конвективные вихри.
1. Постановка задачи. Пусть в тяжелой жидкости, находящейся над непроницаемой плоскостью % = 0, имеется равновесный градиент температуры V Т = - А*е %. В начальный момент времени I = 0 в слой вносится радиально-локализованное осесимметрич-ное возмущение, в центре которого вертикальный градиент температуры равен V = -А0е %. Требуется описать возникающее конвективное течение в зависимости от типа локализованного возмущения, в частности от соотношения величин равновесного и возмущающего градиентов температуры.
В цилиндрической системе координат (е г, е е %) граничные условия, выражающие требования аналитичности скорости на оси возмущения [10] и механического равновесия на бесконечном удалении от него, имеют вид
г = 0 :иг = иф = 0, ^ = 0, дТ г ф д г ' д %
= - А0
I=0
дР
г ^да: иг = иф = и% = 0, — =-gвA*z (1.1)
д %
Здесь (иг) — скорость жидкости; Т, Р — отклонения температуры и давления, отнесенного к средней плотности р0, от их средних значений, соответствующих р0; Р — коэффициент теплового расширения; g — модуль ускорения свободного падения.
При исследовании нестационарной конвекции, помимо граничных условий, должны быть заданы начальные распределения скорости и температуры. Далее рассматриваются два примера локализованных возмущений с заданной в начальный t = 0 и последующие моменты времени пространственной структурой. Начально-краевое условие дТ/д=0 = -А0 из (1.1) определяет интенсивность исходного теплового возмущения.
Уравнения Обербека—Буссинеска допускают класс точных решений, обобщающий известное изотермическое решение [11]
иг = ^ и (т, х), иф = ^ [V (т, х) + (т, х)] л/х л/х
= -
Ж (т, х)+ Z —
д х
, в Т = - [0 (т, х) + ze (т, х)]
Р = (gV)273 [Р0 (т, х) - (т, х) - 222Р2 (т,х)] (1.2)
2
v % -
где V — коэффициент кинематической вязкости; т = t, х = ^Я^у4г2, 2 =
безразмерные время и пространственные переменные.
Представление (1.2) можно рассматривать как первые члены разложения гидроди-мамических величин и температуры в ряд Тейлора по поперечной координате спра-
V
%
ведливое для тонкого слоя. Обрыв ряда оправдан точным удовлетворением (1.2) уравнениям Обербека—Буссинеска. В то же время это разложение не позволяет в полной мере учесть краевые условия на горизонтальных границах слоя.
Далее принимается, что и = W = © = p1 = 0, тогда уравнения Навье—Стокса в приближении Буссинеска редуцируются к системе
д 2и + ди— 2 _д_ + и 2 — 2 _
д х дт д х д х д х
д х
г х | + . д х2! 4
+ и д0-еди = ±А.(х™), ¿V + ид£ = 2хд^
дт д х д х Рг д х ^ д х) дт д х д х с граничными условиями, следующими из (1.1)
х = 0: и = V = 0, 0 (0,0) = 0О =в 4)3—
(1.3)
ю: — ^ 0, и ^ 0, V ^ 0, 0^0* = р4*3-
д х у]х у1х V К
(1.4)
Здесь Рг = у/х — число Прандтля; 0*, 90 — безразмерные равновесный и возмущенный градиенты температуры. Величины р0 и р2 равны
р = 2—-— + [ /-) л- О -V* *
д х 2х
1 (V
2\х
1 ди
х дт
9*
ах, р2 = — 4
Первые два уравнения (1.3) образуют замкнутую подсистему которая, в случае совпадения характерных вязкого и теплового диссипативных времён (Рг = 1), преобразованием
а / \ди А 0 = а (т)— + 0*, д х
0а = в* , а (0) = а а т 4
(1.5)
сводится к одному уравнению с граничными условиями, следующими из (1.4) (последнее уравнение (1.3) и краевые условия к нему остаются неизменными)
д2и идиди = 2 д
д х2 д х д х
д х дт
д х
Г х ди 1 | ад и
х д х2 ] 4 д х
(1.6)
А А д и
х = 0: и = 0, —
д х
^ ^ 0, и ^ 0
д х л/х
(1.7)
■т=0 а0
Существует ещё одна возможность редукции первой пары уравнений (1.3) к одному. Приняв, что Рг = 1, 0 = - 8 д2ид х2, получим
д 2и + и ди -ди ди = 2х ди -
~ д х3 4
д х дт д х 2 д х д х
(1.8)
Предметом дальнейшего обсуждения является задача (1.6), (1.7). 2. Нестационарные решения. Уравнение (1.6) обладает двумя следующими точными решениями
и(т,х) = -12В(11 -0№й - 4, 40В = а в 4 У х + В (т) 4 а т
(2.1)
х
х
u (т, x) = B (т) + C (т) x + Ä exp [ (т) x], j- = а C + C2
dD d т
а + 2C + (B - 2)
D, — + C А + 2А2 = 0 d т
(.2)
Стационарный изотермический аналог (2.1) рассмотрен в [12], а соотношения (2.2) обобщают изотермические решения [13]. Частные варианты (2.1), (2.2) удовлетворяют уравнению (1.8). Используем (2.1), (2.2) в качестве локализованных возмущений.
Подчинив (2.1) условиям (1.7) с учетом (1.5), получим следующие выражения для компонент скорости и температуры
%
ur = -12^--,
4Х % + 8
и г = Z"
u =1Х
ß T =
+ ) (¡j + 8)2 r0 WM ds + X rkwk И
0nJ (s + 8)6 ¿0 k ki
0 (s 384 Z
(¡; + 8)2' т.е. в (2.1)
¡5 = "
т + 4-Щ0
(2.3)
a (т) ='
т +
4-Ф0'
B (t) = 8(T + V-6/60), ö* = 0, e0 < 0
Решение (2.3) относится к числу автомодельных (% — автомодельная переменная), допускаемых классом (1.2) в отсутствие фоновой стратификации 0* = 0. Это позволяет искать частные решения последнего уравнения (1.3) относительно V в виде с разделяющимися переменными т, Е,, их суперпозиция дает выражение (2.3) для и^. Первое слагаемое этой формулы отлично от нуля, если на бесконечности циркуляция г и^ ~ Г0 не равна нулю. Остальные Г^ находятся как коэффициенты разложения стартового локализованного распределения азимутальной скорости по собственным функциям спектральной задачи
25 (5 + 8)d-Wk + 5 (5 + 20)dWk + k (5 + 8)wk = 0
d^ d 5
Wk (0) = 0, lim ^ = 0 Vs
Например, при k = 2 находим: w2 = i (i; + 8)-5 exp 2).
Автомодельность вида x/ (т + т0) свойственна диффундирующим течениям. Диффузии в (2.3) противодействует радиальная адвекция по направлению к оси симметрии вихря, поддерживающая восходящее приосевое течение на фоне неблагоприятной устойчивой стратификации возмущения (90 < 0 — аналог подогрева сверху в задаче о конвективной устойчивости слоя с твердыми границами [1]). Вдали от оси симметрии горизонтальное адвективное течение, аналогичное потенциальному вихрестоку, преобладает над вертикальным, так как (vr,vv,vz) ~ (-r_1, Г0r_1, zr~2). Со временем возмущение (2.3) затухает.
4
Подчинив (2.2) граничным условиям (1.7), получим
u = (т)1-ехр(-Мт)*), ^ = ,
X (т) 2Х 0т +1
D (т) =
1 ¿ф _
Ф (т) ¿т K2
X0 = Х (0) > 0
B = - С = 0, D (0) = D0 Kj = ( 0т + 1)1 exp
X (т) ао
4 11 а (п) ¿п
V о
(2.4)
( п
K2 = J(2Х0п + 1) 1 exp 4 а (s)ds
V о
d n + D(
-1
тогда выражения для температуры и компонент скорости принимают вид
T = -Z[9* - а(т)D(т)exp(-Х(т)х)], иф = Щ^У(т,х) п -Jx
Ur =
в
1 dv = _3gvD (т)1 - exp(_X (т) х)
r д z "" 4 7 X (х)4х
= -1 ^ = 23
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.