ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 457, № 3, с. 282-285
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ЛОКАЛЬНАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ НАНООТВЕРСТИЕМ ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ © 2014 г. А. О. Бочкарев, М. А. Греков
Представлено академиком Н.Ф.Морозовым 30.12.2013 г.
Поступило 20.01.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565214210099
Особенностью наноматериалов и наноструктур является наличие поверхностного эффекта, вызванного действием поверхностных напряжений — аналогом известного в гидромеханике поверхностного натяжения. Этот эффект проявляется в зависимости от механических свойств нано-объекта от его размера [1—3]. С уменьшением соответствующих геометрических параметров размерный эффект усиливается. Следует отметить, что размерный эффект помимо теоретического обоснования [4, 5] имеет также экспериментальное подтверждение [6].
Локальная потеря устойчивости тонких пластин с отверстием на макроуровне активно исследовалась в 80-е годы [7, 8]. В частности, задача о локальном выпучивании тонкого одноосно растянутого упругого листа с эллиптическим отверстием, а также с отверстием более сложной гипотрохо-идальной формы (треугольной, четырехугольной, включая крайние случаи: от круга (рис. 1) до разреза или гипоциклоиды) была решена вариационными методами [8, 9] в рамках линеаризированной системы уравнений Кармана. Решение такой задачи сводится к решению обобщенной задачи Штурма-Ли-увилля для дифференциального уравнения
AAw (х, y) = Л
0 д2 w , 0 д2 w , ~ 0 д2 w а„ — + ^ yy~2 + 2 axy dXdyj
д х
д y
, (1)
в котором А — оператор Лапласа, w — прогиб пластины, соответствующий собственному числу Л и заданным кинематическим и статическим краевым
00 условиям, ахх = p ахх, а^ = p Oyy s
0
— ком-
поненты тензора напряжений в решении соответствующей плоской задачи теории упругости, х, у — декартова прямоугольная система координат. В результате первая критическая (эйлерова)
нагрузка р*, отвечающая минимальному собственному числу Л, находится в виде
p * =
-2=2- min л = kE\ h 2 hR
D =
Eh
12(1 - v2)
-, (2)
где Н — толщина пластины, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, Я — характерный линей-
шт Л
ный размер отверстия, к =
. Было пока-
24 (1 - V2)
зано, что механическая природа подобного локального выпучивания у свободных кромок отверстия связана с образованием локальных зон сжимающих окружных напряжений при одноосном растяжении пластины вдали от отверстия.
Согласно (1) для исследования проблемы устойчивости пластины с наноотверстием необходимо знать обобщенное плоское напряженное состояние пластины при учете поверхностных напряжений. Найдем его аналогично тому, как оно получено для случая плоской деформации [10]. Решение этой двумерной задачи основано на использовании линеаризованных соотношений поверхностной упругости Гертина—Мердока [11], комплексных потенциалов Гурса—Колосова и обобщенного закона Юнга—Лапласа [12], следуя которому гра-
Санкт-Петербургский государственный университет
Рис. 1. Собственная форма прогиба пластины при потере устойчивости.
ничное условие для кругового отверстия радиуса Я можно представить в виде
где
5
а33
стгг = —,
rr R
a.s = - --
15a
ss
r = R,
(3)
Я '
где агг, агЭ — компоненты объемного тензора напряжений в полярной системе координат г, 0 с
s
центром в середине отверстия, а33 — окружное поверхностное напряжение, для нахождения которого используется дополнительное условие непрерывности перемещений при переходе от объема к поверхности.
В случае обобщенного плоского напряженного состояния определяющие соотношения поверхностной линейной упругости [11, 12] и объемной упругости сводятся соответственно к следующим:
2 Ц - То,
ass =
h + 2 И
(Yo + (2 + 2 И, + Yo) (4)
arr = r2V( 2 (h + ИК. + hsss), h - 2 и
ass =
2 и
(5)
(2(h + и)бзз + hs„.), ars = 2 ^Srs.
P
P
\ - С4 ( 1 - H) + 3 ( 1 - 2 H2)
cos2Q
a = HoYo + p I 1 + 1 - 2Hi +
ass = - — + 2 j 1 + -2 +
P 2 l P
(6)
1+
3 ( 1 - 2 H2 )■
4
P
cos2Q I,
aBs = pj1 + 2^f2 - 3^) I s¡n29,
Ho =
2И,- Yo
M =
(h + 2и,)(R + M)'
H2 = M(1 + к )
2 2R + M( 3 + к) ( 2 + 2 И, + Yo)( 2 И,- Yo)
H = M( 1 + к ) 1 4 (R + M)'
к
= 5 h + 6 И 3h + 2 и '
X - 2 ц
Здесь 633 — окружная поверхностная деформация, Х5, ц — модули поверхностной упругости, аналогичные соответствующим постоянным Ламе X, ц; у0 — остаточное поверхностное напряжение; бгг, 6ЭЭ, бгЭ — компоненты тензора деформаций объемной упругости.
Построив решение краевой задачи (3) при действии вдоль оси у растягивающих напряжений р на бесконечности, а затем потребовав выполнения равенства 633 = 6ЭЭ при г = Я, которое вытекает из условия непрерывности перемещений, получим, используя соотношения (4), (5), следующие выражения для
г а
напряжений в полярных координатах р = - , 0:
Я
а _ Но То + р 1, 1 - 2Н
арр_ -Г" + 211-—г~-
(15 + 2ц)2 ц
Присутствие слагаемых с постоянными Ц, ] = 0, 1, 2, в формулах (6) указывает на влияние поверхностных напряжений на напряженно-деформированное состояние пластины. Очевидно, при увеличении размера отверстия это влияние ослабевает (размерный эффект). Равенство нулю коэффициентов Щ означает отсутствие поверхностных напряжений. В этом случае соотношения (6) — известное решение Кирша, которое справедливо как при обобщенном плоском напряженном состоянии, так и при плоской деформации.
Заметим, что в постановке задачи Штурма— Лиуввиля (1) напряжения предполагаются пропорциональными разыскиваемому собственному числу (критической внешней нагрузке). В то же время в первых двух равенствах (6) первое слагаемое не зависит от нагрузкир и, следовательно, не удовлетворяет этому условию. Вместе с тем с ростом нагрузки его вклад в нормальные напряжения арр и аээ становится все меньше. Полагая, что потеря устойчивости у кромок отверстия происходит при достаточно большом значении нагрузки, в расчетах на устойчивость пренебрежем этим слагаемым. Вопрос о возможности учета этого слагаемого в решении соответствующей задачи на собственные значения может быть рассмотрен в дальнейшем при проведении дополнительных исследований.
Для поиска первой критической нагрузки р* (точки бифуркации), при которой может возникнуть искривленная форма первоначально плоской пластины, воспользуемся принципом виртуальных перемещений. Согласно этому принципу потенциальная энергия деформация пластины И0) получит приращение, вызванное ненулевым прогибом,
V_ V0)(а,,) + А¥(ау; ») _
_ (а ¡у) + V(а,,; ^) + (^).
Подынтегральное выражение этого приращения запишем в полярных координатах:
Л
^" = -2 ÍÍ 4 R J J
1o
V 2) = Arr 4R2 J J
.2 o Ws , o Wp Ws wP + стоп—s + 2a --p—2
pp p
ps
P dp dQ,
(1 + V)
wp
w
w
+ HP + H^j + (7)
pp
1o
5
^ 2n
2
+
P
284
БОЧКАРЕВ, ГРЕКОВ
2.0 1.5 1.0 0.5
0
-0.5 -1.0 -1.5 -2.0
Р0
1.0
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
0 1
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0
7 8 Я, нм
Рис. 2. Зоны сжимающих нормальных окружных напряжений.
Рис. 3. Зависимость относительной критической нагрузки от радиуса отверстия.
+ (1 - V)((<
Ж
2
2 )
+ 4
ж
2\ -I
рйрй3.
р р2/ V р)
Прогиб пластины ^(р, 3) ищем в виде двойного ряда
да да
ж(р, 3) = Я £ £ 1 (Аиео8/3 + Вк1зт/3), (8)
к = 1 / = 0 р
удовлетворяющего условию затухания прогиба на бесконечности. При этом условия свободных кромок отверстия являются естественными для функционала (7) [13]. Предполагается, что первой наступает симметричная форма выпучивания кромок (рис. 1), как это имеет место при классических краевых условиях [9]. Поэтому наличие симметрии относительно координатных осей х, у позволяет среди тригонометрических составляющих удерживать только косинусы четного числа аргумента.
Согласно методу Ритца коэффициенты Ак1 трактуются как обобщенные координаты в смысле Лагранжа. После подстановки выражения (8) в равенство (7) приращение энергии деформации становится квадратичной формой относительно этих обобщенных координат:
А У =
Б
4 Я
п ( Ук/тп - Л Ук1тп ) . (9)
ординатам от потенциальной энергии (9) (а равно, только от ее приращения) равны 0:
дУ
дАтп
д ( А У)
дАтп
—2 ££Ак,( ут п - л у$1п) = о.
2 Я к = 1 / = о
(10)
Для проведения расчетов в представлении прогиба (8) удерживалось К членов разложения по р и Ь по 3. Тогда система уравнений (10) — линейная однородная система КЬ уравнений, которую запишем в виде
( У1) - Л-1 У2))А = 0,
(11)
„2 £££ £ А к/АтпУ к= 11 = 0т=1п = 0
Из-за громоздкости величины У^п и У^п здесь не приводятся. Из принципа виртуальных перемещений следует, что в состоянии равновесия механической системы потенциальная энергия деформации достигает минимума. В этом состоянии обобщенные силы, т.е. частные производные по обобщенным ко-
где А — вектор, составленный из обобщенных координат Ак1, V1 и V2 — симметричные матрицы,
составленные из коэффициентом У~к/^тп и Ук1тп, причем V2 — положительно определенная.
Очевидно, система уравнений (11) всегда имеет нулевое решение, которое отвечает плоской форме равновесия пластины.
Отыскание нагрузки р*, пропорциональной величине Л, при которой будет существовать выпученная форма равновесия, приводит нас к обобщенной алгебраической задаче на отыскание собственных значений Л—1 и собственных векторов А. Симметричность матриц обеспечивает вещественность собственных значений, а положительная определенность У2) позволяет обе матрицы последовательно привести к диагональному виду, например, методом вращения Якоби [14]. Согласно
*
да
да
да
да
этому методу уравнение (11) трансформируется в следующее:
(я-ЛлЕА _ 0, (12)
где E — единичная матрица, D = ё1а§{а,} — диагональная матрица, а ее собственные значения
Л-1 = а„ / = 1, 2, ..., KL.
Искомая первая критическая нагрузка p* выхода пластины из плоской формы равновесия будет соответствовать максимальному положительному значению Л-1 = шах{а,}, т. е. минимальному положительному значению собственного числа Л (см. также [15]).
Для численных расчетов критической нагрузки р* примем, что упругие свойства основного материала определяются упругими постоянными Ламе изотропного алюминия X = 58.17 ГПа, ц = = 26.13 ГПа. Соответствующие свойства поверхности — упругими постоянными (Н/м), полученными путем комп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.