МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.21+517.518.23+621.3.014.4
локальный признак корректности
и численное решение интегрального уравнения первого рода для плотности вихревых токов
© 2005 г. Я. А. Науменко1
Рассмотрен локальный признак корректности интегрального уравнения первого рода для плотности вихревых токов, распределенных на плоской многосвязной идеально-проводящей поверхности. Показано, что достаточным условием корректности является принадлежность компонент свободного члена уравнения некоторому пространству Бесова. Предложен численный метод решения уравнения. Приведены примеры расчетов.
Существует обширный класс задач, в которых необходим расчет стационарных магнитных полей в присутствии идеально-проводящих тел. Для численных расчетов магнитных полей в присутствии массивных идеальных проводников применимы известные интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода, которые на настоящий момент хорошо изучены. Возможно и применение метода конечных элементов (МКЭ). Значительные трудности вызывает моделирование магнитного поля в присутствии тонкослойных идеальных проводников с краем. Их толщина обычно столь мала по сравнению с остальными геометрическими размерами, что естественно считать их бесконечно тонкими, то есть поверхностями. К указанной задаче сводится обширный класс технических проблем, например, моделирование крейсерского режима движения высокоскоростного наземного транспорта, проектирование экранов для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.д. Основной трудностью численного моделирования магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей произвольной формы с краем является то, что известные интегральные уравнения второго рода либо теряют смысл на разомкнутых поверхностях, либо обладают весьма сложными и неудобными для численной реализации ядрами, что делает проблематичным их практическое применение. Использование МКЭ для таких задач приводит к системам линейных алгебраических уравнений колоссальной размерности, которые являются при этом плохо обусловленными. В данной работе предлагается математическая модель на основе векторного
интегрального уравнения типа Фредгольма первого рода для поверхностных токов.
Рассмотрим стационарное магнитное поле индукции В в присутствии конечной идеально-проводящей плоской многосвязной поверхности S. Как известно, магнитное поле в идеальный проводник не проникает, поэтому условие идеальной проводимости можно записать в виде
Вп = 0 на 5, ц)
где п - единичный вектор нормали к S.
В терминах потенциала A: rotA = B, divA= 0, который без ограничения общности считаем имеющим на S лишь касательную компоненту, условие (1) выглядит как rotnA =0 на 5, то есть
А = С на S, (2)
где С - некоторое поле, такое что rotnC = 0.
Если исходить из интегрального представления потенциала в линейной однородной среде [1]
А(М) = AM) + JLff^dSN,
** s rNM
где А°(М) - потенциал невозмущенного магнитного поля внешних (заданных) источников; ¡я -магнитная проницаемость; ° - плотность поверхностных токов; гш - расстояние между
точками N, М, то (2) будет означать
ijHmss
4л
NM
Ц
(3)
1 Лаборатория энергетики и электротехники Южного научного центра РАН, г. Новочеркасск
и, таким образом, расчет результирующего поля сведется к решению уравнения (3) для о.
Неизвестное поле С подчиним требованию разрешимости уравнения (3) в классе солено-идальных полей, замыкающихся в пределах S, то есть
divo = 0 на S, ov = О на I, (4)
где / - край поверхности S, v - единичный вектор внешней нормали к /, лежащий в касательной к S плоскости. В случае, когда S является многосвязной, необходимо добавить условие
jCdl - О, г = 1 ,т,
(5)
где l¡ - граница отверстия /; т - число отверстий. Требование (5) означает отсутствие магнитного потока через отверстия.
При наличии так называемых "вмороженных потоков" условие (5) не выполняется и с каждым отверстием в S связан заданный магнитный поток. Прибавив к невозмущенному магнитному полю дополнительный член вида
-г 1 m din
А (М) =--УФ,rotf——, Mes,
4л ¡-i í¡ rNM
получим эквивалентное уравнение, для которого условие (5) выполняется. Здесь L¡ ... Lm - система контуров, проходящих через соответствующие отверстия в поверхности S и замыкающиеся вне ее; Ф, - заданный магнитный поток через г-е отверстие.
Уравнение (3) в случае плоской односвязной S подробно исследовано в [2]. В работе [3] результаты [2] обобщены на криволинейные поверхности с отверстиями. Существенно, что невозмущенное магнитное поле задавалось в [2, 3] своими источниками в трехмерном пространстве №. В данной работе свободный член рассматривается локально - заданным непосредственно на поверхности S. Мы не требуем, чтобы он являлся следом функции, принадлежащей к конкретному функциональному пространству в №.
Будем далее полагать, что / удовлетворяет условиям Липшица [4].
Исследование уравнения (3), нагруженного условиями (4, 5), выполним вариационным методом [5]. Для этого сначала рассмотрим L2(S) -пространство всевозможных вещественных
функций {%} на S, суммируемых с квадратом.
Скалярное произведение и норма в L2(S) имеют вид*
= //«,, a2dS, ||а|| = (а, а)^ .
* Интегралы здесь и ниже понимаются в смысле Лебега
Согласно [6], векторное пространство £2(5) допускает на 5 разложение в прямую сумму трех ортогональных подпространств: Ь2(Б) =
= 4П)(5)© 4П(5)© где 4П)(5) состоит
из обобщенных по Вейлю потенциальных, 4С'(5) - соленоидальных, а - гармонических полей. При этом пространство является конечномерным, размерность которого на единицу меньше связности поверхности 5. В частности, в случае, когда Б односвязная, имеем = Введем обозначение 2(5) = 4П(5)©4С)(5)- Принадлежность поля Ь Е£(5) можно понимать в смысле выполнения равенства
(Т bgradц)dS = 0.
(7)
для любой непрерывной и непрерывно-диффе-ренцируемой на 8 однозначной функции ср. А если Ь непрерывна в 5и/, условие (7) означает: divb = 0 на Б, Ьд = 0 на/, поэтому элементы 2(5) еще называют полностью соленоидальными. В соответствии с (4, 5) роль исходного пространства следует отвести 2(5).
Для использования основного вариационного принципа [5] преобразуем уравнение (3) так, чтобы обеспечить принадлежность свободного члена выбранному исходному пространству. А именно, обозначим через рй оператор ортогонального проектирования Ь2(5) на 2(5). Существование такого оператора следует из его определения [7]. Далее подействуем им на обе части равенства в (3) и результат запишем в виде
Та-/, (8)
где
Т = Р2Г, Ta(M) = — Гr^^-dSN, 4л 1 гш
М- (9)
а также учтено, что согласно условию (5) С 1 4Г)(5) и что Р2 всякое потенциальное поле
аннулирует, то есть Р8 £ = 0 для У^е4П)(5).
Теорема 1. Уравнение (3) с условиями (4, 5) и уравнение (8) эквивалентны.
Доказательство. Ясно, что любое решение уравнения (3) удовлетворит (8). Нетрудно прове-
№ 4 2005
рить, что и решение последнего из й** удовлетворит задачу (3-5), то есть для эквивалентности
(3-5) и (8) в 2 достаточно принадлежности А0 к Действительно, пусть о - решение уравнения (8) из й и, таким образом, условия (4,5) в обобщенном смысле (7) выполняются. Воспользовавшись определением оператора Т из (9) и свойством
Р»а + Р(П)а=а для Ча ЕЬ,(5), где Р(П> - оператор ортогонального проектирования ^(5) на перепишем (8) в виде
-Lir^^-IZ+iWZ+re),
4jr,V г.... и. Ii \ '
У&ей, \\b\\*o.
(10)
** Здесь и далее для сокращения записи будем вместо
писать просто й.
*** Производные здесь и далее понимаются в смысле Соболева.
Здесь функция b доопределена нулем вне S
на S -
замкнутой гладкой поверхности, т.е.
откуда видно, что при данном ° и поле С = р(П)р(5)|д° + Га|, уравнение (3) удовлетворяется.
Лемма 1. Оператор Т линеен, самосопряжен и положителен в Й.
Доказательство. Очевидно, Т - линейный оператор, а й может служить областью его определения. Убедимся, что он также самосопряжен и положителен в й. Имеем
= (№), =(Ь1,Р*Р5ГЬ2)Я =
= (ьить2\, Щ,ь2 ей.
На основании теоремы о скачке нормальной производной потенциала простого слоя [8] и первого тождества Грина выполним***:
5 4Я 5 ГММ 5 5 ГШ
= ///(! ягас!цх i2 +1 §гайсру i2 +1 gradyz 12)<ю > 0,
SOS; через bx, by, bz обозначены декартовы координаты Ь, через Фх'ФуФг - поверхностные потенциалы простого слоя с плотностями, соответственно, bx, by, bz, распределенными на S, а также учтено, что в пространстве L2(S) множество бесконечно гладких финитных полей является плотным множеством, а всякое соленоидаль-ное на S векторное поле имеет нулевое среднее значение.
Установленных в лемме 1 свойств оператора Т в й достаточно, чтобы была справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Уравнение (8) и вариационная задача
F(ö) = (To,0), -2Re(/,ö), -»min
(П)
эквивалентны в энергетическом пространстве оператора Т в й.
Обозначим это пространство через йг, тогда
(öi,ö2)ar =(Tö1,ö2)ii, ||о||1)г =(ö,ö)[/r\
а поскольку йг в рамках вариационного метода получается у нас замыканием по норме (12) пространства й, то эквивалентность уравнения (8) и задачи (3-5) сохраняется в йг. Существенно, что входящий в Т ортопроектор Р" при вычислении скалярных произведений в (11, 12) можно опустить, то есть использовать представления
F(5) = (ra,a)¿2 - - Re(Ä° ,ö) - min,
'т' (13)
(а,,о2)Яг =(Го,,а2)^, о„о2е2р
удобные для численной реализации.
Потребуем от компонент потенциала , определенных на 5, принадлежности к пространству Бесова 5^(5) [4]. Норма в нем может быть задана в виде
II ßf(S)
-И
¿2ÍS)
2 /-i
¡Mh,S)g\\
¿2(S)
dh h
Здесь
A i(h,S)g =
+ he¡)~ g(x),[x,x + he¡] С S, 0,[v + te,.]ä,
3 X — (Xj ) £5.
Лемма 2. Справедливо вложение
К,
(15)
Доказательство. В силу того, что граница Б является липшицевой, элементы пространства
В2^(5) могут быть продолжены на всю плоскость линейным ограниченным образом [9], т.е.
В свою очередь, по [4],
52 (Я2) М,1 (Я3). Наконец, согласно [4], имеет
13 V ~
место )-*• В22 (5). Отсюда непосредствен-
но следует (15).
Существенно, что (15) позволяет продолжить
компоненты А0 с 5 на 5 с сохранением класса. Покажем, что в рассматриваемой постановке
функционал $(сг) = (/,а)^2 ограничен в
Это будет означат
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.