изучения теории квантового хаоса служат системы, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение. Нелинейный осциллятор, возбуждаемый нестационарной внешней силой, попадает в эту категорию. Его волновая функция подчиняется уравнению Шредингера, имеющему в точности ту же форму, что и параболическое уравнение, задающее звуковое поле в волноводе [12].
Указанная аналогия с нелинейным осциллятором позволяет применять методы теории динамического и квантового хаоса при изучении акустических полей. Однако несмотря на совпадение исходных уравнений, постановки задач, возникающих при анализе хаоса в механике и акустике, нередко существенно различаются. Так, например, одним из основных объектов исследования теории лучевого хаоса является время пробега звука вдоль лучевой траектории, которое для краткости называют временем прихода луча [9, 17, 24-28]. Аналог этой величины в механике - механическое действие -обычно не измеряется в экспериментах, и поэтому его изучению в теории динамического хаоса не уделяется большого внимания. Далее мы увидим, что для поля импульсного сигнала в механике вообще трудно найти сколько-нибудь естественный аналог.
Хаотическую динамику лучей мы будем обсуждать с использованием относительно простой двумерной модели среды, в которой поле скорости звука с(г, г) представлено в виде [5, 17]
с (г, г) = Со (г) + 5с (г, г),
где с0(г) - невозмущенный плавный профиль, а 5с(г, г) - малое возмущение, ответственное за возникновение хаоса. Исследования лучевого хаоса в подводной акустике начались с анализа волноводов с периодической зависимостью 5с от дистанции [12-14]. Такой выбор типа возмущения был обусловлен возможностью прямого использования известных результатов из теории динамического хаоса. Несмотря на очевидную искусственность периодической модели, с ее помощью удалось установить ряд общих свойств хаотической динамики лучей, которые остаются в силе в волноводах с более реалистичными неоднородностя-ми. Примером вполне реалистичной модели является волновод с возмущением 5с(г, г), порожденным случайными внутренними волнами со статистикой, заданной спектром Гарретта-Манка [5].
Такое возмущение обычно рассматривают при анализе акустических полей в глубоком море в рамках теории распространения волн в случайных средах [5]. Обратим внимание на то принципиальное обстоятельство, что данная теория и теория лучевого и волнового хаоса занимаются изучением полей в случайно-неоднородных волноводах с разных, дополняющих друг друга, точек зрения.
В теории распространения волн в случайных средах описание лучей (как и других характеристик волновых полей) базируется на использовании понятия статистического ансамбля реализаций среды. Статистические характеристики луча с заданными стартовыми параметрами г0 и %0 - начальная глубина и угол выхода, соответственно, - определяются усреднением по лучам с такими же начальными условиями в различных реализациях среды, образующих ансамбль. В подводной акустике данный подход является традиционным, и большинство работ по анализу стохастической лучевой структуры поля выполнены в его рамках [5, 29].
В работах по исследованию лучевого хаоса анализ влияния флуктуаций скорости звука 5с(г, г) ведется с других позиций. Хаотическое поведение лучей изучается в детерминированной среде с пространственными вариациями скорости звука, заданными отдельной реализацией случайного возмущения 5с(г, г). Поскольку при г > в-1 лучевые траектории с близкими начальными условиями становятся практически независимыми, усреднение по начальным условиям можно трактовать как статистическое. Результаты численного моделирования свидетельствуют, что найденные таким образом статистические характеристики хаотических лучей слабо зависят от конкретной реализации 5с(г, г), использованной при расчетах [30-32]. Поэтому можно ожидать, что анализ статистики лучей в отдельной реализации поля скорости звука дает результаты, близкие к тем, которые были бы получены при усреднении по ансамблю волноводов. Однако важный и очень интересный вопрос о том, насколько хорошо одна реализация неоднородностей представляет весь статистический ансамбль, изучен еще недостаточно.
В этой статье мы ставим своей целью дать читателю представление о различных аспектах проблемы лучевого хаоса в подводной акустике, рассказать о постановках конкретных задач и привести некоторые из полученных результатов. Не имея возможности (из-за ограниченности объема статьи) сделать полный обзор исследований по данной тематике, мы останавливаемся в основном на тех вопросах, в решении которых авторы принимали непосредственное участие. Вынужденную краткость изложения мы постарались компенсировать приведением подробного списка публикаций по обсуждаемой проблеме.
Материал основной части статьи расположен следующим образом. В разд. 2 дано описание математической модели неоднородного по трассе рефракционного акустического волновода. Она базируется на стандартных уравнениях теории распространения волн в линейных средах. Раздел 3 посвящен волноводу с периодическими неодно-родностями показателя преломления. Акцент
здесь делается на обсуждении роли нелинейного резонанса траекторий в возникновении лучевого хаоса и анализе структуры фазового пространства системы лучей. В разделе 4 мы переходим к более реалистичной модели подводного акустического волновода с неоднородностями, индуцированными случайными внутренними волнами. Наряду с вопросом о введении статистического описания хаотических лучей в отдельной реализации случайно-неоднородного волновода здесь обсуждаются свойства времен пробега звуковых сигналов. Значительное внимание уделено имеющему большое практическое значение эффекту образования компактных и устойчивых кластеров времен прихода хаотических лучей. В разделе 5 мы кратко обсуждаем основные направления исследований по изучению волнового хаоса в задачах, связанных с дальним распространением звука в океане.
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ
2.1. Параболическое уравнение
Рассмотрим монохроматическое звуковое поле на угловой частоте О. В малоугловом приближении его комплексная амплитуда и(г, г, О) описывается параболическим уравнением [1, 33, 34]
1 ди 1 д2и , тт, .
к -ди = -2? 57 + и (г г' "■
где
и( г, г) = 111-
с (г, г)
(1)
(2)
V (г, г) -
5с (г, г)
с весовым множителем 0(О), определяемым спектром излученного звукового импульса. Обратим внимание на тот факт, что с точки зрения проведенной выше аналогии между параболическим уравнением (1) и уравнением Шредингера интегрирование по О в (3) формально соответствует интегрированию по постоянной Планка. Именно это обстоятельство мы имели в виду, говоря во Введении об отсутствии естественного квантовомеханического аналога для поля импульсного сигнала.
2.2. Приближение геометрической оптики
В высокочастотном приближении для решения уравнения (1) можно воспользоваться методом геометрической оптики [1, 2]. При этом сигнал в точке наблюдения представляет собой суперпозицию вкладов попадающих туда лучей. Вклад одного луча имеет вид
и(г, г, О) = А(г, г)ехр [¡кБ(г, г)].
(4)
Функции А (г, г) и 5(г, г) - соответственно амплитуда и эйконал луча - выражаются через параметры лучевых траекторий. Для описания лучей воспользуемся гамильтоновым формализмом [36].
Гамильтонов формализм в переменных импульс-координата. В этих переменных луч на каждой дистанции г характеризуется координатой г (глубиной) и импульсом р = tg % , где % - текущий угол скольжения траектории. Лучевые уравнения имеют вид уравнений Гамильтона (координата г играет роль времени) [9, 12]
ёг ёг
дН ёр
др' ёг
сг - скорость звука (около 1.5 км/с), удовлетворяющая условию |с(г, г) - сг| < сг, к = О/сг - волновое число. Зависимость поля от времени выражается множителем ехр(-7'Ог). Формально (1) совпадает с уравнением Шредингера из квантовой механики [35]. В этой аналогии г, г и и играют соответственно роли времени, координаты и потенциала. Роль постоянной Планка й играет к-1. Представим и в виде
и(г, г) = ио(г) + V(г, г),
где и0(г) - невозмущенный "потенциал", заданный формулой (2) с с(г, г) = с0(г), а
где
Н = Р-+ и( г, г)
(5)
(6)
- гамильтониан. Эйконал представляет собой аналог механического действия и выражается интегралом [36]
5 =
|(рёг - Нёг)
точку
Поле импульсного сигнала в точке наблюдения (г, г) выражается интегралом по частоте
и(г, г, г) = |ёОQ(О)и(г, г, О)ехр [1О(г/сг - t)] (3)
вдоль лучевой траектории, попадающей наблюдения.
Принципиально важно, что ни амплитуда, ни эйконал луча не зависят явно от частоты О. Последняя входит в (4) только через волновое число к. Подставив (4) в (3), видим, что по каждому лучу в точку наблюдения приходит звуковой импульс
"(г, г, г) = А (г, г) | ёОQ (О) ехр
1 О( г + 5(г, г)- г)
сг
г
повторяющий форму излученного сигнала. Время пробега этого импульсного сигнала вдоль лучевой траектории называется временем прихода луча. Согласно (7) оно равно
г = - (г + У). сг
Переменные действие-угол. Поскольку лучевые траектории в волноводе представляют собой осциллирующие кривые, для их описания (как и для описания колебаний механической частицы в потенциальной яме) удобно использовать канонические переменные действие-угол (I, 0) [12, 36]. Для их определения рассмотрим невозмущенный волновод с гамильтонианом Н0 = р2/2 + и0(г). В этом волноводе Н0 сохраняется вдоль луча. Переменная действия определена интегралом вдоль периода невозмущенной траектории
I =
^max
—<Jpdz = - J dz,J2(H0 - Uo(z),
(8)
Переменная действия определяет и амплитуду, и период (длину цикла) осцилляций лучевой траектории, а угловая переменная указывает положение точки луча внутри текущего цикла. Таким образом, переменная 0 играет роль фазы луча. Правые части равенств (9) являются периодическими функциями 0 с периодом 2п.
Несмотря на то что данное преобразование определено для невозмущенного плоскослоистого волновода, формально оно может быть применено и при наличии возмущения. Подставляя (9) в (6), возмущенный гамильтониан представим в виде
Н(1,0, г) = Но(I) + У( 1,0, г).
Уравнения Гамильтона в переменны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.