МАГНЕТИЗМ ВЫРОЖДЕННОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В. В. Скобелев*
Московский государственный ■индустриальный университет 115280, Москва, Россия
Поступила в редакцию 20 февраля 2012 г.
Вычислены намагниченность и магнитная восприимчивость вырожденного электронного газа в сильном магнитном поле, в котором электроны находятся на основном уровне Ландау, причем электронный газ обладает свойствами нелинейного парамагнетика. Отмечены парадоксальные свойства электронного газа в этой ситуации — уменьшение намагниченности с ростом поля и ее увеличение с ростом температуры. Показано, что в соответствующих условиях нейтронных звезд вещество является парамагнетиком со значением магнитной восприимчивости \ ~
1. ВВЕДЕНИЕ
На ранних стадиях изучения вопроса актуальным являлось исследование нерелятивистского электронного газа в металлах (на элементарном уровне см., например, книгу [1]), в которых электроны приблизительно можно считать свободными, а электронный газ является парамагнетиком. Исчерпывающее рассмотрение проблемы методами квантовой статистики проведено в классической книге [2]. Однако в некоторых астрофизических объектах (белые карлики, нейтронные звезды) из-за паулиевского вырождения электронный газ является существенно релятивистским, причем это определяет его вклад в суммарное давление [3,4] в белых карликах или в эффект подавления /-распада нейтрона в нейтронных звездах [5]. Таким образом, в связи с возможными астрофизическими приложениями актуальным является исследование свойств релятивистского электронного газа, и одной из первых попыток в этом плане является работа [6], в которой применялся соответствующий математический аппарат. Упомянутые астрофизические объекты обладают сильными магнитными полями (в белых карликах до 10я Гс [7], в нейтронных звездах до 101' Гс [8]), поэтому представляет интерес исследование магнитных свойств вещества белых карликов и нейтронных звезд, т. е. вычисление намагниченности 7
* E-mail: v.skobelevöinbox.ru
и магнитной восприимчивости \ . Магнитное поле белых карликов подходит под понятие слабого поля В -С Во = иг/' = 4.41 • 1013 Гс, и в этом аспекте магнитные свойства релятивистского электронного газа достаточно подробно изучены в работе [9], в которой замкнутые выражения получены именно для этого случая.
Что касается нейтронных звезд, то вклад вырожденного нерелятивистского нейтронного газа, обусловленный взаимодействием аномального магнитного момента (АММ) нейтронов с магнитным полем, ведет к паулпевскому парамагнетизму [2], причем для нейтронов понятие слабого поля выражается неравенством В -С Втах « 5.6-1018 Гс [10], это соотношение, по-видимому, имеет место в нейтронных звездах. Представляет интерес найти вклад электронов (и протонов) в величины ./, \. характеризующие вещество нейтронной звезды, при максимально возможных значениях поля порядка 101' Гс. В таких полях могут реализоваться макроскопические эффекты существенного влияния электронного газа, например, на размеры нейтронной звез-ды-магнптара [5].
Заметим в этой связи, что при значении поля [5]
В>Д„Л(4А4)2/3. Ас = —. (1) 2 т
вырожденный электронный газ находится на основном уровне Ландау, т. е. становится эффективно одномерным, причем при типичной электронной концентрации в нейтронной звезде пс ~ 1035 см-3 по-
лс Всг « 8 • 1016 Гс, поэтому применительно к маг-нитарам это необходимо учитывать. В работе [9] данный случай вообще не рассматривался, поскольку используемые в ней интерполяционные формулы справедливы для вклада всех уровней Ландау. В нашей работе вычислены значения 7, \ в сильном магнитном поле (1), результаты обсуждаются применительно к звездам-магнитарам.
Предварительно приведем общие соотношения, на которых основаны аналогичные вычисления.
Значение 7 = М /V, где М полный магнитный момент электронного газа, может быть вычислено на основании обобщенного дифференциального соотношения для {^-потенциала [2]
(Ц1 = - 5 (1Т - Р (IV - N ф. - М (Ш, (2) и следующего из этой формулы равенства
(3)
T,V,l-i
где П = П/1~ потенциал единицы объема. Далее
имеем |2|
П = -Г5> (l + exp L^)
(4)
причем сумма берется по всем квантовым состояниям с набором квантовых чисел к. В рассматриваемом в работе случае постоянного и однородного магнитного поля энергия Е/, равна
Ек Еп = ^m2 + р% + 2 уп,
(5)
где 7 = еВ, е элементарный заряд, рз импульс вдоль поля, п = 0,1,2... номера уровней Ландау.
Как известно [2] (см. также [5]), в магнитном поле сумма по квантовым состояниям имеет вид
£
7 F
W)
в=0
Фз,
(6)
где Г„ спиновый статистический вес, равный 2 при п ф 0 и 1 при п = 0. Запишем выражение удельного потенциала П в виде
il =
1
B=1
F(n) = 7'T J dp3 lu ( 1
о
ехр :
F( 0)
En
(7)
(7a)
В случае полностью вырожденного (Т = 0) электронного газа выражение (7а) отлично от нуля лишь при Еп < Ер = //|т=о и при этом
lu 1 + ехр
//. - Е„
Т
Ер — Е„
Т
Фз
Фз,
Ртах = у/Е*~ н>1- >1>П = \Л«2 + 27п.
После элементарного интегрирования по рз и перехода к безразмерным переменным получим
il
il
йгш
т4/2тг
=
¿т}- (8)
где е = В /Во, а безразмерная функция F от целого числа п равна
F(n) = i \s/T£ sj{ 1 + 2ey)(y - n) - (1 + 2en) x s/1 + 2e-y + sfbèsfy^'
x ln ■
\J\ + 2 en
■ (8a)
Мы используем обозначение Е(у), у = = (Ер — т2)/27, где Е наибольшая целая часть, которое совпадает с аналогичным обозначением в работе [4]. Заметим, что формулы (8), (8а) согласуются с обычным выражением О = —РУ и приведенной в работе [4] формулой для давления вырожденного электронного газа (при этом в соответствующей формуле (12а) работы [4] коэффициент 1/2 из формулы (8) из соображений удобства вычислений был опущен; это никак не повлияло на расчет давления электронного газа в белых карликах в силу малости второго слагаемого в фигурных скобках (8) при характерных значениях магнитного поля в этих астрофизических объектах).
В принципе, этих соотношений достаточно для повторения расчетов, проведенных в работе [9]. Но нам кажется, что определение 7 через О-потенциал более удобно, чем через свободную энергию F, как это сделано в [9], поскольку производная в (3) берется при постоянном //, что упрощает вычисления по сравнению с работой [9], в которой следовало при дифференцировании по полю учитывать зависимость [/(В) (так как // не относится к числу переменных, в которых является полным дифференциалом). Впрочем, для полноты картины мы все же вычисляем в Приложении А полевую поправку
к энергии Ферми при (37г2псА3,)2</3 е (пс, А с концентрация и комптоновская длина волны), а в Приложении В квадратичную по температуре поправку к химическому потенциалу.
2. НАМАГНИЧЕННОСТЬ И МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ПОЛНОСТЬЮ ВЫРОЖДЕННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Из выражения у, переписанного в виде (ЕР/т)2 - 1
У =
(9)
следует, что на основном уровне Ландау (п = 0)
2 еу = р2р, рр=рр/т, (9а)
причем [4]
РР =
2п'2 (пс\(,)
РР =
2 ж'^п.
7
(Ю)
Учитывая, что вклад дает лишь второе слагаемое в скобках формулы (8), имеем с учетом (8а):
—
¡>1 у I +Рр - 1п ^ / > / + у 1 +Рр причем уравиеиие (3) принимает вид т2е ( дПмт \
7 =
2тг2
де
Рг
т. е.
7 =
< //г
4^2
¡>1 у 1 ~ Рр - 1п № + V 1 + Рр
(П)
(12)
(13)
или в эквивалентной форме
т а 1
Рр \/1 + Рр ~ 1п (рр + 1 + Р^ ^ а = в2 = 1/137.
Вп. (13а)
Если переписать условие приведения к одномерному виду (1) как
•тгОД'Ч < е3/'2,
(14)
то с учетом (10) представляется естественным рассмотреть нерелятивистский случай рр €1,и выражение (13) принимает вид
_ < //г _3
(15)
С учетом (10) это выражение можно переписать в форме:
7 =
2тгУ2 К.А3,)3
В.
(15а)
3 е4
Определяя магнитную восприимчивость \ соотио-шеиием
•1=\В, (16)
получаем в иерелятивистском случае: _ 2тгУ (нс.А3,)3
•V — о _4 •
(17)
Как будет видно, в нейтронных звездах возможен и ультрарелятивистский случай рр 1, тогда из (13) и определения (16) имеем
,2 /„.. \3 \2
■В.
_ ' НГ _2 _ 2 2 (п(:Хс1 — —) ~ Рр — 7Г в -
4тг2
2 2(пс^с) \ = КС -
(18)
(18а)
Как видно из соотношений (13) (17), зависимости 7, \ от ноля являются существенно нелинейными, причем намагниченность и магнитная восприимчивость убывают с ростом поля. Этот не совсем обычный результат можно объяснить следующим образом. Волновая функция электрона на основном уровне Ландау содержит экспоненциальный фактор (см., например, [4])
ехр
1
Р'2
где квазиимпульс р-2 определяет положение центра волнового пакета на оси х. Выбирая для простоты р-2 = 0, запишем этот фактор в виде
ехр
1
Это означает, что электрон локализован в области шириной Л .г ~ 1 /</7, т.е. с ростом поля область локализации уменьшается. Далее, рассматриваемое приближение идеального ферми-газа может реализоваться, как и для классического газа, а) либо в случае малых концентраций, б) либо в случае исче-зающе малых «размеров» частиц (областей их локализации). В обоих случаях получается разреженный идеальный газ. Отсюда следует фактическая эквивалентность этих вариантов «получения» идеального электронного газа в сильном магнитном поле (1), (14). Этому требованию и удовлетворяют формулы (10), (15), (18). В частности, согласно (15), (18), намагниченность убывает либо с уменьшением концентрации, что вполне понятно, либо, как это следует из упомянутой эквивалентности вариантов, с ростом поля.
3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОПРАВКИ К НАМАГНИЧЕННОСТИ И МАГНИТНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ В сильном МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Как известно [11], даже в «старых» нейтронных звездах температура Т ~ 1 МэВ, так что в реальной ситуации в сколлапсированных астрофизических объектах (белые карлики, нейтронные звезды) электронный газ вырожден лишь частично, и представляет интерес найти температурные поправки к 7, \ и, следовательно, к значению О-потенциала (7). Для этого в общем случае выражение (7а) преобразуем следующим образом.
а) Используя ранее введенное обозначение тп = = у/т2 + 2747,, запишем полную энергию в виде
Еп = ф>2 + т1. (19)
б) В выражении (7а) сделаем замену переменной интегрирования:
Рз 1\„ = Еп
■ т„
(20)
(«кинетическая энергия»). После этого выражение (7а) приобретает вид
F(n)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.