Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 3, с. 207-211 © 2015г. 10 февраля
Магнетосопротивление тонких пленок, обусловленное слабой локализацией, в условиях изменения размерности системы под действием магнитного поля и температуры
О. В. Реукова1\ В. Г. Кытин, В. А. Кульбачинский, Л. И. Бурова, А. Р. Кауль МГУ им. Ломоносова, 119991 Москва, Россия
Поступила в редакцию 14 ноября 2014 г. После переработки 15 декабря 2014 г.
Теоретически проанализировано и экспериментально исследовано магнетосопротивление тонких пленок, обусловленное явлением слабой локализации электронов в условиях, когда толщина пленки сравнима с длиной диффузии электронов за время релаксации фазы волновой функции или с магнитной длиной. Получено выражение для магнетосопротивления тонких пленок при произвольном соотношении между толщиной пленки и длиной диффузии электронов за время релаксации фазы волновой функции. Показано, что полученное выражение хорошо описывает магнетосопротивление пленок оксида цинка, легированного галлием в условиях изменения их эффективной размерности по отношению к явлению слабой локализации, вызванного изменением магнитного поля и температуры.
БО!: 10.7868/80370274X150301IX
Введение. Наблюдаемое в полупроводниках и неупорядоченных металлах отрицательное магнетосопротивление во многих случаях объясняется в рамках теории слабой локализации [1—3]. В теории слабой локализации размерность системы определяется соотношением между наименьшим геометрическим размером образца (I и параметром масштаба - длиной диффузии за время релаксации фазы волновой функции Ьср = ^¡т\р5, где Б - коэффициент диффузии, т¡р - время релаксации фазы волновой функции. Если выполняется соотношение Ь^ <С то электронная система является трехмерной (ЗБ) по отношению к теории слабой локализации, при А С й С Ь^ -квазидвумерной, при с1 < А <С Ь^ - двумерной (2Б) (А — длина волны электрона) [4, 5]. При анализе магнетосопротивления, помимо Ь^, существенным параметром, характеризующим поведение и размерность электронной подсистемы по отношению к теории слабой локализации, является магнитная длина 1в = \/п/еВ (В - магнитная индукция). При 1д < Ь^ размерность системы определяется 1в, а не Ь^. Таким образом, изменение магнитного поля и температуры может вести к эффективному изменению размерности. В эксперименте это проявляется в изменении характера зависимости сопротивления от магнитного поля.
Данное обстоятельство особенно существенно при исследовании магнетосопротивления пленок полу-
Че-таП: reukova@physics.msu.ru
проводников и металлов с толщиной от нескольких десятков до нескольких сотен нанометров. Действительно, в магнитном поле с индукцией от 0.01 до 1 Тл магнитная длина уменьшается от 256 до 25.6 нм, так что соотношение между толщиной пленки и магнитной длиной, как и эффективная размерность системы, может изменяться. Данный диапазон магнитных полей является доступным и удобным. При этом, например, пленки проводящих оксидов металлов и других легированных полупроводников, полученные методом химического осаждения из газовой фазы или методом магнетронного распыления, наиболее часто имеющие толщину от десятков до сотен нанометров, и являются объектом исследования гальваномагнитных свойств [6-8]. При анализе магнетосопротивления таких пленок использование существующих выражений для магнетосопротивления, обусловленного слабой локализацией, полученных для двумерных или трехмерных систем [9], возможно только для узкого диапазона слабых магнитных полей либо вообще невозможно.
В связи с вышеизложенным целью данной работы был расчет магнетосопротивления пленок, обусловленного слабой локализацией при произвольном соотношении между толщиной пленки, магнитной длиной и длиной диффузии электронов за время релаксации фазы волновой функции, а также экспериментальная проверка расчетов для пленок оксида цинка, легированного галлием.
208
О. В. Реукова, В. Г. Кытин, В. А. Кульбачинский и др.
Выражение для магнетосопротивления пленок. Явление слабой локализации для системы невзаимодействующих электронов обусловлено интерференцией электронных волн при рассеянии электронов [4]. Поправка к проводимости, обусловленная слабой локализацией, в диффузионном пределе описывается следующим соотношением [4,9]:
2е21)
6а(г, ш) =--—тС(г, г, ш), (1)
где С{г,г,ш) - куперон, определяющий амплитуду рассеяния электрона на примеси, В - коэффициент диффузии, е - заряд электрона, г - время упругого рассеяния. Функция С{г,г,ш) является решением уравнения
В 9
-ш + (-¿V - 2е/НХу + т^
¿(г - г')
-1
С{г, г»
(2)
где ш - частота внешнего поля, А - вектор-потенциал магнитного поля.
В рамках диффузионного приближения поправка к проводимости для пленок произвольной толщины будет являться решением уравнения (2) с учетом граничных условий на поверхности пленки, которые в магнитном поле, перпендикулярном поверхности пленки, имеют вид
(У2 - 2ге/ПАх (У2 - 2ге/ПАх
=оС = 0,
-ЛС = 0.
(3)
Дифференциальное уравнение (2) по форме совпадает с уравнением для функций Грина линейного дифференциального оператора, решение которого при ш = 0 можно построить в виде
Сш (г, г'
Еп
(4)
где фп(г), Еп - собственные функции и собственные значения соответствующего оператора. Решение задачи на собственные функции и собственные значения с учетом граничных условий (3) приводит к следующим выражениям:
7Г тг
ф{х,у,г) = В0егк*хХ(у) сое
(5)
У-Уо . 1в
п, т — кван-
где Хп{у) = Ап ехр Т*1 И,
1В
товые числа, Нп(у) - полиномы Эрмита, Ап,Во - нормировочные коэффициенты, и
п 'т ЬЮг
1
П -\--
2
Нт,
-1
(в)
где сос = 4еВВ/Н.
Подставив (5) и (6) в выражение для куперона (4), опуская промежуточные выкладки, для квантовой поправки в магнитном поле находим
6а(В) = х
2-кЦ
Е
/ 1 \ / 7ТТЛ \ ^
Пшс1п+-\ + Нт^1 + ВН J
• (7)
Тогда из (7) для магнетопроводимости квадратного участка пленки (Да = 5а {В) — 6а(0)) получим
Аа(В) =
2тг 2Н
Е
1п:
Ф
1
(8)
где хт - т-1+д(;т/(г)2-
Для того чтобы проанализировать, как соотносится полученное выражение (8) с известными результатами для магнетопроводимости 2Б, квази-2В и ЗБ электронных систем и толстых пленок [4, 9,10], было проведено его сравнение с известными предельными случаями. В предельном случае толстой пленки (с1 Ьф) поправка к проводимости записывается в виде [10]
Аа{В) = <1Ааж{В)+ 12Аа2ъ{В), (9)
где Д<тзо(£>), Да20(В) - трехмерная и двумерная магнетопроводимость в теории слабой локализации [9[:
Дет
1
ЗБ —
2тг 2НЬи
{хь),
(10)
где хь = , /3(ж) = ЕГ=о 2КХ + п + 1) - (п -
„М/21 , 1 , 1/2
- ж)1/2] - (п+ \ +х)
6а2о =
2тг 2Н
(П)
где /2(х) =1пх + Ф(± + ±).
На рис. 1 и 2 представлены зависимости магнетопроводимости от ЬфЦв, рассчитанные по формулам (8) и (9) для толстой пленки (Ь^/с! = 0.25, 0.5) (рис.1) и тонкой пленки (Ь^/в, = 2, 4) (рис.2). Из рис. 1 видно, что в случае толстых пленок величины магнетопроводимости, рассчитанные по формулам (8) и (9), близки. Однако для тонких пленок {Ьф > (I) (рис. 2) с ростом соотношения Ь^/сI их различие становится все более выраженным.
Магнетосопротпвленпе тонких пленок, обусловленное слабой локализацией.
209
Рис. 1. Теоретические зависимости магнетопроводимо-сти для толстых пленок (с/. > Ь^) при разных соотношениях Ь^/й: 1 - 0.25 (9); 2 - 0.25 (8); 3 - 0.25 для ЗБ-систем (10); 4 - 0.5 (9); 5 - 0.5 (8); б - 0.5 для ЗБ-систем (10); 7 - 0.5 для 2Б-систем (11)
Рис. 2. Теоретические зависимости магнетопроводимо-сти в тонких пленках < Ь^) при разных соотношениях Ь^/й: 1 - 2 (8); 2-2 (9); 3-4 (8); 4 - 4 для 2В (11); 5-4 (9)
составляло 7.2 ат. %. По данным измерений эффекта Холла были найдены величины концентрации и подвижности электронов: п = 6.7 • 10~19см~3, = 38см2 -В/с. Из них было рассчитано произведение кр1 = 3.9, где - квазиволновой вектор Ферми, I - длина свободного пробега. Для пленок выполнялось условие Иоффе-Регеля (кр1 1), что позволяет применить для анализа наблюдаемого отрицательного магнетосопротивления теорию слабой локализации. На рис. 3 представлены экспе-
Рис.З. Сравнение теоретических зависимостей магне-топроводимости пленки ZnO:Ga толщиной й = 60 нм с экспериментальными данными при Г = 4.2 К: 1 -экспериментальные данные, 2 - зависимость (8) (Ь^ = 187нм), 3 - зависимость (9) (Ь^ = 310нм), 4 - зависимость (11) для 2Б (Ь= 182 нм), 5 и 6 - магнетосопро-тивление, рассчитанное для квантовых поправок, обусловленных электрон-электронным взаимодействием в диффузионном и куперовском канале соответственно [4, 5]. На вставке экспериментальное (кривая 1) и -рассчитанное по формуле (8) (кривая 2) магнетосопро-тивление в магнитных полях до 0.4 Тл
Как мы видим, для тонких пленок (1в > с1) в области малых магнитных полей значения магнетопро-водимости, рассчитанные по формуле (8), близки к значениям, рассчитанным по формуле для двумерной электронной системы (11). Однако с ростом магнитного поля зависимость (8) отклоняется от зависимости для двумерных электронных систем, так как начинает проявляться трехмерный вклад.
Магнетосопротивление тонких пленок ZnO:Ga. Полученное нами выражение (8) было использовано для аппроксимации экспериментальных кривых магнетосопротивления пленок ZnO:Ga толщиной 60 нм в диапазоне температур 4.2-27 К. Исследованные пленки ZnO, легированные Са, были синтезированы методом химического осаждения из газовой фазы (МОСУБ) на подложках из И-сапфира. Содержание легирующей примеси галлия
риментальная кривая магнетопроводимости пленки ZnO:Ga при температуре 4.2 К, а также результат аппроксимации магнетопроводимости выражениями (8), (9) и выражением (11) для двумерной системы. Соответствующие значения параметра Ь^ также приведены на рисунке. Как видно, выражение (8) аппроксимирует экспериментальную зависимость значительно лучше, чем выражение (11) для двумерной системы. При этом значение параметра Ь^ соответствует промежуточной размерности, т.е. сравнимо с толщиной пленки. Отметим, что экспериментальная кривая магнетосопротивления может быть аппроксимирована выражением (9), полученным в работе [10] для толстых пленок. Однако получающееся при этом значение Ь^ = 310 нм не согласуется с условием тол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.