стеме (1.1) при b = 0, т.е. суперпозиция обычного и параметрического резонансов. Доказано существование устойчивого предельного цикла. Проведем экстремальный анализ уравнения (1.1), т.е. определим наихудшие возмущения и максимальную возможную амплитуду колебаний. Другими словами, решим задачу Булгакова о максимальном отклонении.
2. Синтез наихудших возмущений. Осуществим его тем же способом, что и в [5, 6]. Пусть X(x°) - траекторная воронка уравнения (1.1) с вершиной x0 = (x°, x °), т.е. совокупность фазовых траекторий, исходящих из точки x°, при всевозможных v(t), w(t) е V. Максимум-оптимальная (наиболее удаленная от начала координат) ветвь границы траекторной воронки X(x°) характеризуется следующим дифференциально-геометрическим свойством. Угловой коэффициент касательной
^ = -2 а - kX + v ( b - 5x - + dW
^d^c xc x xc
x(x0, v, w, T)
max,
v, w
(2.2)
Mw =
W 0 -
x G mtc, W, t
sup
x(x , w, t)| =
1 + exp--
V W
, i па
1 - exp--
1 Wo JJ
d-cth| па k V 2 W0
(3.1)
где x
0
(x0, X 0), ю0 = Jk - а2.
В [7] для одной колебательной системы вычислено отношение максимального отклонения к амплитуде установившейся реакции системы на синусоидальное возмущение. Показано, что максимум этого отношения по всем возможным частотам равен 4/п ~ 1.28. Аналогичный результат имеет место и для уравнения (1.1) при v(t) = 0. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний при синусоидальном возмущении w(t) = sin(wt + ф) достигает максимума Ar = d/2^Vk - а2 на резонансной
частоте Wr = k -2 а . Если коэффициент демпфирования а мал, то, используя разложения функций в ряды, также получим, что Mw/Ar ~ 4/п.
Рассмотрим теперь колебания системы (1.1) под воздействием наихудшего возмущения v* = = sign {X (b - ôx)} при w(t) = 0. Если b > 0 (b < 0), то
(2.1) отрезок
-b
k - ô k + ô
-b
на оси OX
в каждой точке максимум-оптимальнои ветви границы траекторноИ воронки принимает максимальное возможное значение, вследствии чего на этоИ траектории осуществляется решение следующей экстремальной задачи [2, 3]:
где x0 = x(0) < 0, x 0 = x (0) = 0, x(T) > 0, x (T) = 0, x (t) Ф 0 при t e (0, T).
Задача (2.2) представляет собой формулировку задачи Булгакова о максимальном отклонении с нефиксированным временем. Используя те же рассуждения, что и в [5, 6], нетрудно убедиться, что наихудшими являются возмущения v*, w*, которые максимизируют угловой коэффициент (2.1) в каждой точке траектории, т.е.
v* = sign{ x (b - 5x)}, w* = signx.
3. Оценка максимального отклонения. Наихудшее возмущение w*, естественно, совпадает с полученным в [3] с помощью принципа максимума. В [3] приведены параметрические уравнения предельного цикла Cw, соответствующего возмущению w* (при v(t) = 0), и оценка максимального отклонения
к + 8' к - 5_
представляет собоИ множество состоянии относительного равновесия системы (1.1). Каждая точка отрезка является точкоИ равновесия при соответствующем постоянном возмущения V = V, V е [-1, 1]. Верно и обратное: для каждого постоянного возмущения V е [-1, 1] точка отрезка с абсциссоИ , служит точкоИ равновесия.
к + 8 V
КраИние точки отрезка будут стационарными при значениях V, равных 1 или -1, принимаемых наихудшим возмущением V*.
ФазовыИ портрет кусочно-постоянноИ системы (1.1) при V = V*, 1(0 = 0 "склеивается" на прямых переключения х = 0, х = Ь/8 из двух фазовых портретов систем с постоянными коэффициентами при V = 1 и -1, а его центр поочередно перемещается в надлежащюю краИнюю точку отрезка относительного равновесия. В связи с этим нетрудно убедиться, что, если начальная точка принадлежит отрезку стационарных состояниИ или его достаточно малоИ окрестности, то фазовая траектория системы (1.1) при V = V*, м>(!) = 0 представляет собоИ раскручивающуюся вокруг этого отрезка спираль.
Абсолютная устоИчивость однородного уравнения (1.2), как известно [8], эквивалентна его аб-солютноИ экспоненциальноИ устоИчивости, следовательно, ограниченность возмущениИ 1(0 обеспечивает, согласно [8], ограниченность решениИ уравнения (1.1). Поэтому, начиная с некоторого момента, фазовые траектории системы (1.1) при V = V*, = 0 расположены в кольцевоИ области, которая окружает отрезок относительного равновесия. В таком случае выполнены условия теорем [9, 10] о существовании устоИчи-
вого предельного цикла. Это справедливо и для системы (1.1) при v = v*, w = w*.
Таким образом, можно утверждать, что фазовые траектории системы (1.1) при v = v*, w(t) = 0, начинающиеся в малой окрестности отрезка стационарных состояний, раскручиваются и навиваются изнутри на замкнутую кривую (предельный цикл) Cv, содержащую внутри данный отрезок. При этом последовательности точек пересечения фазовых траекторий с отрицательной и положительной полуосями OX монотонно стремятся к соответственным точкам пересечения с осью OX предельного цикла Cv. Абсциссы этих точек обозначим х- и х+. Возможны две ситуации, обусловленные тем, пересекает предельный цикл Cv или нет прямую переключения х = b/5. Разделяющий эти ситуации критерий формулируется следующим образом: если b > 0 (b < 0), то неравенство х+ < b/5 (х- > b/5) является необходимым и достаточным для того, чтобы предельный цикл Cv не пересекал прямую переключения х = b/5.
Рассмотрим сначала первую ситуацию, когда предельный цикл Cv не пересекает прямую переключения х = b/5. В полуплоскости х < b/5 (х > b/5) имеем b/5 - х > 0 (b/5 - х < 0), поэтому в этой полуплоскости функция v* изменяется по закону v* = sign x (v* = - sign x). Это заведомо имеет место для фазовых траекторий внутри предельного цикла Cv. Следовательно, в полуплоскости х < b/5 (х > b/5) решение кусочно-постоянной системы (1.1) при v = v*, w(t) = 0 можно получить в аналитическом виде методом "припасовывания", соединяя на прямой переключения X = 0 полувитки фазовой траектории. Ограничившись двумя полувитками, лежащими в данной полуплоскости, найдем аналитическое выражение для функции последования [9], определяющей точечное отображение полуосей OX и OX + в себя. Пусть b > 0, тогда функция последования имеет вид
, -aT2,, -aT. ч -aT
-а(г1 + т2) (e (1 + e ) , 1 + e x = e x + b1----
k - 5 k + 5 /
если 0 < x < b/5,
-aT1 -aT2 -aT1
-a(T 1 + Г2) Je (1 + e ) , 1 + e
x = e x - b I k + 5 ~Te~5~
b n
если x < x < 0,
(3.2)
где
b be x =--т
b ( 1 + e 2) T =
k + 5 , 1 W1,
T2 = —, = Jk - 5 - a2,
W
w2 = Jk + 5 -
2
a .
x xb x- x = x x = f(x)
1 0 x + b/5 x
Рисунок.
График функции последования х = f(х), построенный совместно с биссектрисой х = х, называется диаграммой Ламерея [9], которая для уравнения (1.1) при V = V*, w(t) = 0 и условии х+ < Ь/5 изображена на рисунке. Проекции на ось ОХ точек пересечения графика функции последования х = Я(х) с биссектрисой х = х представляют собой [9] неподвижные точки точечного отображения полуосей ОХ в себя. В данной ситуации график функции последования для уравнения (1.1) при V = V*, w(t) = 0 и условии х+ < Ь/5 состоит из участков прямой с угловым коэффициентом
-а( Т1 + Т .)
0 < е < 1, а неподвижными являются точ-
ки пересечения предельного цикла ^ с отрицательной и положительной полуосями ОХ, абсциссы которых обозначены через х~ и х+. При этом, согласно теореме Кенигса [9], неподвижные точки и проходящий через них предельный цикл ^ -устойчивы. Рассмотрев выражения (3.2) совместно с уравнением биссектрисы, получим
7 -аТ2 -аТ 1ч -аТ.
+ Ь (е (1 + е ) , 1 + е
х = --1----1--
1 - e
-a(T 1 + тг)\ k - 5
k + 5
(3.3)
x = —
1 - e
1 2 1 bb_( e (1 + e ) + 1 + e
- a ( T 1+T 2 \ kT5 k - 5 /
Критерий х+ < Ь/5 отсутствия пересечения предельного цикла ^ и прямой переключения х = Ь/5 после подстановки в него выражения для х+ из (3.3) и тождественных преобразований запишется в следующем виде:
-а( Т1 + Т.)
. (3.4)
5 >1
2 e
1 - e
-a( T1 + T2)
Критерий (1.3) абсолютной устойчивости уравнения (1.2) также можно представить в аналогичной форме
7 2 aT
k e
-5- > -e---2--a---T--
1
-1
где выражение для T приведено в (1.3).
2
2
При условии (3.4) параметрические уравнения предельного цикла Cv имеют вид:
а) в нижней фазовой полуплоскости (v* = - 1)
x (t) = (x+ + , 1 e~at( cos Wit + —sin Wi t| -V k - 5J V 1 W1 1 J
k - 5'
•(a k- 5( x( t) =--1 x
W1
b i -at -
e sinW1 t,
k - 5
0<t< -b W1
b) в верхней фазовой полуплоскости (v* = 1)
x(t) = I x - - b „ |e at(cosW21 + —sinw2t
1 k + 5J V 2 W2
+
k + 5
x(t) =--1 x -
W2
k + 5' b
k + 5
-a t
e sin W2t,
-a(T! + T2)
x = e x - b
aT1 -aT2 -aT1
e (1 + e ) _,_ 1 + e
k + 5
k - 5
b
если 0 < x < x
-a( T1 + T 2)
x = e x + b
aT2 -aT1 -aT
e (1 + e ) _,_ 1 + e
(3.6)
при выполнении которого предельный цикл С^. не пересекает прямую переключения х = Ь/5, сохраняется выражение (3.4). Параметрические уравнения верхней и нижней половин предельного цикла Слг переставляются с заменой х~—► х+ и х+ —»- х-.
Исследование суперпозиции наихудших возмущений V* и w* (обобщенного резонанса) проводится по той же схеме, что и в случае V = V*, w(t) = 0. Сохраняются сделанные выше утверждения с соответствующими изменениями, которые заключаются в том, что при Ь > 0 (Ь < 0) в полученных формулах следует вместо величины Ь подставить Ь + d (Ь - d), исключая уравнение прямой переключения х = Ь/5.
Так, при Ь > 0 (Ь < 0) множеством относительного равновесия системы (1.1) является отрезок
b + d b + 1
k - 5' k + 5.
b - d b - <
на оси OX.
0 < t <
W2
Предельный цикл Cv, аналогично предельному циклу Cw, представляет собой границу множества достижимости из всех точек ограниченной им области. Для максимального возможного отклонения системы (1.1) при w(t) = 0 и выполнении критерия (3.4) имеет место оценка
Mv = 0 sup |x(x0, v, t)| = max{ |x"|, x+}, (3.5)
x G intCv, v, t
где х- и х+ определены формулами (3.3).
Если b < 0, то картина меняется симметрично относительно прямой х = b/5. Функция v* принимает противоположные по сравнению со случаем b > 0 значения. В выражении (3.2) для функции последования строки симметрично меняются местами, т.е.
к + 5' к - 5_
В формулах (3.2) ((3.6)) для функции последования х = Я(х) и втором слагаемом выражения для хЬ следует вместо Ь подставить Ь +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.