ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 10, с. 1854-1861
удк 519.634
МАКСИМИЗАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ ГЛАДКОГО КОНТУРА С ВИХРЕМ В ПОТОКЕ1)
© 2010 г. Д. Ф. Абзалилов, Е. В. Варсегова, Н. Б. Ильинский
(420008 Казань, ул. Университетская, 17, НИИматем. и механ. КазГУ) e-mail: evarsegova@yandex.ru Поступила в редакцию 02.03.2010 г.
Рассматривается задача о нахождении такой формы гладкого контура, обтекаемого потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости, и такого положения в этом потоке вихря, которые обеспечивали бы максимальный коэффициент подъемной силы. Задача решается методами теории функций комплексной переменной и численного анализа. Библ. 7. Фиг. 4.
Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, оптимизация, подъемная сила, точечный вихрь, численный анализ, теория функций комплексной переменной.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из способов улучшения аэродинамических свойств крыла, в частности, увеличения подъемной силы, является его механизация. К механизированным относятся крылья с предкрылками и закрылками, основы теории которых заложены трудами С.А. Чаплыгина и В.В. Го-лубева (см. [1], [2]). Исходными для прямого аэродинамического расчета являются заданные профили основной части крыла и закрылка (предкрылка) и их расположение относительно друг друга в набегающем потоке.
Другой подход к расчету механизированного крыла заключается в нахождении профиля и закрылка по заданным аэродинамическим характеристикам, например, по распределениям скорости на их контурах. В случае когда по сравнению с размерами основного профиля размеры закрылка малы, возможна замена его одиночным вихрем (см. [2]). При этом интенсивность вихря принимается равной циркуляции скорости на закрылке. В такой постановке задача нахождения формы профиля по заданному распределению скорости изучена в [3]. В [4] эта задача решена с использованием метода квазирешений обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА).
Особый интерес представляют задачи проектирования крыловых профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. Такие задачи сводятся к вариационным ОКЗА (см. [5], [6]), в которых одно из граничных условий заменяется оптимальным. Задача определения формы гладкого замкнутого контура, на котором достигается наибольшее значение циркуляции скорости при обтекании потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости, исследовалась в ряде работ. В частности, в [7] сказано, что из формул М.А. Лаврентьева для вариаций конформных отображений следует, что таким контуром является окружность при режиме обтекания с совпадающими точками торможения и схода потока. Полное исследование этой задачи приведено в [5]; коэффициент подъемной силы, отнесенный к периметру контура и скорости набегающего потока, равен четырем.
В настоящей работе ставится и решается задача о нахождении такого гладкого замкнутого контура, обтекаемого потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости, и такого положения в этом потоке вихря, которые обеспечивали бы максимальный коэффициент подъемной силы.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (проект П1124).
1854
МАКСИМИЗАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ (а) (б)
&
(г) - У
-""В
/ • \ \ О )
^М^
У (г)
Фиг. 1.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В г-плоскости комплексной переменной искомый замкнутый гладкий контур (фиг. 1а) фиксированного периметра / обтекается потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости с заданной скоростью набегающего потока. В некоторой точке О потока находится вихрь заданной интенсивности Г0. Через Г обозначим циркуляцию потока по любому контуру, охватывающему контур Ьг и вихрь. Предполагается, что реализуется схема течения с тремя критическими точками, две из которых располагаются на Ьг (А — точка разветвления потока, В — точка схода), а третья (точка М) — в потоке. Также предположим, что не реализуется схема течения, изображенная на фиг. 1б с чисто циркуляционным течением вокруг контура Ьг и вихря в точке О, так как для такой схемы возможно любое сколь угодно большое значение циркуляции Г. Точку В схода потока примем за начало координат, ось абсцисс выберем параллельно направлению скорости набегающего потока.
Требуется определить такую форму контура и найти такое положение точки О расположения вихря, чтобы коэффициент подъемной силы су = 2Г/( был максимальным.
х
х
2. ВЫБОР УПРАВЛЯЮЩИХ ПАРАМЕТРОВ
Введем в рассмотрение каноническую область б (|£| > 1) в плоскости £ (фиг. 2). Соответствующие точки в плоскостях г и £ будем обозначать одинаковыми буквами. Для взаимно однозначного конформного отображения областей и б потребуем соответствия бесконечно удаленных точек плоскостей г и £ и выполнения условия
1т ^
= о,
означающего, что скорость на бесконечности в канонической области также направлена вдоль оси абсцисс.
Комплексный потенциал М^) = ф + /у обтекания окружности с циркуляцией Г0 в точке = = г0в~1<0 и циркуляцией Г на бесконечности имеет вид
Л Г Г„, 1
^<« = И-^ + V - 2П1П* - 2Т/1П- со> + 2Т/1П^ - ^, (2Л)
где и— модуль скорости потока на бесконечности в плоскости
—
(Z)
Y \
_—О---^^^
( 1 •
ит
Фиг. 2.
Комплексно-сопряженную скорость й^/йС^ обтекания единичного круга с вихрем в потоке можно записать, воспользовавшись методом особенностей:
dw - ( Z - Za ) ( Z - Zb)( Z - Zm) ( Z - 1 /Z m) - U ^ ~ _ .
dZ
Z
(Z - Z 0 )(Z -1 / Z 0)
(2.2)
ВС«» Ча у ЧЬ у Чш
это соотношение входят неизвестные параметры ца = е , цъ = е , Цт = гше , определяющие положение критических точек А, Б, М. Для нахождения этих параметров достаточно продифференцировать соотношение (2.1) и привести его к виду (2.2). Но удобнее использовать другой способ.
При рассмотрении (2.2) на единичной окружности (£ = е/у) устанавливается связь между угловыми координатами критических точек и точки положения вихря, а также находится распределение и (у) скорости (у — угловая координата, 0 ^ у < 2п, фиг. 2). Будем считать, что и (у) > 0, если скорость на окружности направлена в сторону роста у, и и(у) < 0 — в противоположную. Несложно видеть, что в этом случае комплексно-сопряженная скорость примет вид
dw dZ
_ и(у)е
-i (у + п /2)
(2.3)
Z - е'
Проведем преобразование (2.2) и, записав это выражение в виде
dw d Z
- -4 и т exp
z - е"
' I - Y + ^ + Y m
■Y о
sin Y - Y a sin Y - Y brm + 1 / rm - 2 eos (Y - Y m ) 2 2 ro + 1 / ro- 2eos (y - Y о^
сравним его с (2.3). В результате получим распределение скорости u(y) по единичной окружности
/ ч л • Y - Y а ■ Y - Y brm + 1 / rm - 2 eos (y - Y m) и (y) - -4 и m sin -—- sin -—- —-—--——
2 2 ro + 1/ ro- 2eos (Y - Y o) и установим зависимость между угловыми координатами критических точек
Y а + Yb + 2 (Ym - Y о) - - п + 4 п к, к е Z, (2.4)
которую используем для нахождения Ya.
Пусть ик, (к = 1, 5), — параметры уь, у0, г0, ут, гт, которые будем называть управляющими. Из (2.1) следует, что разложение (йм/йС^ в ряд Лорана в окрестности ^ = бесконечно удаленной точки имеет вид
й-
_Г_1
2я / ^
= и-- + £ а ^.
У = 2
Рассмотрев (2.2) в окрестности ^ =
й-
= и—
1 - 1 Г^ + С* + Ст + 1 - Со - Л + о{1
С
с,
о
(2.5)
(2.6)
и сравнив коэффициенты при 1/^ в выражениях (2.5) и (2.6), получим два действительных соотношения
и-/ (и*) = Г, (2.7)
Яи*) = 0, (2.8)
/1 (И*) = 2я[(Го + 1 /То) ЙШ Уо - (гт + 1 /гт) $1Щт - ЯПув - вШ уъ ],
/2(И*) = 2п[(т0 + 1/т0 ) сов Уо - (Тт + 1 /тт) С0« у, - С08уа - СОву, ].
Коэффициент подъемной силы, отнесенный к скорости на бесконечности и к периметру контура, имеет вид
где
су =
2 и-/1 (И* )
V- /
(2.9)
Рассмотрев поведение комплексно-сопряженной скорости (2.2) вблизи точки ^о, получим ограничение
где
/з(и*) = 2 п1т
и-/з (и*) = Го,
(Со - Са)(Со - С*)(Со - Ст)(Со - 1 /Ст)
(2.10)
Со2
(Со - 1/Со)
Течения, изображенные на фиг. 1а и 1б, отличаются значениями функции тока в точках М и В. Так, на фиг. 1а 1т w(Zb) > 1т w(Zm), а в случае, изображенном на фиг. 1б, 1т w(Zb) < 1т w(Zm). Чтобы исключить течения с бесконечной циркуляцией, добавим ограничение
Яи*) ^ о, где /(и*) = 1тМ^) - ъ&т)].
(2.11)
со
3. ВЫБОР УПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
Введем аналитическую в области О^ функцию
Х(0 = 5 + /0 = 1п ^ - 1пи-, (3.1)
й С V-
полностью определяющую вид контура Ьг в физической плоскости. Для нахождения этой функции достаточно задать ее вещественную часть на границе. Поэтому в качестве управляющей
функции выберем S(y) = Re x(eiY). Из теории ОКЗА (см., например, [6]) известно, что S(y) должна удовлетворять трем условиям разрешимости:
2п
J (S) = J S (у) dy = 0,
0
2 п
J (S) = J S(y) cos Y dy = 0, (3.2)
0
2п
J3 (S) = J S (y) sin y dy = 0.
0
Первое условие следует из задания величины скорости на бесконечности, второе и третье обеспечивают замкнутость Lz. Распределение скорости по искомому контуру Lz определяется по формуле
v(y) = ^ и(у) eS(Y). (3.3)
u„
Преобразовав (3.1), получим выражение
dz = U- ex(Z) d Z
для нахождения формы искомого контура. Отсюда также следует связь между заданным периметром l контура и параметром иш:
uJ( S) = vj, J4 (S) = JeS(Y)dy.
Исключив величину иш из соотношений (2.9) и (2.10), придем к оптимизационной задаче, которой посвящен разд. 4.
4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ Задача состоит в следующем: найти функцию S(y) и пять параметров при которых функционал
2/1 )
су =
J4( S)
принимает максимальное значение с учетом трех ограничений (3.2) на вид функции S(y), условий (2.8) и (2.11) на параметры цk и связи
УзСМк) = Jj- (4 1)
J4 ( vj
Вся сложность решения поставленной задачи состоит в наличии ограничения (4.1), связывающего управляющую функцию S(y) и параметры Для ее решения используется
Теорема. Пусть функция fx, y) ((x, y) e D) ограничена сверху. Тогда справедливо соотношение
supfx, y) = sup[supf( x, y)].
x, y x y
Доказательство. Пусть a = supfx, y). Тогда a S supf(x, y), а это влечет a S sup[sup/(x, y)] .
x, y y x y
2
п
0
Обратно, пусть б > 0 является произвольным. По определению sup, существует точка (x0, y0) е D такая, что f(x0,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.