ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 2, с. 302-309
УДК 519.634
МАКСИМИЗАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ
КОНТУРА НАД ЭКРАНОМ1)
© 2007 г. Д. Ф. Абзалилов
(420008 Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ КГУ)
e-mail: damir.abzalilov@ksu.ru
Поступила в редакцию 27.06.2006 г. Переработанный вариант 25.08.2006 г.
Исследована задача нахождения максимально возможного коэффициента подъемной силы гладкого контура при его обтекании вблизи экрана при заданном периметре контура и его отстоянии от экрана. Построены оптимальные контуры, получена зависимость коэффициента подъемной силы от отстояния. Результаты могут быть полезны как точные верхние оценки коэффициента подъемной силы реальных крыловых профилей экранопланов. Библ. 7. Фиг. 4.
Ключевые слова: оптимизация, коэффициент подъемной силы, крыловой профиль, экрано-план.
ВВЕДЕНИЕ
Максимизация коэффициента подъемной силы крылового профиля является актуальной задачей аэродинамического проектирования. Задача определения формы гладкого замкнутого контура, на котором достигается наибольшее значение циркуляции скорости при обтекании потоком идеальной несжимаемой жидкости, исследовалась в ряде работ. В частности, в [1] сказано, что из формул М.А. Лаврентьева для вариаций конформных отображений следует, что таким контуром является окружность при режиме обтекания с совпадающими точками торможения и схода потока. Полное исследование этой задачи приведено в [2]. Коэффициент подъемной силы, отнесенный к периметру контура и скорости набегающего потока, в этом случае равен четырем.
В случае движения профиля над экраном область течения является двусвязной, что осложняет решение задачи оптимизации коэффициента подъемной силы контура крылового профиля экраноплана. Оптимизация коэффициента подъемной силы для частных случаев исследовалась в ряде работ. Так, оптимизация бесконечно тонкого контура вблизи экрана рассмотрена в [3], а крылового профиля при ограничении на максимум скорости - в [4].
В настоящей работе исследована задача нахождения максимально возможного коэффициента подъемной силы гладкого контура при его обтекании вблизи экрана, когда заданы периметр контура и его отстояние от экрана. Результаты могут быть полезны как точные верхние оценки коэффициента подъемной силы реальных крыловых профилей экранопланов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В физической плоскости г = х + гу гладкий контур Ь2 заданной длины I = 1 обтекается потоком идеальной несжимаемой жидкости со скоростью набегающего потока = 1 на заданном расстоянии И от экрана Ог (см. фиг. 1а). Предполагается, что критические точки, т.е. точки, в которых скорость обращается в нуль, располагаются только на контуре: А - точка разветвления, В - точка схода потока. Точка В принята за начало координат, ось абсцисс выбрана параллельно скорости набегающего потока на бесконечности.
Требуется найти такую схему обтекания, т.е. определить форму контура и положение критических точек А и В на нем, при которой достигается максимально возможный коэффициент су тах подъемной силы обтекания этого контура.
^ Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (МК-1076.2005.1) и РФФИ (код проекта 05-08-01153).
(а)
(б)
- ю Gu Фиг. 1.
2. СВЕДЕНИЕ К ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ
Так как область течения является двухсвязной, отобразим ее на прямоугольник со сторонами 2ю и ш/2 в канонической плоскости и таким образом, чтобы контуру соответствовала верхняя сторона Ьи прямоугольника, экрану - нижняя сторона Gu, а на боковых сторонах выполнялось условие периодичности (см. фиг. 16). Для того чтобы это отображение определялось единственным образом, потребуем, чтобы бесконечно удаленная точка Е (2 = .) переходила в точку и = 0. В [5] приведено выражение для комплексно-сопряженной скорости ём>/ёи в виде функции от аргумента и:
^ (и) = и.^(и) - т)],
(2.1)
где ^(и) - эллиптическая функция Вейерштрасса с полупериодами ю и /л/2 (см., например, [6]); и.. - вещественная постоянная, определяющая интенсивность диполя в точке Е, иа = %а + /п/2 -образ точки А разветвления потока. Так как ^(и) - четная функция, из (2.1) следует, что действительная часть образа точки В схода потока = -%а. Таким образом, для однозначного определения dw/du необходимо задать три параметра: ю, и., %а. Пусть
Р(%) - ^^ + Щ - Щиа), R© - ?(%) - Щиа), % е (-ю, ю).
Заметим, что эти функции являются вещественными. Аналитическая функция
х(и) 1пI и. ^и
(2.2)
имеет логарифмическую особенность в точке и = 0. Поэтому представим ее в виде суммы двух функций:
Х(и) = Хо(и) + Хх(и),
где Х0(и), содержащую такую же особенность в и = 0, определим из решения задачи обтекания окружности над экраном (см., например, [5])
"2 ю
Х0(и) = -21п
п и
— вт —
п 2 ю.
(2.3)
Нетрудно показать, что для гладких контуров функция х1(и) будет аналитической во всей области течения. Введем следующие обозначения:
S(%) - Re х| £ = Sо© + ад,
Т(%) - Reх|с = ад + ад,
(2.4)
0(%) - 1тх|£ = 00(%) + ад,
где £0©, Т0(^), 00© являются известными действительными и мнимыми частями %0(и) (2.3) на соответствующих границах.
Зададим Д^) = Re%1 (и). Из условия непроницаемости экрана следует 1т%1 (и)|„ = 0. Функ-
^и ^и
цию %1(м), удовлетворяющую на верхней и нижней сторонах этим условиям, а на боковых сторонах - условию периодичности, можно восстановить по формуле (см. [7])
га га
X'<u> = П1 ch ( 6 - „' + 2 кга)*
k = -
Использовав условие периодичности, доопределим на всей числовой прямой. Поменяв : последней формуле местами интегрирование и суммирование, получим
га -2кга
ra UJ — ^лш
lv с S' ( 6 - 2 k га If 6) ^
X(u) = пХ J ch ( 6 - u) d6 = nJ см^6• (2-5)
k =-ra - га -2kra -га
Из (2.5) найдем неизвестные действительные и мнимые части %1(м) на нижней и верхней сторонах прямоугольника соответственно:
T (6) l га Si ( |) 0 (6) l га S'( | ) - S'(6 )
Tl(6) = П J 01(6) = П J sh (| - 6 ) (2.6)
Таким образом, по известной 51(6) можно восстановить T1(6) и 01(6). Функции 5(6), T(6), 0(6) найдем по (2.4).
Использовав (2.1) и (2.2), выразим производную dz/du и комплексно сопряженную скорость dw/dz физической плоскости через X(u):
ddZ = — exp[x(u)], ddW = Vra[?(u) - ?(ue)]exp[-x(u)]. (2.7)
du vra dz
В окрестности точки u = 0 имеем ^(u) ~ u~2 и exp[-%0(0)] ~ u2, следовательно, dw/dz ~ vraexp[-%1(u)]. Так как скорость на бесконечности в физической плоскости равна vra, из (2.7) следует %1(0) = 0. Используя (2.5), получаем
Ji(Si, га) = J ^ d6 = 0. (2.8)
Это вещественное равенство - условие разрешимости, которому должна удовлетворять функция S1(6). Оно выражает факт совпадения заданной скорости на бесконечности с определяемой в процессе решения.
Координаты контура восстановим по формуле, полученной из (2.7):
6
x(6) + iy(6) = — 1 exp [S(|) + i0(|)]d|. (2.9)
6b
Использовав (2.9), условие замкнутости контура z(-ra + in/2) = z(ra + in/2) запишем в виде
га
J2(Si, га) = J exp [So(6) + Si(6)]cos [0„(6) + 0i(6)]d6 = 0,
-га га
(2.10)
Jз(Si, га) = J exp[So(6) + Si(6)]sin[0o(6) + 0i(6)]d6 = 0.
га
га
Эти два равенства являются еще одними условиями разрешимости, которым должна удовлетворять функция £!(%). Если перейти от интегрирования по образу контура Ьи к интегрированию по образу экрана Gu, то получим другое представление ^ и
ю
^й, ю) = | exp [ад^^©] - 1)0% = 0, (2.11)
-ю
^ ю) = [ = 0. (2.12)
. сЬ2 %
Длина контура вычисляется по формуле
и
= f \dl d= ^ J(Si, и), J(Si, и) =f exp [S©]d^ (2.13)
J V„ J
I
,________V.
-и -и
а так как эта длина задана, то (2.13) является условием для определения неизвестной постоянной влияющей на линейные размеры контура.
Отстояние контура до экрана находится по формуле
Ъ
h = J4(S1, ю) = min y© - Im f ^du, (2.14)
\ e [-ю, ю] J du
\b + in/2
где dz/du имеет вид (2.7). Соотношение (2.14) можно использовать для нахождения ю.
По формуле Чаплыгина определим комплексно сопряженную силу X - iY, действующую на контур Lz:
X- iY = ip К f)2 ;dz = ? Кf)2 (D£lu'
Lz Lu
2
Использовав (2.1) и (2.7) и перейдя к коэффициенту силы cx - icy = 2(X - iY)/(p v & /), запишем
ю
Cx = ^ J*(Sb ю), J„(Sx, ю) = f P2 ©exp [-S©] sin0©d^,
-и
га
S = V- Jy(Si, га), Jy(Si, га) = - f P2 ©exp[-S©]cos0©^. 1 v & J
-га
Перейдя от интегрирования по образу контура к образу экрана и учтя (2.11), (2.12), получим
Jx(Si, га) = 0,
га 2 (2.15)
Jy(Si, га) = f exp [Tо(£)] - Я (£)exp[- To(£) - T,(£)]d^.
-га
Следовательно, cx = 0 и парадокс Даламбера в данной задаче выполняется. С учетом (2.13) соотношение для cy перепишем в виде
га
f P2(^)exp [- Soф - Si(£)]cos [0o(£) + 0,(№£,
= Jy (Si , и )
J,(Si, и)
Cy = ,y; о1' и ) = ---и-• (2.16)
J exp[So(£) + Siф]d£,
и
-и
3. ФОРМУЛИРОВКА ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ Исходя из изложенного выше, можно сформулировать следующую оптимизационную задачу. Найти два параметра ю, и периодическую функцию 5Х(^), ^ е [-ю, ю], при которых функционал су принимает максимальное значение с учетом следующих четырех условий разрешимости: условия = 0 (2.8) совпадения заданной скорости на бесконечности с определяемой в процессе решения, двух условий 32 = 0 (2.10), 33 = 0 (2.12) замкнутости, условия 34 = И (2.14) заданности отстояния от экрана. Функция 0Х© определяется из (2.6), известные функции 50©, 00© - из (2.3). Заметим также, что вместо (2.10) можно использовать ограничение (2.11).
Параметр определяющий положение критической точки, входит лишь в (2.16) и отсутствует во всех ограничениях поставленной задачи. Зависимость коэффициента подъемной силы от (2.15) схематично можно записать в виде
ю
Су = | й) - Д2© У/!©
-ю
где/0© 5Х),/©, 5Х) > 0 не зависят от Из свойств функции ^(м) следует, что Д© ^а) > 0 Ую, У^, е [—ю, ю]. Она минимальна при наибольшем значении + /л/2), которое достигается при = ю. Так как = -ю, то можно сделать вывод о том, что для любого (в том числе и оптимального) контура вблизи экрана коэффициент подъемной силы будет наибольшим при режиме обтекания с совпадающими точками разветвления и схода потока.
Легко показывается, что если для функции 51© = 5* © все условия разрешимости выполняются, то для функции 5
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.