ЛЕСОВЕДЕНИЕ, 2010, № 2, с. 46-59
_ ОРИГИНАЛЬНЫЕ _
СТАТЬИ
УДК 630*182.21: 519.21 7.2+581.524.3
МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ КАК МОДЕЛИ СУКЦЕССИИ: НОВЫЕ ПЕРСПЕКТИВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ПАРАДИГМЫ
© 2010 г. Д. О. Логофет
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017 Москва, Пыжевский пер., 3
Е-та11: daniLaL@postman.ru Поступила в редакцию 08.12.2008 г.
Марковские цепи как простой тип случайных процессов с дискретным множеством состояний служат удобным средством формального описания хода сукцессии, когда состояния цепи отождествляются с определенными стадиями сукцессии и схема переходов между этими стадиями известна. Данные о длительности стадий и правдоподобии альтернативных переходов преобразуются в количественную оценку матрицы переходных вероятностей цепи, а такое внутреннее свойство поглощающих цепей, как сходимость к устойчивому финальному распределению состояний, соответствует классической парадигме сукцессионной теории о закономерном движении от пионерных стадий к устойчивому (поли)климаксу. Марковская модель позволяет тогда получать оценки времени достижения климакса из разных начальных состояний и соответствующие вероятности в случае нескольких климаксных состояний. Современные представления о равновесии лесной экосистемы как о динамической мозаике вновь образованных и зарастающих провалов в сомкнутом пологе леса с полночленным распределением по породному и возрастному составам укладываются в формализм непоглощающих цепей, что допускает оценку относительных площадей под разными стадиями через равновесный вектор модели. Новое поколение марковских моделей сукцессии - неоднородные во времени марковские цепи - вносят элементы причинности в нарочито феноменологическое описание, характерное для однородных прототипов, и отвечают потребностям моделирования долговременной динамики леса в условиях меняющегося климата.
Схема сукцессии, марковость, длительность стадии, вероятности перехода, переходная матрица, поглощающее состояние, фундаментальная матрица, время достижения, эргодичность, инвариантность, неоднородная цепь, немарковский эффект.
Термины "марковский", "марковость", получившие широкое распространение в современном естествознании, обязаны своим происхождением русскому математику А. А. Маркову (1856-1922), который определил такой математический объект, как последовательность случайных "испытанш связанныхъ въ ц-Ьпь" [19-21, с. 1]. В расхожем понимании марковость означает, что "будущее развитие системы определяется ее текущим состоянием и не зависит от того, каким путем система пришла в это состояние" [5, с. 122], иными словами, будущее не зависит от предыстории процесса. Случайные процессы, обладающие таким свойством, стали называть марковскими. Однако такое упрощенное понимание противоречило "священному" принципу причинности и долгое время отталкивало исследователей от применения марковских процессов как инструмента формального описания процессов реальных, в частности, экологических сукцессий.
На самом деле, как будет показано ниже, "текущее состояние" марковского процесса определяет не все "будущее развитие системы", а только один следующий шаг по времени и только в вероятностном смысле, через задание условного распределения переходных вероятностей, т.е. вероятностей возможных переходов за один шаг по времени при условии, что текущее состояние известно. Как и всякий процесс, процесс марковский происходит во времени, которое может считаться непрерывным или дискретным, и в пространстве состояний тех же двух основных категорий.
В изучении сукцессии определенного типа на конкретной территории рано или поздно настает момент, когда накопленные знания обобщаются в виде концептуальной схемы сукцессии - графической схемы смен ценозов, которая содержит конечное число выделенных типов растительности или растительных ассоциаций и указания на по-
С подростом ели 40-50 лет
С подростом липы и/или клена остролистного 50-60 лет
С подростом липы и дуба 60-70 лет
С подростом дуба, ели и липы 50-70 лет
Условно-разновозрастные
Рис. 1. Идеализированный ход лесной сукцессии (зарастание залежей) на территории Приокско-Террасного биосферного заповедника [58].
рядок их следования (или альтернативные порядки) в сукцессионном ряду (рядах). С этого момента возможно построение математической модели процесса смен во времени и дискретном пространстве состояний, в качестве которого и выступает набор выделенных типов или ассоциаций. Случайные процессы в дискретном пространстве принято называть цепями, и поскольку состояния сукцессионного ряда наблюдаются лишь в дискретные моменты времени, в качестве модели выступает дискретная цепь с определенным шагом по времени Дt = 1 год, 5, 10 лет и т.д., конкретная величина которого определяется характером имеющихся данных и целью моделирования. В сущности принятие определенной концептуальной схемы сукцессии неявно означает и принятие постулата марковости модельного процесса, который, таким образом, оказывается дискретной марковской цепью с конечным числом состояний.
В чем же заключена случайность, когда определены и шаг по времени, и схема переходов марковской цепи за один шаг? Случайным оказывается выбор одного из возможных вариантов перехода, когда в схеме их несколько, как на рис. 1, а также само событие перехода, которое либо состоялось, либо нет к следующему моменту времени. Таким образом, время пребывания в любом (переходном, или сукцессивном) состоянии цепи есть величина случайная, и ее характеристики, как будет показано ниже, тесно связаны с так называемой матрицей переходных вероятностей, или переходной матрицей. Формальные свойства переходной матрицы определяют и кратко-, и долгосрочное поведение марковской цепи как модели сукцессии, и количественная оценка этой матрицы составляет главную методическую задачу при калибровке модели по данным наблюдений.
Понятно, что модель, построенная на таких основаниях, способна давать лишь феноменологическую картину процесса и не претендует на вскрытие его причинных механизмов. Однако такая модель "помогает выявить области, где это понимание особенно важно, т.е. задает и ориентир, и стимул для дальнейшего исследования" [54, с. 92].
Бум англоязычных публикаций по применению такого сорта моделей в экологических исследованиях приходится на 70-е годы (см. обзоры в [22, 23, 45, 51, 52, 66, 67]), после чего интерес к ним заметно спал, но не угасал полностью даже в "докомпьютерную", пре-ГИСовскую "эру", поддерживаемый энтузиазмом отдельных специалистов [1, 2, 12, 13]. И то, и другое вполне объяснимо, если обратиться к сути марковского формализма и практике его применения в построении моделей сукцессионного ряда. В настоящей работе этот формализм и эта практика иллюстрируются характерными примерами из опубликованных ранее марковских моделей сукцессии лесных экосистем и сукцессии в зоне лесостепи. Показано, в каких направлениях можно усложнить классический формализм однородной (во времени) марковской цепи, чтобы модель отвечала вызовам времени -потребностям долгосрочного прогноза в условиях изменяющегося климата и при моделировании немарковских эффектов в сукцессионной динамике леса.
ОСНОВЫ ФОРМАЛИЗМА ОДНОРОДНОЙ ЦЕПИ МАРКОВА
В качестве пространства, где происходят случайные события перехода из одного текущего состояния цепи в другое, выступает определенный набор стадий сукцессии, которые отождествляются с соответствующими типами леса в заданной концептуальной схеме (рис. 1). Ради формального удобства стадии занумерованы числами от 1 до п (на рис. 1 п = 15), и ход сукцессии рассматривается как процесс случайного блуждания по этим состояниям, управляемый матрицей переходных вероятностей. Состояние системы в целом в момент времени t = 0, 1, 2, ... описывается вектором х(0 = [^(0, х2({), ..., хп^)], компоненты которого суть вероятности соответствующих состояний цепи, т.е. стадий сукцессии, в соответствующий момент t. На формальном языке, х(^) представляет конечное распределение вероятностей, следовательно, || х(0 ||Е = 1, где || ... ||Е обозначает норму вектора по сумме модулей компонент (так называемая Манхэттен-норма, или норма таксиста [39]). Традиция в интерпретации этих вероятно-
стей отождествляет их с частотами стадий в мозаике растительности, наблюдаемой (или прогнозируемой) в момент t, а частоты - с относительной площадью соответствующих ценозов (или типов леса) на изучаемой территории (см. [15, 63] и ссылки там же).
Если цепь в момент времени t находится в некотором состоянии j (j = 1, 2, ..., n), то возможные переходы из этого состояния определены концептуальной схемой сукцессии или, на формальном языке, ориентированным графом переходов1. Согласно марковскому свойству, (конечное) распределение вероятностей этих переходов за 1 шаг по времени зависит только от i, т.е. представляет собой набор чиселpi1, pi2, ..., pin с очевидными свойствами:
n
0< Pj<1, /Pj = 1 (i = 1,..., n). (1)
j=1
Записанные в виде п строк, эти наборы составляют матрицу переходных вероятностей размера п х n, или переходную матрицу, Р = [рj], которая является стохастической (по строкам, row-stochastic) благодаря свойству (1). Каждый j-й столбец матрицы Р определяет все те состояния i, откуда возможен переход в состояние j за 1 шаг, и соответствующие тому вероятности. Поэтому изменение вектора состояния модели x(t) за 1 шаг описывается (согласно элементарным формулам теории вероятности для пересечения и объединения событий) уравнением
x(t + 1) = x(t)P, t = 0, 1, 2, ..., (2)
которое и служит основным уравнением динамики системы, заданной конечной марковской (однородной по времени) цепью. Дальнейшие свойства и результаты модели целиком определяются качественными и количественными свойствами переходной матрицы, т.е. ее строением (которое отвечает структуре ориентированного графа по формальному правилу «i ^ j ^ ptj Ф 0») и численными значениями элементов матрицы.
Уравнение (2) позволяет вычислить распределение вероятностей стадий в любой момент t, если задано начальное распределение х(0):
x(t) = x(0)Pt, t = 0, 1, 2, ...2, (3)
а также финальное распределение х* как предел
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.