научная статья по теме МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМА ЭФФЕКТА ВАЛЬДМАЙЕРА Астрономия

Текст научной статьи на тему «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМА ЭФФЕКТА ВАЛЬДМАЙЕРА»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2014, том 48, № 3, с. 257-260

УДК 523.98

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМА ЭФФЕКТА ВАЛЬДМАЙЕРА © 2014 г. Е. М. Рощина, А. П. Сарычев

Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

Поступила в редакцию 10.12.2012 г.

Эффект Вальдмайера рассмотрен для эмпирических параметров функций, аппроксимирующих циклы солнечной активности №№ 8—23 по цюрихской нумерации. Найдено, что амплитуда цикла линейно зависит от средней скорости увеличения активности на протяжении этапа ее роста. По-видимому, такая зависимость является фундаментальным свойством 11-летних циклов и с этой зависимостью связано различие циклов между собой.

DOI: 10.7868/S0320930X14020054

ВВЕДЕНИЕ

Эффектом Вальдмайера принято называть такие две особенности развития 11-летних циклов солнечной активности. Давно известно (Waldmeier, 1935), что в "сильных" циклах максимум активности достигается за более короткое время, чем в "слабых". В работе Karak, Choudhuri (2011) это свойство циклов названо первым эффектом Вальдмайера WE1. Вторым эффектом WE2 авторы называют зависимость амплитуды цикла от скорости роста активности. Более быстрое увеличение индекса активности характерно для циклов с большей амплитудой. Обозначения WE1 и WE2 используются нами в дальнейшем.

Антикорреляция между амплитудой цикла и продолжительностью его этапа от начала до максимума хорошо заметна, если для анализа использовать индекс относительного числа пятен (число Вольфа). Однако для других индексов активности эффект WE1 может выглядеть существенно ослабленным. Согласно работе Hathaway и др. (2002) коэффициент линейной корреляции для WE1 равен —0.73 при использовании чисел Вольфа и —0.34 для индекса число групп пятен, предложенного Hoyt, Schatten (1998). По утверждению Dikpati и др. (2008), при использовании индекса суммарная площадь пятен эффект WE1 практически отсутствует. Однако с этим выводом не согласны Karak, Choudhuri (2011).

Корреляция между скоростью увеличения индекса активности и его значением в максимуме, то есть эффект WE2, наблюдается для всех трех упомянутых выше индексов. Вообще говоря, амплитуда цикла лучше коррелирует со скоростью роста активности (WE2), чем с длительностью этого роста (WE1) (Lantos, 2000; Наговицын, Кулешова, 2012).

Механизм возникновения эффекта Вальдмайера обычно рассматривают в рамках моделей солнечного динамо (Кагак, СИоиёкип, 2011 и др.). Однако возможны иные подходы к этой проблеме (\ё-8е1оУ8ку, Тагапа, 2002; Наговицын, Кулешова, 2012).

В следующем разделе будет предложена методика анализа эффекта Вальдмайера, основанная на аппроксимации среднемесячных чисел Вольфа для каждого цикла. Далее будет показано, что эффекты и WE2 можно описать одним математическим соотношением с эмпирическими коэффициентами, обладающими понятным физическим смыслом. Место эффекта Вальдмайера в общей картине пятнообразования на Солнце будет обсуждаться в заключительном разделе статьи.

МЕТОДИКА АНАЛИЗА ЭФФЕКТА ВАЛЬДМАЙЕРА

Эффект Вальдмайера рассмотрен для параметров функций, каждая из которых аппроксимирует конкретный 11-летний цикл. Использовались функции вида

ДО = R

M

t - tf

(1)

свободные параметры которых Т, Ям являются одновременно традиционными характеристиками цикла: 10 — стартовое время (дата начала цикла); Т — продолжительность этапа роста активности; Ям — значение индекса Я в момент максимума 1м (Рощина, Сарычев, 2011б; Яо8ИсЫпа, 8агусИеу, 2011Ь). В упомянутой статье приводятся значения параметров, найденные путем аппроксимации среднемесячных чисел Вольфа в циклах №№ 8—23 по цюрихской нумерации. При этом участки перекрытия соседних циклов заранее ис-

RM

Rm/T

Рис. 1. Зависимость амплитуды цикла Лм от средней скорости увеличения индекса активности Лм/Т. Параметры циклов найдены с помощью аппроксимации (1).

ключались из обработки. По своему смыслу параметр показывает результат экстраполяции функции (1) к нулевому уровню активности, а величина Т равна разности моментов максимума и начала цикла Т = — Такое определение продолжительности этапа роста представляется более оправданным, чем традиционное вычисление Т как разности дат максимума и предшествующего минимума. Хорошо известно, что фактически цикл начинается раньше минимума, но общепринятого способа определения начала цикла пока не существует. Недостатком применяемого нами способа является зависимость даты 10 от вида аппроксимирующей функции.

Скорость изменения индекса активности на любом участке цикла можно оценить, вычислив производную функции (1) по времени

^ = 2т(1 - т2)ехр(1 -т2)^ = Ят)^• (2) ш Т Т

Здесь т = ^ — 10)/Т — безразмерное время, отсчитываемое от начала цикла ^ и выраженное в долях продолжительности Т этапа роста активности. От начала до конца этого этапа т изменяется от 0 до 1; при этом значение /(т) монотонно увеличивается от нуля до максимума/(т) « 1.6 при т « 0.47, а затем опять уменьшается до нуля. Отношение Лм/Т является постоянной положительной величиной, характеризующей данный цикл. Функция /(т) показывает относительные изменения скорости роста (т < 1; /(т) > 0) или спада (т > 1; /(т) < 0) активности внутри цикла. На этапе роста, когда 0 < т < 1, среднее значение /(т) равно единице. Следовательно, среднее значение скорости увеличения индекса активности в цикле, описываемом соотношением (1), равно Лм/Т, то есть отношению

амплитуды цикла к продолжительности роста активности. Заметим, что этот вывод будет справедлив для непрерывной функции R(t) произвольного вида, поскольку среднее значение производной dR/dt в интервале t0 < t < tM равно отношению (R(tM) - R(to))/(tM - to).

ВЗАИМОСВЯЗЬ ЭФФЕКТОВ WE1 И WE2

Для анализа эффектов WE1 и WE2 мы используем параметры T, RM функции (1), полученные при аппроксимации 16 последних циклов (Рощи-на, Сарычев, 20116; Roshchina, Sarychev, 2011b). Более ранние циклы не рассматривались из-за сомнений в достоверности их реконструкции (например, Ишков, Шибаев, 2006). Эффект WE2 иллюстрирует рис. 1, на котором показана зависимость амплитуды цикла RM от средней скорости увеличения активности RM/T на протяжении этапа ее роста. Здесь величина RM выражена в шкале чисел Вольфа, а отношение RM/T — в единицах "число Вольфа/год". Прямой линией изображена регрессия

Rm = a + Ь(Ям/T), (3)

где a = 25.09; b = 3.50. Коэффициент корреляции для этой регрессии равен r = 0.98, что указывает на близость статистической закономерности (3) к функциональной. Преобразуя соотношение (3) как функциональное, получим два варианта математической формы классического эффекта Вальдмай-ера WE1:

T = b(1 - a/RM )-1 и Rm = a(1 - b/T)-1 . (4)

Из уравнений (4) следует, что значения T, RM будут положительными, если RM > a и T > b. Таким образом, коэффициенты a, b в соотношениях (3) и (4) показывают нижний предел возможных значений амплитуды цикла и длительности этапа роста.

Эффект WE1 для рассматриваемых параметров аппроксимации иллюстрирует рис. 2. Здесь сплошной линией показано левое соотношение (4) с коэффициентами a, b, найденными для линейной функции (3). Для сравнения штриховой линией показан эффект WE1 в форме, предложенной Hathaway (2010). Штриховую линию можно сблизить со сплошной, увеличив значение T в каждом цикле. По-видимому, такое расположение линий обусловлено различием способов вычисления продолжительности этапа роста T. В работе Hathaway (2010) значения T определялись как разность дат максимума и предшествующего минимума, то есть были занижены. Следовательно, левое соотношение (4) не противоречит современным исследованиям классического эффекта Вальдмайера.

Наблюдаемую антикорреляцию между амплитудой цикла и продолжительностью этапа роста,

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМА ЭФФЕКТА ВАЛЬДМАЙЕРА

259

то есть эффект Вальдмайера WE1, можно объяснить существованием эффекта WE2 в форме соотношения (3). Иными словами, в соотношении (3) в неявном виде содержится математическое описание эффекта WE1. Таким образом, разделение эффекта Вальдмайера на WE1 и WE2 весьма условно. Этот эффект целесообразно рассматривать как целостное явление, обусловленное единым физическим механизмом.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Эффект Вальдмайера можно рассматривать как одну из перечисленных ниже закономерностей пятнообразования на Солнце. Согласно закону Швабе—Вольфа циклы пятнообразования повторяются примерно через 11 лет. В законе Хейла учитывается полярность магнитного поля в группах пятен, из-за чего период повторения удваивается. Эти законы относятся к совокупности наблюдаемых циклов. То же самое можно сказать о правиле Гневышева—Оля (1948), которое указывает на взаимосвязь циклов в парах "четный плюс следующий нечетный" и отсутствие связи в парах "нечетный плюс четный" (см. также Наговицын и др., 2009).

Закон Шпёрера относится к отдельному 11-летнему циклу. Как показал Гневышев (1944), во всех циклах зона пятнообразования систематически смещается к экватору по примерно одинаковому закону (см. также Гневышев, Гневышева, 1949). Это свойство пятнообразования можно использовать для оценки периодичности повторения циклов (Рощина, Сарычев, 2011а; Roshchina, Sarychev, 2011a).

Эффект Вальдмайера характеризует начальный этап цикла, при завершении которого определяются индивидуальные параметры цикла — его амплитуда и продолжительность роста активности. Этап спада активности начинается с ее индивидуального уровня, но заканчивается во всех циклах примерно одинаково: в области минимума число Вольфа уменьшается по закону, близкому к экспоненте (Giovanelli, 1964). Как было показано выше, амплитуда цикла линейно зависит от средней скорости увеличения активности. Интересно, что эмпирические коэффициенты такой зависимости имеют смысл минимально возможных значений параметров цикла. С помощью соотношения (3) и вытекающих из него соотношений (4) эффекту Вальдмайера можно придать строгую математическую форму. По-видимому, соотношение (3) описывает фундаментальное свойство 11-летних циклов, определяющее их индивидуальность.

Соотношение (3) в сочетании с упомянутыми выше известными закономерностями может служить для пр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком