научная статья по теме МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АКТИВНОЙ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕУПАКОВКИ КЛЕТОК Физика

Текст научной статьи на тему «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АКТИВНОЙ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕУПАКОВКИ КЛЕТОК»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015

УДК 532.5:531.3:576.72

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АКТИВНОЙ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕУПАКОВКИ КЛЕТОК

© 2015 г. Л. В. БЕЛОУСОВ*, С. А. ЛОГВЕНКОВ**' ***, А. А. ШТЕЙН**

* МГУ им. М.В. Ломоносова, Биологический факультет, Москва **МГУ им. М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики, Москва *** Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, Москва

e-mail: logv@bk.ru

Поступила в редакцию 20.05.2014 г.

Предложена континуальная модель эмбриональной эпителиальной ткани с учетом активных деформаций и переупаковки клеток. Тензор напряжений рассматривается как сумма напряжений, испытываемых непосредственно клеткой, и тензора активных напряжений, создаваемых сокращением закрепленных на поверхности соседних клеток клеточных отростков и развивающихся в ответ на изменение формы (деформацию) клеток. Тензор скоростей деформаций включает три составляющие: упругую и две неупругие, связанные с активной деформацией клеток и их переупаковкой. Скорость изменения первой из этих составляющих зависит от напряжений в клетках и достигнутого уровня клеточных деформаций, а скорость второй определяется активными напряжениями. Решена задача о реакции тонкого пласта на быстрое растяжение и получено соответствие с экспериментальными данными.

Ключевые слова: клеточные системы, активные среды, биологическое формообразование, эмбриональный эпителий.

Механические силы, возникающие в процессе эмбрионального развития, могут приводить к переупаковке клеток и их направленному движению [1, 2]. Многочисленные данные свидетельствуют о том, что эти силы являются одним из необходимых факторов в управлении биологическим формообразованием (обзор [3]).

Процесс перегруппировки клеток в клеточных пластах в ответ на развитие активных напряжений в ткани играет существенную роль в эмбриональном развитии [4]. Клетки эмбриональной ткани способны к смене соседей в результате активных относительных перемещений. Встраивание клеток в промежутки между другими клетками (этот процесс называют интеркаляцией) может приводить к изменению пропорций биологического объекта даже в отсутствие клеточных делений. Механизмы такого формообразования не могут быть поняты без исследования математических моделей, учитывающих определяющие принципы организации движений в такой системе.

Имеющиеся в литературе теоретические модели деформирования клеточных пластов на тканевом уровне с учетом переупаковки и деформаций клеток можно разделить на несколько обширных групп. В моделях типа клеточных мозаик [5, 6] деформации и переупаковки клеток рассматриваются как случайный процесс перестановки ячеек, составляющих клетки, направленный на минимизацию энергии системы. В другой группе моделей [7, 8] используется представление клеток многоугольниками, изменение положения вершин которых управляется балансом механических сил в вершинах (узлах), соответствующих различным типам взаимодействия между ними. Напряжения в среде не рассматриваются — учитываются лишь напряжения в поверх-

ностных прямолинейных элементах, соединяющих вершины. Эволюция конфигурации со временем также определяется условием минимизации энергии. Широкое распространение в последнее время получило использование метода конечных элементов [9, 10]. Континуальные модели, описывающие механическое поведение пластов клеток, немногочисленны [11, 12].

Существенный недостаток первых двух типов моделей — невозможность ставить задачи с учетом граничных условий на перемещения и напряжения, так как силовые взаимодействия учитываются только через изменение энергии системы. В конечно-элементных моделях (без написания континуальных соотношений) [9], перегруппировка клеток связывается исключительно с поверхностным натяжением и изменением площади контакта между соседними клетками. Такому типу клеточных взаимодействий не всегда можно сопоставить физически ясный механизм, тогда как несомненно существенные механизмы межклеточного взаимодействия не рассматриваются. Описание наблюдаемых явлений в рамках континуальных моделей до сих пор не учитывало взаимодействий на клеточном уровне. В результате потребовалось постулировать дополнительные, не имеющие отчетливого физического смысла, гипотезы: о существовании гомеостатического напряженного состояния, описываемого некоторым эмпирическим уравнением [11] или о наличии заранее задаваемого фиксированного направления анизотропии развития активных напряжений [10, 12].

В настоящей работе представлена общая континуальная модель, описывающая активные реакции плоского слоя клеток (эмбрионального эпителия) с явным учетом активных деформаций и переупаковки клеток. Модель основывается на общих принципах моделирования такого рода тканей, разработанных ранее [3, 13]. Полученная модель используется для описания ступенчатого нагружения фрагмента ткани. В рамках модели без привлечения каких-либо дополнительных гипотез описываются наблюдаемые в эксперименте явления, в том числе эффект гипервосстановления начального состояния, проявляющийся в удлинении клеток перпендикулярно оси растяжения ткани.

1. Общая континуальная модель. Клеточная среда рассматривается как двумерный континуум, остающийся плоским в процессе деформирования. В трехмерной постановке такая среда соответствует тонкому (в сравнении с двумя другими размерами) слою, ненагруженному в нормальном к слою направлении. Будут решаться задачи, в которых слой подвергнут значительным тангенциальным нагрузкам. В сочетании с условием ненагруженности по широкой поверхности это позволяет пренебречь напряжениями, действующими в направлении, перпендикулярном к слою, в сравнении с теми, которые действуют в его плоскости. Возможность практической реализации такого нагружения будет рассмотрена ниже.

Для описания деформаций и перемещений введем системы координат наблюдателя

с координатами х' и сопутствующую с координатами Е,5. Латинские, не заключенные в скобки, индексы пробегают значения 1, 2. По таким совпадающим верхним и нижним индексам предполагается суммирование. Закон движения среды имеет вид

х = х' Е,5), где t — время. Полагается, что деформирование определяется тремя механизмами: упругостью, активной деформацией клеток и их переупаковкой.

Среда в некоторый момент времени t в быстрых по сравнению с активными клеточными реакциями процессах рассматривается как упругая. В каждой точке локально может быть осуществлена разгрузка, т.е. обращены в нуль напряжения в малой частице ткани. Соответственно в сопутствующей системе координат можно локально ввести метрические тензоры в текущий момент времени в актуальном и в мгновенно

разгруженном состоянии Здесь штрихом обозначены компоненты тензора в со-

путствующей системе координат. Введем тензор упругих деформаций Грина-Лагран-жа по формуле [14]

£У ^ = - ¿у )

После мгновенной упругой реакции на снятие нагрузки имеет место дальнейшее деформирование (за счет активных клеточных деформаций). Состояние, соответствующее снятию и этой деформации, характеризуется метрикой ¿уа. Не все из введенных промежуточных состояний могут быть физически реализованы. Тензор активных клеточных деформаций задается как

¿(а) = - ¿а)

Процесс деформирования среды определяется тензором скоростей деформаций е/, для которого справедлива формула [14]

, 1 1 й^у ¿е^ йг'Р 1

еу =-(УЩ/ + V ¡щ) =--=-+-+--(1.1)

1 2 1 1 2 йг йг йг 2 йг

где щ - компоненты вектора скорости среды.

Тензор скоростей интеркаляционных деформаций (т.е. связанных с переупаковкой

клеток) е'УтЬ) с компонентами в сопутствующей системе координат задается формулой

е •.('*) = 1

1 2 йг

Этот тензор характеризует активные перемещения клеток, при которых клетки из некоторого условного ряда осевой ориентации могут встраиваться между клетками соседнего ряда.

Соотношение (1.1) полностью определяет закон деформирования в дифференциальной форме для конечных деформаций. При этом тензор полных деформаций, связывающий текущее состояние с некоторым состоянием, начальным для всего процесса, можно не рассматривать [15].

Таким образом, тензор скоростей деформаций среды рассматривается как сумма трех составляющих: упругой, связанной с упругой деформацией клеток, и двух неупругих. Одна из этих составляющих определяется активной деформацией клеток и

связана с изменением их формы, а другая (е(1п4)) происходит из-за переупаковки клеток вследствие активных клеточных движений.

Поскольку исходное дифференцирование по времени выполняется в сопутствующей системе координат, для компонент тензора скоростей деформаций в системе наблюдателя может быть получено следующее выражение: Бр(е) Бр(а)

Бр у Бргу (;п4)

еу =-— +-— + еУ (1.2)

1 Бг Бг 1

Здесь (у принимает одно из двух значений: а или е)

Бр (У) йр (У)

^ = ^ + № Щ +£ щк (1.3)

Бг йг

При написании динамических соотношений среда рассматривается как двухфазная, состоящая из основной и вспомогательной фаз. Предполагается, что объемом

вспомогательной фазы можно пренебречь и все сформулированные выше кинематические соотношения относятся к основной фазе. Вспомогательная фаза соответствует системе клеточных выростов (ламеллоподий), закрепляющихся на соседних клетках и обеспечивающих развитие активных стягивающих усилий. При этом основная фаза, состоящая из тел клеток, испытывает сжатие. Характеризуя напряжение в основной

фазе тензором а(с), во вспомогательной фазе — тензором т, а в среде в целом — тензором а, будем предполагать выполнение соотношения

ст = ст(с) +т (1.4)

Если сокращение во вспомогательной фазе отсутствует, напряжение в основной фазе соответствует напряжению в среде. Если в среде как целом напряжений нет, фазы могут находиться в напряженном состоянии из-за межклеточных взаимодействий,

(с)

причем а = -т.

Упругую деформацию естественно связывать с напряжением в основной фазе ст(с. В дальнейшем упругие деформации не обязательно считаются малыми. Однако, поскольку расчеты носят качественный и оценочный характер, для простоты используется линейная зависимость

ст(с) = Е £(е) (1.5)

где Е — тензор коэффициентов упругости. Все материальные тензоры

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком