БИОФИЗИКА, 2015, том 60, вып. 2, с. 343-347
БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 57.087
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕМОДИНАМИЧЕСКИХ П P ОЦЕССОВ ФОР МИР ОВАНИЯ ПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ
ПУЛЬСОВОЙ ВОЛНЫ © 2015 г. А.А. Федотов
Радиотехнический факультет Самарского государственного аэрокосмического университета им. А кадемика С.П. Королева (Национальный исследовательский университет), 443086, Самара, Московское шоссе, 34
E-mail: fedoaleks@yandex.ru Поступила в p едакцию 08.11.14 г. После доработки 08.12.14 г.
Рассмотрена математическая модель процессов формирования сигнала периферической пульсовой волны в сосудах верхних конечностей. Формирование периферической пульсовой волны представлено в виде композиции прямой и отраженной пульсовых волн, распространяющихся по артериальной системе человека. Предложена система формальной аналогии между процессами распространения пульсовых волн по артериальной системе человека и распространением электрических колебаний по линиям с распределенными параметрами. Зависимости распространения пульсовых волн по артериальной системе человека были получены на основе решения одномерных уравнений Навье-Стокса для нескольких частных случаев.
Ключевые слова: гемодинамическая модель, пульсовая волна, уравнения Навье-Стокса, уравнение длинной линии, эластичность, артериальный сосуд.
Одной из самых р аспро стр аненных и опасных патологий сердечно-сосудистой системы человека является дисфункция эндотелия, приводящая к возникновению таких заболеваний, как атеросклероз, артериальная гипертензия, ише-мическая болезнь сердца, инсульт и инфаркт. Ранняя диагностика эндотелиальной дисфункции осуществляется на основе методик оценки показателей эластичности артериальных сосудов [1,2].
Эластические свойства артериальных сосудов могут быть косвенно определены методами контурного анализа периферической пульсовой волны, регистрируемой неинвазивно с помощью плетизмографических или сфигмографических датчиков [2-4]. Форма контур а периферической пульсовой волны определяется главным образом характеристиками большого круга крово-обр ащения, скор остью р аспро стр анения пульсовых волн давления в аорте и крупных артериях, а также тонусом мелких ар тер ий и арте-риол [1,5].
Математическое моделирование гемодина-мических процессов в артериальных сосудах верхних конечностей позволит открыть новые возможности в создании эффективных методов определения показателя эластичности артериальных сосудов на основе неинвазивной регистрации и обработки биосигналов пульсовой
волны [6,7]. Данная работа посвящена разработке математической модели процессов формирования периферической пульсовой волны, наблюдаемой в артериальных сосудах верхних конечностей.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Для описания пр оцессов р аспро стр анения пульсовых волн давления по артериальному руслу использовали одномерные ур авнения На-вье-Стокса [8,9]:
. дР = q + _р_ dQ
дх nr4 nr2 dt '
dQ = ЗПГ3 дР дх ~ 2^h dt '
где: х - осевая координата; I - время, Q -расход жидкости; Р - давление; ц - вязкость крови; г - радиус артерии; р - плотность жидкости; - модуль Юнга ар тер иальной стенки; Н - толщина стенки.
Для получения математических зависимо -стей изменения давления пульсовой волны от времени и координаты воспользуемся аналогией между процессом р аспро стр анения пульсо -вых волн по а ртериальному р услу и р аспро -странением электрических колебаний по однородным линиям передачи с распределенными пар аметрами [6,9]. Телеграфные ур авнения, опи-
Рис. 1. П роцесс формирования артериальной пульсации крови в сосудах верхних конечностей.
сывающие процесс р аспро стр анения электр иче-ских возмущений в длинной линии без утечек (длинная линия типа «подземный кабель» [10]), имеют символьную формальную аналогию с одномерными уравнениями Навье-Стокса:
- ди=т + « = с^,
дх дг дх дг
где и - электрическое напряжение, I - электрический ток, Я - электрическое сопротивление единицы длины линии, Ь - индуктивность единицы длины линии, с - электрическая емкость единицы длины линии.
Таким образом, используется следующая система аналогий: электрическое напряжение и ^ давление Р, электрический ток I ^ расход жидкости Q. Аналогия уравнений позволяет использовать для исследования гемодинамиче-ских процессов методы анализа, разработанные для длинных электрических линий, в частности, использовать такие понятия, как импеданс, со -гласованная нагрузка, линия с отражением и др.
Моделью участка а ртериального р усла является однородная электрическая длинная линия передачи. На одном конце находится источник электрического колебания, другой конец линии замкнут на обобщенное сопротивление [6,9]. В такой модели источник электрического сигнала моделирует импульсное изменение давления, возникающее во время систолы и приводящее к выбросу крови из левого желудочка. В качестве входного сигнала был выбран импульс с экспоненциальными фронтами, как наиболее близкий к наблюдаемой форме сердечного выброса во время систолы [6]:
Р о(г) = Р тах[1 - е Г1 - (1 - е
)1(г - гр)],
где Ртах - амплитуда импульса давления; Т1 -длительность переднего фр онта импульса; гр -
длительность импульса; Т 2 - длительность заднего фр онта импульса; 1(г) - единичная функция.
Параметры такого сигнала имеют прямой физиологический смысл и определяются параметрами сердечного выброса при систоле. В качестве уср едненных значений будем считать, что длительность переднего фронта импульса давления Т1 = 0,08 с; длительность импульса давления гр = 0,2 с; длительность заднего фр онта импульса давления Т2 = 0,05 с [11].
Ра ссмотрим процесс формирования пульсо -вой волны в периферических сосудах верхних конечностей. Контур пульсовой волны формируется в р езультате взаимодействия между левым желудочком и со судами большого круга кровообращения и отражает слияние прямой и отраженной пульсовых волн давления [5,8,11].
Прямая пульсовая волна давления образуется за счет систолического объема крови, передающегося напрямую от левого желудочка к пальцам верхних конечностей во вр емя систолы. Отраженная пульсовая волна давления образуется за счет отражения объема кр ови, передающегося по аорте и крупным магистральным артериям к нижним конечностям и направляющегося обратно в восходящий отдел аорты и далее к сосудам верхних конечностей [11].
Процесс формирования периферической пульсовой волны схематично представлен на рис. 1: ► - прямая пульсовая волна давления, |> - отраженная пульсовая волна давления, • -точка бедренной бифуркации аорты.
Прямая пульсовая волна давления формируется на первом участке артериального русла: аорта-лучевая артерия-артериола пальца. Отраженная пульсовая волна давления формируется на втором участке артериального русла: аорта-магистральные артерии-бедренная бифуркация аорты. На данном участке артериального русла наблюдается отражение пульсо -
г - г
р
МАТЕМАТИЧЕС КАЯ МОДЕЛЬ ГЕМОДИНАМИЧЕС КИХ П Р ОЦЕССОВ
345
Р ис. 2. Эквивалентная схема фор мир ования ар тер иальной пульсации кр ови в со судах верхних конечностей.
вой волны. Интенсивность отражения (амплитуда отраженной волны А2) определяется тонусом мелких мышечных ар тер ий. Вр емя отр а -жения пульсовой волны (А) будет зависеть от эластичности магистр альных ар тер ий и пр отя-женно сти втор ого уча стка ар тер иального р усла.
Таким обр азом, амплитудно -вр еменнь' е ха -р актер истики контур а пульсовой волны являются важными диагно стическими показателями, хар актер изующими функциональное со стояние ар тер иальной системы человека.
Процесс формирования пульсовой волны в сосудах верхних конечностей, на основании использования аналогии с электрической линией передачи с распределенными параметрами, можно представить эквивалентной схемой, со -стоящей из двух электрических линий передач, представленной на рис. 2: ► - прямая пульсация давления, > - отраженная пульсация давления, 1 - электр ическая линия с согласованной нагр узкой, 2 - электр ическая линия с несогласованной нагрузкой, X 0 - хар актер истическое сопр отивление линий 1 и 2, X1 - сопр отивление нагрузки в линии 1, X 2 - сопр отивление нагрузки в линии 2. Для пр о стоты анализа получаемых зависимостей будем считать, что па -р аметр ы обоих ар тер иальных участков, а следовательно , и соответствующих электрических линий идентичны.
Пер вый участок ар тер иального русла моделируется электрической линией пер едачи с со -гласованной нагрузкой. Втор ой участок ар тер иального русла моделируется электр ической линией пер едачи с несогласованной нагр узкой.
Р ешение телегр афных ур авнений опер атор-ным методом для электр ической линии с со -гласованной нагрузкой позволило получить зависимо сть изменения пр ямой пульсовой волны давления от времени и координаты для первого участка артер иального р усла:
Рис. 3. Зависимости изменения времени задержки р аспр о стр анения отр аженной пульсации давления от показателя эластичности и длины втор ого артериального участка I (1 - 0,5 м; 2 - 0,35 м; 3 -0,25 м).
Р 1(г ,х>
= IV
3дх 2 - ¿н.
п£Ье Р„е - ч*
Р ешение телегр афных ур авнений опер атор-ным методом для электрической линии с от-р ажением позволило получить зависимость изменения отр аженной пульсовой волны давления от времени и координаты для второго участка артериального русла:
Р 2(г ,х > = 5
= 51V
3|(х - 21>2 - -21> пкгЪг3
НгЪг
Р0(г - т)^т,
где I - пр отяженность вто р ого уча стка ар тер и-ального русла, 5! - коэффициент отр ажения пульсовой волны, изменяется от 0 до 1.
Пульсовая волна, наблюдаемая в пер ифер и-ческих сосудах верхних конечностей, образуется в результате композиции пр ямой и отр аженной пульсовых волн, с учетом времени отражения пульсовой волны А:
Р(г,х> = Р 1(г,х> + Р2(г - А,х>.
Вр емя отр ажения пульсовой волны обусловлено распр о стр анением отр аженной пульсовой волны по втор ому ар тер иальному руслу и оп-р еделяется величиной вр еменного сдвига между идентичными точками двух пульсовых волн, полученных на различных уча стках вто р ого артериального русла.
Р ЕЗУЛЬТАТЫ
На рис. 3 приведены зависимости изменения времени отражения пульсовой волны от пока-
0
0
Р ис. 4. Композици
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.