ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2015
УДК 629.76
© 2015 г. Липовцев Ю.В., Русин М.Ю., Рогов Д.А.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА НАГРЕВА, ОПЛАВЛЕНИЯ И УНОСА МАТЕРИАЛА ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ В АЭРОДИНАМИЧЕСКОМ ПОТОКЕ
ОАО Обнинское научно-производственное предприятие "Технология", г. Обнинск Калужской обл.
Рассматриваются постановка и конечно-разностное решение нестационарной задачи расчета температурных полей оболочки вращения в высокотемпературном аэродинамическом потоке с заданной температурой и теплоотдачей потока в точках внешней поверхности оболочки. При данных предпосылках разработаны алгоритмы и Фортран программа расчета температурных полей с учетом уноса материала поверхностными слоями оболочки. На данных примерах показана возможность использования таких расчетов для оценки несущей способности оболочки при заданных условиях теплообмена на заданном отрезке времени.
Вывод нелинейного уравнения теплопроводности оболочки вращения. Рассмотрим оболочку вращения переменной толщины И(г), где г — линейная координата по оси вращения оболочки (рис. 1) с произвольной образующей, форму которой можно задать уравнением у = Г(г) в прямоугольной системе координат или таблицей координат (г, у) ее основных точек.
При выводе уравнений и описании необходимых положений будем использовать обозначения радиусов кривизны внешней поверхности Яь Я2, радиусов параллелей оболочки вращения Я, полярного радиуса г в окружных сечениях оболочки, оси вращения г и длины дуги меридиана 5.
Уравнение теплопроводности можно получить из условия теплового баланса малого элемента (рис. 2), который выделен из оболочки двумя меридиональными сечениями, двумя окружными и двумя эквидистантными поверхностями [1].
Уравнения эквидистантных поверхностей можно представить в виде г = с, г = с + йг. Учитывая, что теплообмен идет с внешним потоком, целесообразно ввести также ось х по толщине оболочки с началом отсчета на внешней поверхности, направленную в противоположную сторону оси г. При этом координаты х точек окружного сечения будут меняться от х = хгр на внешней поверхности до толщины И на внутренней поверхности, где хгр = 0 в начальный момент времени, а затем вычисляется с учетом слоев, сорванных потоком. В этих обозначениях уравнение теплового баланса выделенного элемента примет вид
— гйф + (ц Т) — + -1 — йг\( г + йг) й ф( 1 + -й—]
дг ( дг дг дг ] ( Я, - х]
'-Х^гйф + Ш + д 1дТйв) (г + ^йв) йф
йвй +
дТ
йгй = ср—гйфйвйгй1.
+
?1 + ¿41
42 + ¿42
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 1. Оболочка вращения и ее геометрические параметры
Рис. 2. Выделенный элемент оболочки для иллюстрации внутренних тепловых потоков 41, 42
В этом уравнении
дг = й ( - X ) = ¡Щ = й Я
—я ¡я
¡я ¡я зт 9 зт 9 ¡я
1 йЯ _ Я соь 9 й9
^п29
с*89( 1 - §),
где 9 — угол между нормалью к поверхности оболочки и осью г.
Рассмотрим преобразования слагаемых левой части уравнения (1) по отдельности. Отбросив слагаемые пятого порядка малости, получим:
'-Хд-!гйу + Ш + ^йг) (г + йг)йщ{ 1 + -¡г
дг V дг дг дг х V Я, - х
=
= -X — йвй(гй<$ + X — (г + йг) йщ 1 +—йй—)
г
г
V Я1 - хX
+ -X — йг( г + йг) йщ{ 1 + -¡-Т) йвйг дг дг V Я1 - Xх
д2 т д X д Т 1 д Т 1 д Т)
+ — — +---т + —--т \ Хгйгйщйвй1.
дг2 дг дг г дг Я1 - х дг
Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части уравнения (1), которое отражает этапы перемещения теплового потока по меридиональной координате 5
-X — гйщйг + \ Х — + — X — йщ г + —¡я) йщйг =
—Я V —Я —Я —Я —Я х
дТ дТ дТйг д дТ
-X — гйщйг + X—гйщйг + X--йвйщ йг + г — X—йвйщйг
—я —я —я —я —я —я
{д2Т 1 дXдТдТ дг и , , , --+-----+---+--^ гйвйщйг.
—я2 X —я —я —я г ■ —я)
Подставим полученные выражения в исходное уравнение (1). Переходя от координаты г к координате х по толщине стенки оболочки, получим
д2 т + дд2т _ { 1 + 1 ) д_Т + _J_дX д_Т+
дХ2 —я2 Я1 - х Я2 - Xх дх X( Т) дхдх
+ 1—XдТ + с1ё9 {1 _ Я2) дТ = СРдТ
X дядя Я2 - х ^ Я 1) дя X дТ'
(2)
г
Выражения производных от коэффициента теплопроводности X по координатам г, я нужно записать с учетом заданной зависимости Х(Т(х)) от температуры. В результате нелинейность полученного уравнения (2) будет представлена в явном виде
2 2
д2т + д2т ( 1
1_]дТ + 1 дхг(д Т]2 + (д_т\2"
- хУдх X(Т)дт VдхУ V дэУ .
дх2 дя2 УЯ1 - х Я2 - х' дх Х( Т)дТ
+ с1ё6 (1 _ Я2)д1 = СРдТ
Я2 - х V Я д- X д-,
(3)
где выражение дХ/(Х(Т)дТ) можно представить в аналитическом или в табличном виде.
Отметим, что уравнение теплопроводности (2) без учета зависимости теплопроводности X от температуры для произвольной оболочки вращения в криволинейных координатах оболочки вращения впервые было получено в работе [1].
Граничное условие теплообмена с воздушным потоком. Граничное условие теплообмена оболочки с воздушным потоком получим тоже, как условие теплового баланса малого элемента оболочки, прилегающего к некоторой части внешней поверхности Я2йуйя, и имеющего толщину йх/2
С(Т(02))рйх= ае(Те(г) - Т(0, г)) -
где р — плотность; ае, Те(я, ?) — коэффициент теплоотдачи и температура потока; q¡zl — поток излучения поверхности оболочки на заданной высоте Н.
Интегральная плотность излучения поверхности оболочки на заданной высоте Н вычисляется при использовании закона Стефана—Больцмана [2, 3] по следующей формуле:
^ = Т(0, г) + 273)4 - (Тн + 273)4], ст = 5,6693 • 10-8 Вт/(м2 • К4), (4)
п
где е — коэффициент степени черноты поверхности оболочки; ст — постоянная Стефа-на—Больцмана; ТН — температура на заданной высоте Н по Цельсию.
Внутреннюю поверхность оболочки считаем теплоизолированной, и второе граничное условие при х = к запишем в виде
с( Т(к, г))рйхдТ(к, г) = -ХдТ = -х Т(к, г ) - Т(к - йх, г) (5)
2 дг дх
йх
где производная от температуры на второй границе записана как конечная разность температур в двух точках около границы, поделенная на длину отрезка йх между этими точками.
Конечно-разностная схема основных уравнений. При расчете температурных полей по толщине оболочки следует обратить внимание, что толщина оболочки мала по сравнению с радиусами кривизны и длиной по оси вращения. В результате этого градиенты температуры по образующей пренебрежимо малы по сравнению с градиентами температуры по толщине стенки оболочки. Поэтому численное решение задачи целесообразно проводить с использованием локально-одномерных уравнений без учета взаимного влияния температурных полей в окружных сечениях оболочки. В этом случае в каждом окружном сечении уравнение (3) преобразуется в одномерное уравнение
дТ - ( 1 | 1 ] дТ + _^дХ(дТ]2 = срдТ
дх2 уЯ 1 - х Я2 - х дх X ( Т) д Ту дхУ X д?, которое нужно решать с представленными граничными условиями (4), (5).
При использовании метода конечных разностей используют разные способы конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения и граничных условий [4]. При явной схеме аппроксимации производных система всех конечно-разностных уравнений в данном случае принимает следующий вид:
уЯ + 1 п
±—¿1 = К(Те(я, гп) - ТЯ) - яМ) + ^(ТЯ - Гх),
(6)
с1 рйх
с1 рйх
ггЯ + 1 ггЯ Т1 ~ т 1
йг
XI Я
Ст р
гй2Т[ _ ТП+1 - ТП-1, 1 дX{ТЯ+1 - ТП-1
2 2 йх
йх
X{ ТП)дТ
2йх
21
(7)
ггП + 1 ггЯ
Т N ~ Т N
йг
2X'
N
П ,2
С^ йх
(^ - ъ -1),
(8)
где , = 2, 3, ..., N — 1; К = — х,-)-1 + (Я2 — х)-1; N — число узловых точек разностной сетки; йх — шаг сетки по координате х; йг — шаг по времени г.
Следует отметить, что при записи системы уравнений (6)—(8) использованы следующие обозначения
й2 тп ТП-1 - 2ТЯ + ТП+ 1
йх
йх
Т(хр гп) = Т¡i, С х гп) = С'n, Чхр гп) = 1 •
Физический смысл конечно-разностных уравнений (6)—(8), записанных по явной схеме аппроксимации, можно объяснить как запись граничных условий (6), (8) и дифференциального уравнения (7) (во всех внутренних точках при , = 2, 3, ..., N — 1) для момента времени г = гп с аппроксимацией производной по времени конечной разностью температуры с шагом вперед.
В результате в правые части всех этих уравнений входят только известные температуры Т , г = 1, 2, 3, ..., N и решение задачи при явной схеме аппроксимации производных и уравнений сводится к простым вычислениям температуры Тп + 1, , = 1, 2, 3, ..., N в каждой узловой точке с номером , по толщине оболочки шаг за шагом по времени г шагом йг.
При неявной схеме аппроксимации конечно-разностных уравнений все уравнения записываются для момента времени г = гп + ь а производные по времени г аппроксимируются конечными разностями температуры с шагом назад. В результате уравнения (6)—(8) преобразуются в систему уравнений с трехдиагональной матрицей для определения неизвестной температуры Тп +1. Для более наглядного сравнения с предыдущими уравнениями запишем их без формальных изменений; заменив лишь индексацию по существу сказанного
¿я + 1 ТЯ
2Xn
йг
-2- (а.( тп+1 - А+1) - яП1 ) + 24(ТП+1 - ТЯ+1),
с1 рйх с1 рйх
(9)
+ 1
Т1 ~ т 1 йг
XI
п
С1Р
й2 тп+1 _ ктп+1 - тп+Т +1 д^ {тп+1 - тп+Т2
,2 ггП + 1
т_
йх2
2 йх
X дТУ 2 йх
(10)
ггП + 1 ггЯ Я
- Т N = 2XN ! гуП + 1 гуП + 1 йг с"1^р йх
(Т^1 - 1), (11)
где г = 2, 3, ..., N — 1.
Необходимо отметить, что при записи уравнений (9)—(11) не меняли верхние индексы в аргументах коэффициентов теплоемкости с и теплопроводности X, предполагая, что их можно вычислять по температуре предыдущего шага по времени, как и при явной схеме аппроксимации уравнений, когда необходимая точность достигается путем уменьшения шага по времени. В порядке обоснования этого положения и была рассмотрена существенная и признанная в инженерной практике явная схема аппроксимации конечно-разностных уравнений.
Здесь необходимо отметить, что в уравнениях (10) есть еще нелинейное слагаемое, без линеаризации которого решение продолжить невозможно. Представим это слагаемое в виде
1+ 1
1 дX(Т>1+1 - Т--] = 1 1 дX(тп +1 - „я +1 )2 А 2 йх ) = л , ( ^)дТ Т +1 - Т-1)
Ц ТЯ)дТХ 2йх ) йx24X( ТЯ)дТ
и линеаризуем скобку в квадрате
(ТЯ++11 - ТЯ-+11 )2-(тя+1 - ТЯ-1 )2 + 2 (ТЯ+1 - ТЯ-1)[( ТЯ++11 - ТЯ-+11) - (ТЯ+1 - ТЯ-1)],
или
(ТЯ++11 - ТЯ-+11 )2 - 2( ТЯ+1 - ТЯ-1)(ТЯ++11 - ТЯ-+11) - (ТЯ+1 - ТЯ-1 )2. (12)
Аналогичным образом проводили линеаризацию выражения (4) для
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.