№ 5
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 532.525.2:553.982
© 2008 г. КРАВЦОВ Я.И., БУТОРИН Э.А., МАРФИН Е.А.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ИЗЛУЧЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН, ВОЗБУЖДАЕМЫХ УСТРОЙСТВОМ НА БАЗЕ РЕЗОНАТОРА ГЕЛЬМГОЛЬЦА*
По результатам экспериментальных исследований предложена модель механизма генерации колебаний давления, возбуждаемых в струйном излучателе на основе резонатора Гельмгольца. В представленной модели учтен эффект повышения амплитуды колебаний на резонансном режиме. Математическая модель базируется на основах струйных течений жидкости и динамики вихрей. Полученные результаты имеют практическое значение, они позволяют оптимизировать режимные и геометрические параметры излучателя при использовании их в процессе воздействия на нефтяные пласты.
Введение. Струйный излучатель упругих волн на основе резонатора Гельмгольца разработан для реализации энергосберегающей технологии комбинированного воздействия на продуктивные пласты при разработке нефтяных месторождений. Сущность такого воздействия состоит в совмещении волновой технологии с традиционными методами увеличения нефтеотдачи пластов.
Исследования и накопленный опыт свидетельствуют [1], что такой способ воздействия обеспечивает увеличение темпов добычи нефти за счет интенсификации процессов в поровом пространстве и увеличения протяженности зоны воздействия. При определенных условиях комбинированного воздействия достигается суммарный эффект.
Целью работы является создание математической модели процесса преобразования в гидродинамических излучателях энергии потока жидкости в энергию акустических колебаний, сравнение данных теоретических и экспериментальных исследований. Значимость создания математической модели обусловлена снижением материальных затрат на проведение стендовых испытаний создаваемых образцов излучателя, проводимых для определения его динамических характеристик и выбора оптимальных геометрических размеров резонансной камеры.
Результаты экспериментальных исследований. Исследуемым устройством является струйный излучатель на основе резонатора Гельмгольца (далее - просто излучатель), представляющий собой цилиндрическую камеру с двумя круглыми отверстиями - соплами, расположенными соосно на двух противоположных стенках камеры. Струя жидкости, протекая через эти отверстия, проходит через камеру.
Проведенными экспериментальными исследованиями установлены закономерности процесса генерации колебаний давления на выходе устройства. На рис. 1 показано типичное изменение спектра колебаний давления в зависимости от числа Рейнольдса.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия отечественной науке РФФИ (грант № 06-08-01398-а) и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущих научных школ (НШ-4334.2008.8).
Мо 0 5,5
Рис. 1. Зависимость спектра генерируемых колебаний давления от числа Рейнольдса
Ый1
Рис. 2. Зависимость числа Струхаля излучателя от относительной длины резонансной камеры
Полученные результаты свидетельствуют о возбуждении колебаний, спектр которых характеризуется рядом гармоник, причем частота колебаний основной гармоники увеличивается с ростом скорости струи в камере. При некоторых скоростях струи возникающие в ней неустойчивости взаимодействуют с резонатором Гельмгольца и вызывают усиление колебаний на частотах, близких к резонансной.
Анализ результатов эксперимента позволил определить зависимость числа Струхаля, характеризующего режим колебаний, от относительного значения длины камеры устройства (рис. 2). Эта зависимость аппроксимирована степенной функцией следующего вида
БЬ = О^Щ)-0,8, (1)
где Ь - длина резонансной камеры; й1 - диаметр проходного сечения входного сопла.
Предложенная функция описывает экспериментальные данные с отклонением, не превышающим 5%, при доверительной вероятности 0,95.
Математическая модель. Предложена модель генерации колебаний в гидравлической системе с излучателем. Механизм их возбуждения обусловлен образованием и развитием вихревых колец в резонансной камере.
Рис. 3. Схема гидравлической системы с излучателем колебаний
При разработке математической модели процесса генерации колебаний приняты следующие допущения: форма вихря - тор, жидкость - несжимаема, стенки трубопровода абсолютно жесткие.
Согласно схеме гидравлической системы с генератором (рис. 3) приняты следующие обозначения: р - давление; ^ - площадь поперечного сечения; т - массовый секундный расход жидкости; параметры с индексом 1 относятся к сечению на входе в генератор, с индексом 2 - к критическому сечению входного сопла генератора, с индексом к - к сечению резонансной камеры, с индексом 3 - к критическому сечению выходного сопла, с индексом 4 - к выходному сечению генератора.
В соответствии с принятыми допущениями математическая модель процесса возбуждения колебаний в гидравлической системе с резонатором Гельмгольца включает следующие исходные уравнения.
1. Уравнение неустановившегося течения жидкости во входном трубопроводе
рб = р1 + а* тх + /^т^Л,
(2)
где рб - давление в баке; а* - коэффициент, определяющий гидравлическое сопротивление входного участка трубопровода с учетом скоростного напора,
ах + (р/2(р ^ )2)
[(Рб - Р1 )/т21
+ (р/2(р ^ )2),
где р 1, т - давление на входе в генератор и массовый расход жидкости на установившемся режиме; р - плотность жидкости; /1 = - коэффициент инерционного сопротивления входного трубопровода; 11, ^ - длина и площадь сечения входного трубопровода.
2. Уравнение Бернулли для входного сечения перед генератором и критического сечения входного сопла с учетом потерь полного давления при внезапном сужении потока
Р1 + (рт?/2(р ^ )2)
Р2 + (рт2/2(р ^1С)2)(1 + ^),
(3)
где - коэффициент полноты удара; индекс с означает "струю жидкости"; - площадь поперечного сечения струи жидкости в критическом сечении входного сопла генератора.
3. Уравнение Бернулли для двух сечений, ограничивающих резонансную камеру с учетом потерь полного давления при внезапном расширении потока по теореме Бор-да-Карно
Рз + р т2/2(р ^зс)2
Рк +
2
рт1
2(р )
__ р 12
2 ¥21.р^с р^ ,
(4)
а
где у - коэффициент потерь при внезапном расширении потока; Fc - площадь поперечного сечения струи жидкости непосредственно перед сечением 3-3.
4. Уравнение Бернулли для сечений 3-3 и 4-4
Рз + (pm^2(p F 3c )2 ) = p4 + (pm2/2(p F4 )2 ) (5)
где F4 - площадь поперечного сечения выходного трубопровода.
5. Уравнение материального баланса в излучателе
pdVE / dt = m2- m1, (6)
где V, - объем вихревого кольца.
6. Уравнение неустановившегося течения жидкости в выходном трубопроводе
Р4 = Рс + a* m2 + J2dm2/dt, (7)
где pc - давление в сливной емкости; а* - коэффициент, определяющий гидравлическое сопротивление выходного трубопровода с учетом скоростного напора,
а* = (( Ра- Рз )/m2 ) + (Р/2(р F4 )2 ),
где J2 - коэффициент инерционного сопротивления выходного трубопровода.
Система уравнений (2)-(7) дополнена зависимостями, определяющими объем вихревого кольца VE и площади F1c и F2c. Принято, что вихрь, формирующийся в пограничном слое струи, имеет "правильную" форму тора - сечением вихревого ядра является окружность, а его "радиус" (половина расстояния между стационарными точками в вихревых ядрах в системе координат, движущейся вместе с вихрем) равен половине диаметра входного сопла и не меняется в процессе движения. Радиус сечения вихревого кольца на расстоянии от входного сопла равен
r0 = 0,22S, (8)
где S = 0,27/ - толщина пограничного слоя на начальном участке струи; l - расстояние от входного сопла.
С учетом (8) получены следующие выражения для VE и F1e и F2e
V = Г0,035(d1 + (d2 - d1)(l/L))l2, l < L в 10, l > L ;
F1c = 2/4; (10)
F2c = Ц2 nd2/4. (11)
Для определения коэффициентов сужения струи ц1 и ц2 использованы результаты ее проливки.
Исходную систему уравнений преобразуем для случая течения, когда вихрь не выходит за пределы резонансной камеры (l < L).
Дифференцируя уравнение (9) и подставляя результат дифференцирования в (6), получаем
dl/dt = [( m2 - m1 ) / р][ 0,07d1l + 0,105 ( d 2- d1 ) l2/L ]-1
Объединим уравнения (4) и (5), исключая давления в сечении 3-3 с учетом (10) и (11)
22
pm2 8m1 8
Рз +-- = Рк +-ТУ!- У —-
2(рF3) 2рц1п d1 рп
m1 m2
d2 Ц2d 2J
2
I II
Р1
Вихрь
Р2
I II
Рис. 4. Схема излучателя колебаний давления
В результате система нелинейных уравнений для расчета частот и амплитуд генерируемых колебаний сводится к виду
Рб = р1 + а*ш1 + J1 йтх1 Л;
Р1 + -
2
Р т2 2( Р ^ )2
2
Р т1 2( Р ^ )2
Рк +
8 т1
Т 2 2 А
2рц1п а1
- V"
рп
т1
т2
а2 ^2 а ^
Р2 +
8 т 21 Р^2 п2а1
(1 + ^о);
а1 = т 2 - т1
¿Г Р
2^-1
0,07 а/ + 0,105 (а2- а 1) ^
Р3 = Рс + а* т2 + J2dm2/dt.
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Определяем амплитуду гармонических колебаний давления, создаваемых излучателем. Для этого, согласно [2], выделяем объем жидкости, в котором находится тороидальный вихрь, и записываем уравнение материального баланса жидкости для этого объема (рис. 4) в отклонениях
Ра5Ув/а? = 5т2- 8т1,
(17)
где 5УВ - текущее значение объема вихревого кольца; 5т1, 5т2 - отклонения массовых расходов жидкости на входе и выходе из выделенного объема.
Подставляя в уравнение (17) переменные в виде произведения значений амплитуд
5Vв, 5т1, 5т2 на гармоническую функцию времени ехр(гю0, получаем уравнение материального баланса потока жидкости при установившихся колебаниях
I юр5Vв = 5т2- 5т1.
(18)
Отклонение давления от среднего значения в выделенном объеме обозначим 5Рк, амплитуду колебаний давления - 5 Рк.
т
т
2
Известно, что отношение комплексных амплитуд колебаний давления 5 Рк к амплитудам колебаний расходов 5т 1 и 5 т2 могут быть представлены импедансом гидравлических систем, расположенных перед и за выделенным объемом [3], [4],
5 Рк/5 т1 = -7Х (г ю); (19)
5 Рк/5 т2 = 72 (гю). (20)
Определяя амплитуды колебаний расходов жидкости на входе и выходе из выделенного объема по (19), (20) и подставляя в уравнение (18), находим амплитуду колебаний давления в резонансной камере излучателя
5 Рк = гюр5Ук/71 72/(72 + 71). (21)
Далее определяем амплитуду колебаний объема вих
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.