ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 4, с. 137-139
ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ САМООРГАНИЗАЦИИ РЫНКА ТРУДА ДЛЯ ДВУХ ОТРАСЛЕЙ ЭКОНОМИКИ
© 2004 г. Е. А. Семенчин, И. В. Зайцева
(Ставрополь)
В статье (Васильев, 2001) предложена математическая модель функционирования рынка рабочей силы в одной отрасли. Эта модель представляет собой дифференциальное уравнение, связывающее:
1) общее число специалистов, занятых в отрасли на данный момент;
2) число потенциальных рабочих, которые могут быть привлечены для работы в рассматриваемой отрасли и которые на данный момент являются безработными;
3) вероятность получения работы по специальности безработным специалистом;
4) вероятность увольнения работающего специалиста в данный момент времени.
Обобщим результаты (Васильев, 2001) на случай двух отраслей экономики. Обозначим N2 (Г) - общее число специалистов, занятых в отрасли I в момент времени Г; N^ (Г) - число потенциальных рабочих, которые могут быть привлечены для работы в отрасли I и которые в момент времени Г являются безработными; Ж^' 1^ (Г) - вероятность того,
что безработный специалист отрасли 1 может найти работу по специальности в отрасли] за период времени [Г, Г + ЛГ];
(к)
Ж2 (Г) - вероятность увольнения работающего специалиста отрасли к за период времени [Г, Г + Л]; 1,], к = 1.2; Г е [0;
В общем случае 1
Ж
(1)
Ф 1, 1, ] = 1, 2.
А1)
Предположим, что в начальный момент времени Г = 0 число специалистов, занятых в отрасли 1, равно N1 0 (Г), а число потенциальных рабочих, которые могут быть привлечены для работы в отрасли 1 и которые в момент времени Г являются безработными, равно N^ (Г), т. е.
№(0) _ МД, 0) _
*' 1
1' 2.
(1)
Используя эти обозначения, после несложных рассуждений получим систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (1), описывающую динамику перераспределения рабочей силы в двух различных отраслях экономики:
^^ _ ^'(ОЖ^ + ^2)(Г)<•>)-<)(Г)Ж21), (2)
а\(Г) _ ^1)(Г)<2) + ^2)(Г)<'2)-
Л^Н Г)
ЛГ
(2)
_ N 11)( Г )Ж 21) - N 21)(Г )Ж 11'1) - < )(Г )Ж 11'2),
^^ _ Ч2)(Г)Ж22) -^^Г^2'1 > - N22)(Г)W(12'2).
Будем считать вероятности Ж^^, Ж^'1 ^ постоянными величинами, 1,1, к = 1, 2 (такое допущение вполне приемлемо с экономической точки зрения). Обозначим
Ж _
Ж 11Л) Ж 12Л) -Ж 21) 0
Ж (11'2) Ж (12 '2) 0 -Ж 22)
-жЦ1' 1 > -<2) Ж 21) 0
-Ж (12 1 > -Ж (12 '2) 0 Ж 22)
(3)
138 СЕМЕНЧИН, ЗАЙЦЕВА
и исследуем задачу (1), (2) на устойчивость (Афанасьев и др., 1998). Рассмотрим характеристическое уравнение
W11'1)- X W12'1) -W 21) 0
W11'2) W12'2) - X 0 -W
-<1) -W11'2) W 21) - X 0
-W12'1) -W12'2) 0 w 22)
(2)
0.
Для уравнения (4) сделаем следующую замену переменных:
- W 22) - W12-2) - W 21) - W11-1) = b, W11' vf-2) + w22)<1) + w21)wf- 2) + w21)w22) - <2)w12- 1) = c, w21) wl1,2 )w12-1) + w22) <2) wf1) - w22) w12-1)2 - w21) <2)2 = d,
-2W21)W22)W(11'2)wf'1) + W21)w22)wf'1) + W21)W(11-2) w22) = e.
Тогда (4) примет вид P^X) = X4 + bX3 + cX2 + dX + e = 0. Запишем матрицу Гурвица:
M и
( d e 0 0 ^ b c d e 0 1 b c 0 0 0 1
(5)
Согласно критерию Рауса-Гурвица многочлен /^(Х) устойчив (а значит, и задача (1), (2) асимптотически устойчива) только тогда, когда все главные диагональные миноры
Д1 = d,
d e b c
d e 0 b c d 0 1 b
матрицы Гурвица Mp удовлетворяют условиям (Афанасьев и др., 1998):
22
Д1 > 0, Д2 > 0, Д3 > 0, т.е. d > 0, dc - be > 0, dcb - d - be > 0
w21)< 2)w12-1) + w22)<2)w12-1) - w22)<2) - w21)<2) > 0, (w21) W11-2 )W(12'1) + w22) W11-2 )W(12'1) - w22) <2)2 - w21) < 2)2)( <1)1 <2) + w22) <1) + + W21)W(12-2) + W21) w22) - W11'2) wf'1)) - (- w22) - wf2) - W21) - W11'1))(-2W21)W22) W11'2) w12-1) +
+ w21)w22)w21-2) + w21) <2) w22))> 0,
(6)
(w21) w 11'2) wf-1) + W22; W11 2; w 1
(2W1-2W2- 1) w(2W2- 1)
w 2' w1
W21)w 11'2))(w 114W12'2J + W22;W11' 1; + w^1'w12'^ +
;/(1,1 )w(2, 2)
(2W1-1)
I/OW2- 2)
+w 21) W 22)-
w 11'2) wf- 1))( - w22; - w12 2; - w21; - w114) - ( w21; w 11 2; w\
A2)
17(2, 2)
(1)
A1'1 К
I^W1-2W2-1)
(2W1-2)W (2-1)
+ w W1
(2)w(2-1 )2
- w 2' w 1
,/(^wd2 )
2 2
,/(2)
;/(2' 2)
(1- 1 k
■A ^w^W1-2 W2-1)
щ^"-' ) - (- Щ - Щ" '- Щ - 0 (-2^2Щ^2Щ +
+ щ 2:)щ 22) щ 121 )2+щ 21} щ 11 2)2щ 22))> 0.
С экономической точки зрения устойчивость (1), (2) означает, что при небольших отклонениях от уровня занятости (1) система через некоторое время снова вернется в начальное состояние. Если же задача (1), (2) является неустойчивой, то даже небольшие отклонения (1) приведут к другому соотношению числа безработных и занятых на производстве в этих отраслях экономики.
2
4
д
3
или
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ САМООРГАНИЗАЦИИ РЫНКА
139
Пример 1. Пусть в системе (1), (2) Ж(/' ^ = 0.9; Ж(/'2} = 0.4; Ж^ ^ = 0.3; Ж^'2} = 0.4; ж2^ = 0.1; ж22) = 0.7. Тогда Д1 = 0.017 > 0, Д2 = 0.01813 > 0, Д3 = 0.00013 > 0. Следовательно, при данных вероятностях многочлен /^(Х) является устойчивым. А значит, задача (1), (2) асимптотически устойчива.
Пример 2. Пусть в системе (1), (2) Ж(/' ^ = 0.5; Ж(/'2} = 0.4; ж[2' ^ = 0.3; Ж^'2} = 0.4; ж2^ = 0.1; ж22) = 0.7. Тогда Д1 = 0.017 > 0, Д2 = 0.01037 > 0, Д3 = -0.01792 < 0. Следовательно, при данных вероятностях многочлен /^(Х) является неустойчивым. А значит, задача (1), (2) асимптотически неустойчива.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Афанасьев В.Н. (1998): Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. Васильев А.Н. (2001): Модель самоорганизации рынка труда // Экономика и мат. методы. Т. 37. < 2.
Поступила в редакцию 14.08.2003 г.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.