ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 1, с. 133-136
ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ САМООРГАНИЗАЦИИ РЫНКА ТРУДА ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ОТРАСЛЕЙ ЭКОНОМИКИ
© 2007 г. Е. А. Семенчин, И. В. Зайцева
(Ставрополь)
Предложенные в (Васильев, 2001; Семенчин, Зайцева, 2004) модели самоорганизации рынка рабочей силы для одной или двух отраслей экономики позволяют проанализировать эффективность принятия тех или иных управленческих решений и спрогнозировать вероятность развития событий на рынке труда. Входящие в данные модели феноменологические параметры открывают возможности исследования влияния на макроэкономические процессы ряда субъективных факторов. В данной работе обобщаются результаты работ (Васильев, 2001; Семенчин, Зайцева, 2004) на случай n различных отраслей экономики.
Обозначим через N(/) (t) - общее число специалистов, занятых в отрасли i экономики в момент времени t; N^ (t) - число потенциальных рабочих, которые могут быть привлечены для работы в отрасль i и которые в момент времени t являются безработными; Yn = 1 (+ N^) = N = = const - емкость рынка рабочей силы; - вероятность того, что безработный специалист от-
расли i может найти работу по специальности в отрасли j за период времени с t до t + dt; W^ -вероятность увольнения работающего специалиста отрасли i за период времени с t до t + dt, i, j = 1, ..., n, t e e [0; (заметим, что в общем случае Yn = i W/'11 Ф 1).
В соответствии с введенными обозначениями имеем систему дифференциальных уравнений, описывающую динамику перераспределения рабочей силы в n различных отраслях экономики:
dNlJ)(t)/dt - Nlj)(t) W2J) YNl°(t) Wf - N2J)(t) Wj'1 N(
(n)
i = 2
n - 1
+
Y - (t) Wln'n);
i = 1
n n n
dN\t)/dt = YNl°(t) W2i) - N1 n)(t)Y W 1 'i) + Yn2i)(t) wI1'1 );
(1)
х)шх = £ N°(х) ^ + £ №( х) ^п) - £ х) ^').
I = 1 I = 1 I = 1
Предполагаем, что в начальный момент времени х = 0 число специалистов, занятых в отрасли I экономики, равно N 0, а число потенциальных рабочих, которые могут быть привлечены для работы в отрасль1 и которые в момент времени х являются безработными, N20, т.е.
N1)(0) = N10, N2)(0) = N0, I, ] = 1, ..., п. (2)
Вероятности ), '11 являются постоянными величинами, I,1 = 1 , ..., п.
n
i = 1
i=1
i=2
n-1
n
n
Так как любая математическая модель заведомо несет в себе погрешность (нельзя учесть все условия работы), то исследование устойчивости является одной из важных процедур в моделировании.
Устойчивость (асимптотическая устойчивость или неустойчивость) системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (2) определяется расположением относительно мнимой оси корней характеристического уравнения (Афанасьев и др., 1998):
Рп (X) = «о + а X + ... + ап Хп = 0, ап = 1, получаемого из характеристического уравнения
аег (ж - XI) = 0
после приведения подобных членов, где I - единичная матрица размера п х п,
(3)
(4)
Ж =
- Ж(1)
о
о
1)
1)
2 о -Ж2).. . 0 1 ж!1'2) 1 -ж!2'2) .. 1 ж!п'2)
о 0 .. . -Ж2п) ж!1' п) ж!2'п) .. -Ж(п'п)
ж21) Ж22) • . Ж2п) - ж/,1) - ... - ж!1'п) 0 .. 0
< ж22) .. . Ж2п) 0 _ж<2'-... - ж!2'п) .. 0
ж21) ж22) .. . ж2п) 0 0 .. - 1 - ... - ж!
( п, п )
Согласно (Афанасьев и др., 1998) характеристический многочлен (3) является устойчивым (асимптотически устойчивым) тогда и только тогда, когда его корни Ху (у = 1, ..., п) имеют неположительную (отрицательную) вещественную часть, т.е. удовлетворяют условию Rе(X/) < 0, Яе(Х7) < 0.
Непосредственное вычисление собственных значений характеристического уравнения при больших п весьма трудоемкий процесс, требующий значительных затрат времени. Поэтому при исследовании на асимптотическую устойчивость решения задачи (1), (2) прибегают к критерию Рауса-Гурвица (Афанасьев и др., 1998).
Для устойчивости (3), а значит асимптотической устойчивости решения (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры
матрицы Гурвица
А1 = аь Л2 =
а1 ао аз а2
' •••,Лп = апЛп-1
МР =
1 п
.о .о
-2 п -12 п-2 ••• п
С экономической точки зрения устойчивость (1), (2) означает, что в соответствии с уровнем занятости (1) при небольших отклонениях от (2) система с течением времени возвратится в начальное состояние. Если же задача (1), (2) является неустойчивой, то даже небольшие отклонения (1) обязательно приведут к другому соотношению числа безработных и занятых на произ-
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
135
водстве в нескольких отраслях экономики. Если система находится в окрестности устойчивой стационарной точки, то имеет место снижение темпов роста безработицы. В противном случае -темпы роста безработицы прогрессируют.
Проанализировав полученные сведения об устойчивых и неустойчивых состояниях рынка труда для п различных отраслей экономики, вполне возможно составить прогноз. Полученный прогноз позволит избежать кризисных состояний на рынке труда.
Пример 1. Проанализируем динамику перераспределения рабочей силы в трех отраслях экономики. Система дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями (2) имеет вид:
dN(11\I) = - I) Ж2!) + £ ^ Ж^ - ^ Ж1'1 ) + М2)( I) Ж?2'1 ) + М3)( ^ Ж?3'1 );
г = 2
dN(12)(I)/dt = t) Ж2!) - N 12)(I) Ж22) + N(13)(I) Ж23) + t) Ж??'2) - N(22)(^) Ж?2'2) + ^3)(^) Ж?3'2); dN(13)( t) /dt = N(11)( t) Ж2!) + N 12)( t) Ж22) - N(13)( t) Ж23) + N21)( t) Ж?1'3) + t) Ж?2'3) - t) Ж?3' 3);
3 3 3
dN21)(t)/dt = £^3)(ОЖ23) - N21)(о£ Ж??' г) + £t)Ж?'1);
г = 1 г = 1 г = 2
33
dN22)(t)/dt = £№(t)Ж?) + N21)(t)Ж??'2) - N22)(t)£ Ж?2'г) + N23)(t) Ж?3'2); = 1 = 1 3 2 3
dN23)(t)/dt = £№(t)Ж*') + £N2)(t)Ж?'3) - £М3)(t)Ж?3'г).
= 1
=1
=1
Тогда получим матрицу коэффициентов системы дифференциальных уравнений (1):
-я21) 0 0 -Я?1'1) Ж?2'1) Ж?3'1)
0 -Ж2) 0 Я?1'2) -Ж?2'2) Я?3'2)
0 0 -я23) Ж?1'3) Ж?2'3) -Ж?3'3)
Ж = Я21) я22) я23) - £ = 1 0 0
Ж?2) Ж2) я23) 0 - £ я!2'0 = 1 0
Я21) V я22) Ж3) 0 0 - £ ж?3' = 1
Пусть в системе (1), (2) заданы:
Ж21) = = 0.1, Ж2): = 0.2, ж23) = 0.3,
Ж?1'!) = 0.3, Ж?1'2) = 0.2, Ж?1'3) = 0.1,
Ж?2'!) = 0.4, Ж?2'2) = 0.1, Ж?2'3) = 0.5,
Ж?3'!) = 0.6, Ж?3'2) = 0.2, Ж?3'3) = 0.3.
Характеристическое уравнение матрицы коэффициентов системы дифференциальных уравнений Ж примет вид:
3
0.1 - X 0 0 -0.3 0.4 0.6
0 -0.2- X 0 0.2 -0.1 0.2
0 0 -0.3- X 0.1 0.5 -0.3
0.1 0.2 0.3 -0.6- X 0 0
0.1 0.2 0.3 0 - 1-X 0
0.1 0.2 0.3 0 0 - 1.1 - X
Получим характеристический многочлен:
Р6 (X) = ^6 + 3.3^5 + 3.87 XV 1.904 XV 0.354 +0.014^ -0.001 = 0, а4 = 1, матрица Гурвица для которого имеет вид:
МР =
Р6
0.014 -0.001 0 0 0 0
1.904 0.354 0.014 -0.001 0 0
3.3 3.87 1.904 0.354 0.014 -0.001
0 1 3.3 3.87 1.904 0.354 0 0 0 1 3.3 3.87 0 0 0 0 0 1
Вычислим главные диагональные миноры матрицы Гурвица: А^ — 0.014 > 0; А2 — 0.007 > 0; А3 — 0.012 > 0; А4 — 0.039 > 0; А5 — 0.106 > 0. Следовательно, при данных вероятностях многочлен Р6(^) является устойчивым, а задача (1), (2) асимптотически устойчива.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Афанасьев В.Н. и др. (1998): Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа.
Васильев А.Н. (2001): Модель самоорганизации рынка труда // Экономика и мат. методы. Т 37. № 2. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. (2004): Математическая модель самоорганизации рынка труда для двух отраслей экономики // Экономика и мат. методы. Т. 40. № 4.
Поступила в редакцию 18.01.2006 г.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.