№ 3
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2013
УДК 536.2
© 2013 г. ЗАРУБИН В.С., КОТОВИЧ А.В., КУВЫРКИН Г.Н.1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В КОМПОЗИТЕ С АНИЗОТРОПНЫМИ ШАРОВЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Построена математическая модель переноса тепловой энергии путем теплопроводности в композите с изотропной матрицей и анизотропными шаровыми включениями одинакового радиуса в предположении хаотической пространственной ориентации главных осей тензора теплопроводности материала включений. Получена оценка эффективного коэффициента теплопроводности такого композита для материала включений, имеющего структуру, соответствующую тетрагональной, гексагональной, триклинной и моноклинной системам кристаллической решетки.
В развитие математической модели переноса в композите с шаровыми анизотропными включениями тепловой энергии путем теплопроводности [1] построен вариант такой модели применительно к включениям одинакового радиуса с хаотической пространственной ориентацией главных осей тензора теплопроводности материала включений с различной структурой кристаллической решетки. Этот вариант модели позволяет получить оценку эффективного коэффициента теплопроводности такого композита.
Математическая модель переноса тепловой энергии в композите построена в предположении, что композит состоит из множества анизотропных шаровых включений в изотропную матрицу, причем в общем случае включения не контактируют между собой, т.е. отделены друг от друга слоем материала матрицы. Это предположение соответствует условию сравнительно малой объемной концентрации Сг включений.
Сначала рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятого анизотропного шарового включения радиусом Я с неограниченным объемом окружающей его изотропной матрицы, принимая условия теплового контакта идеальными. Тензор теплопроводности материала включения имеет компоненты Ху, г, у = 1,2,3, определенные в прямоугольной декартовой системе координат Ох1 х2х3 с началом в центре включения, коэффициент теплопроводности материала матрицы обозначим через 1*. Значения
и X* будем считать заданными. Поскольку тензор теплопроводности является симметричным тензором второго ранга [2], преобразованием координат он может быть приведен к взаимно ортогональным главным осям, которым соответствуют действительные главные значения Л1, Л2 и Л3 этого тензора [3].
Установившееся распределение температуры Т*(х1, х2, х3) в матрице должно удовлетворять уравнению Лапласа в виде Т * = 0 (запятая с последующими двумя нижними индексами г у обозначения Т температуры означает вторую производную по координате х, а повторение одинаковых латинских индексов указывает на суммирование
'МГТУ им. Н.Э. Баумана.
этих производных по всем трем координатам). Уравнение, описывающее установившееся распределение температуры Т°(хъ х2, х3) во включении, имеет вид [4, 5]
=0 (!)
(здесь и далее использовано правило суммирования по повторяющимся латинским индексам, запятая перед которыми означает операцию дифференцирования по соответствующей координате).
Примем, что на весьма большом расстоянии от включения составляющие градиента установившегося распределения температуры в матрице по направлениям координатных осей Ох,- равны, соответственно, О. Тогда непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнению Лапласа удовлетворяет решение [5]
Т * = О1х1 + Щ-, (2)
г
где г2 = х,х,. Температура в центре шарового включения должна быть ограничена. Поэтому решение уравнения (1) будет линейной функцией координат
Т° = О°х1. (3)
Шесть постоянных В1 и О°, входящих в (2) и (3), определим из условий идеального теплового контакта включения и матрицы
Т"т / ^ ^ ^ \ гт-1г\ / ^ ^ ^ \ Л ч!> тт ^ л тт О г\ / А \
Т (х*, х*,х*) = Т °(х*,х*, х3), Л* Т щ = щ = 0, (4)
выполняемых при любом сочетании значений х-*, удовлетворяющих уравнению
х,х, = Я2 сферической поверхности включения. Во втором равенстве (4) п, = х*/Я — направляющие косинусы по отношению к координатным осям Ох- нормали к поверхности включения в точках этой поверхности с координатами х*. Подстановка (2) и (3) в первое равенство (4) приводит к условию
О + В1 /Я3 - О°)х* = 0. Это равенство можно трактовать как проекцию некоторого вектора а с неизвестными,
но постоянными координатами О, + Bi/Я3 - О° на произвольное направление единичного вектора п нормали к сферической поверхности включения. Существует множество направлений нормали, лежащих в плоскости, перпендикулярной вектору а, и для них полученное равенство является условием ортогональности векторов а и п, допускающим отличие а от нулевого вектора. Но для множества направлений, не лежащих в этой плоскости, проекция вектора а на направление единичного вектора п также равна нулю, откуда следует, что а равен нулевому вектору. Поскольку первое множество по отношению ко второму является множеством меры нуль [6], все координаты вектора а должны быть равны нулю, что позволяет записать
В1 = (О°- О,)Я3. (5)
После подстановки соотношений (2), (3) и (5) во второе равенство (4) получим
( с ° * ^
г° (О° - Ок)хк ^ Я 2
щ = 0.
Это условие в силу рассуждений, аналогичных проведенным выше, будет выполнено, если
х*в° - зх* ° Ок)х*к х* - х ° = 0. Я2
Умножим полученное равенство на хк, с учетом правила суммирования по повто-
1ющимся латинским ин лопроводности запишем
ряющимся латинским индексам равенства х*х* = Я2 и симметричности тензора теп-
{ХуО° + 2Х*0° - 3Х*0,)х'к = 0. Отсюда получим
0° = 3Х*(Ху + 2Х*5у Т101, (6)
где 8у — символ Кронекера (8 ¡у = 1 при , = у и 8 ¡у = 0 при , ^ у). Подставив соотношение (6) в равенство (5), найдем
в /Я3 = (Хк + 2Х*8к) (Х*5 ку - х ку)0у. (7)
При отсутствии включения распределение температуры будет линейным, описываемым соотношением Т0к = 0,х¡. Наличие включения вызывает возмущение темпера-
з
турного поля в матрице, которое, согласно (2), равно АТ * = В¡х^г . Пусть N шаровых включений радиусом Я с хаотической ориентацией главных осей тензора теплопроводности находятся в объеме, ограниченном сферической поверхностью радиусом Я^
з
Поскольку объем каждого включения равен 4пЯ /3, концентрацию включений в указанном объеме можно определить
Су = ЫЯЪ/Я1. (8)
В точке с координатами удаленной на весьма большое расстояние от каждого из включений в рассматриваемом объеме, включение с номером п = 1, N вызовет в матрице возмущение температурного поля АТпк = В^х, /г3, где в соответствии с (7)
В(п = + 21Ч1к)~\х*8ку
где Х(п> — компоненты тензора теплопроводности включения с номером п с учетом конкретной ориентации главных осей этого тензора относительно координатных осей Ох,-. Тогда суммарное возмущение температурного поля в этой точке, вызванное N включениями, будет
АТ*= Я
3 ( N \
I с (п)
Vп = 1
0ухь (9)
где ^ = + 2Х*8,к)~1(Х*8ку -
Ориентация главных осей тензоров теплопроводности с компонентами Х1 может быть либо случайной (хаотической), либо определенным образом упорядоченной. При хаотической ориентации для достаточно большого числа N включений можно считать, что любое расположение главных осей равновероятно, а шар радиусом с объемной концентрацией Сг анизотропных включений можно рассматривать в качестве представительного элемента изотропного композита с искомым значением эффективного коэффициента теплопроводности X, не зависящего от направления.
Шар радиусом должен с учетом формулы (7) при замене в ней компонентов Х,к на компоненты '5,к и Я на Ям создать в той же весьма удаленной точке с координатами такое же возмущение температурного поля
дТ* = О1х1 Язз А* — А (10)
Е г3 А + 2А*' ( )
Приравнивая правые части формул (9) и (10) и представляя в (10) О,х, в виде 5уОухг, получаем
N \
О,х, = 0.
Я3 X* - х г — V гП г3 х + 2Х* - г3 У
п = 1
Отсюда при произвольной величине ОjXi следует
_ _ N
1* -1 О = ^ ^ ^(п)
г3 1 + 21* У = г3
п = 1
После умножения обеих частей этого равенства на 8у и суммирования по повторяющимся индексам у = 1,2,3 с учетом формулы (8) запишем
_ А* -X Х + 2Х*
где
= С Су,
С = ^5 у = (Хт + 2Х*8т)-\Х*8 к,- X к,) (11)
является первым (линейным) инвариантом тензора второго ранга с компонентами ^у"1, не зависящим от выбора ориентации координатных осей. В итоге находим
^ = А = 1 - 21Су/3. (12)
1 + ССу /3
В частном случае изотропных шаровых включений Ху = Х°5у и тогда ^ = = 3(Х* - + 2Х*), что после подстановки в (12) приводит к полученному в [1] со-
отношению
- 2 + А- 2 (1 -Г) Су
А =-_ / _/ у , (13)
2 + А + (1 -Г )Су
где X = Х°/Х*. Соотношение (13) совпадает с известной формулой Максвелла [5] для гранулированной среды, состоящей из изотропной маточной породы и включений в виде изотропных шаровых гранул. Это совпадение можно считать косвенным подтверждением корректности использованной выше процедуры получения формулы (12).
Следует отметить, что применительно к композиту с шаровыми включениями одинакового радиуса Я реально достижимое значение Су <1. Даже в случае предельно плотной упаковки таких включений, допускающей непосредственный контакт между
ними, С* = п/(3^/2) « 0,7405 [7]. При такой упаковке возникают пустоты двух видов: тетраэдрические, каждая из которых окружена четырьмя включениями с центрами в вершинах правильного тетраэдра с длиной ребра 2Я, и октаэдрические, каждая из которых окружена шестью включениями с центрами в вершинах октаэдра с той же длиной ребра. В этих пустотах уже не удается поместить включение радиусом Я и приме-
нительно к композиту они могут быть заполнены лишь материалом матрицы. Поэтому данная модель композита сохраняет смысл лишь при условии Су < С*.
Вычисление по (11) значения ^ для конкретного материала анизотропного включения удобнее провести для случая, когда главные оси тензора теплопроводности этого материала совпадают с координатными осями Ох,-. Тогда вместо формулы (11) получим
т X* -А, X* -Л 2 X* -Л 2
С =-L +-^ +-(14)
2Х* + Л, 2Х* + Л 2 2Х* + Л3
При возможном изменении главных значений тензора теплопроводности от весьма больших до весьма малых по сравнению со значением X* коэффициента теплопроводности материала матрицы параметр ^ возрастает в промежутке от —3 до 1,5. На рисунке приведены построенные по форму
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.