СУДОСТРОЕНИЕ 1'2014
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ СУДОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ПОДГОТОВКЕ ПРОИЗВОДСТВА К РАЗДЕЛКЕ СУДОВ НА ЛОМ
С. В. Студнев, Е. Г. Бурмистров, докт. техн. наук, e-mail: burmistrov_e_g@mail.ru (ФБОУ ВПО «Волжская государственная академия водного транспорта») удк 629.5.083.5
Подготовка производства к разделке на лом морально и физически устаревших судов представляет собой довольно сложную задачу. В настоящее время отсутствуют методологические принципы разделки судов на лом, используется в основном тяжелый ручной труд, привлекаются неквалифицированные кадры, имеет место высокая трав-моопасность работ [1].
Разделываемые суда весьма разнообразны по архитектурно-конструктивным типам, наличию и протяженности цилиндрической вставки, сложности обводов корпуса и т. д. Это серьезно усложняет подготовку производства к разделке судов, в частности затрудняет необходимые обоснования требуемого материального, технического и энергетического обеспечения, сроков разделки, ее себестоимости и др. Многие из этих показателей основываются на значении показателя общей длины ре-за, который для каждого конкретного проекта судна должен определяться индивидуально. Для определения общей длины реза необходимо знать площадь разделываемой судовой поверхности. При наличии общепроектной документации по судну это обычно не вызывает затруднений. Однако во многих случаях техническая документация по утилизируемому судну частично либо полностью утрачена, и соответствующие обоснования представляют определенную проблему.
Ее решение видится в разработке на этапах конструкторской и технологической подготовки производства 3D-модели судовой поверхности разделываемого судна с последующим определением на ее основе суммарной длины реза. Специализированное программное обеспечение для воспроизведения судовой поверхности с существующего корпуса на сегодняшний день фактически отсутствует.
На современном этапе для этих целей могут быть использованы существующие САПР: AVEVA, Nupas Cadmatic, Sea Solution, CATIA и др. Однако их использование возможно только для разделываемых судов, для которых сохранились теоретические
чертежи их корпусов. Это лишний раз подчеркивает актуальность разработки не только научных основ и методологических принципов утилизации судов, но и проработки многих инженерных решений, в том числе: разработки баз данных по корпусам судов, технологии их разделки и утилизации, применяемому оборудованию, разработки программных комплексов, обеспечивающих автоматизированный расчет общей длины реза, потребности в энергетическом и материально-техническом обеспечении, выполнение расчетов трудоемкости и себестоимости работ и т. д.
Решение перечисленных задач осложняется отсутствием на сегодняшний день проблемно-ориентированного математического описания, которое можно было бы использовать для воспроизведения сложной судовой поверхности (если нет исходной проектной документации) и, в дальнейшем, для автоматизированного выполнения всех специальных расчетов.
Требуемое техническое и ресурсное обеспечение процесса судоразделки осуществляется на основе численного значения общей длины реза. Однако для расчета самого этого показателя необходимо точно знать площадь разделываемой судовой поверхности. Определить площадь поверхности можно с использованием известных математических методов. Но, если для определения площади судовой поверхности в районе цилиндрической части корпуса применимы простейшие математические методы, то для оконечностей корпусов судов задача усложняется, так как оконечности, как правило, имеют сложные лекальные обводы.
Известно несколько форм представления сложных поверхностей [2—5]: явная, неявная и параметрическая. Явная форма подразумевает наличие уравнения или системы уравнений, которые имеют в левой части зависимую переменную, а в правой — функцию независимой переменной. Для описания поверхности в явном виде используют явную функцию от двух независимых переменных.
СУДОСТРОЕНИЕ 12014 СУДОРЕМОНТ И УТИЛИЗАЦИЯ
Рис. 1. Объекты судоразделки
Неявное представление математической кривой может задаваться в виде явной или неявной функции. В случае, когда речь идет о плоской кривой, явное непараметрическое представление будет иметь вид: у = f(x) [2] Для представления кривой в пространстве необходима система уравнений, определяющих поверхности, пересечение которых образует кривую — это весьма затрудняет процесс представления кривой в пространстве.
Параметрическая форма представления наиболее удобна для использования в компьютерной графике. Ее суть состоит в том, что кривая в пространстве описывается совокупностью функций одной переменной, а поверхность — совокупностью функций двух независимых переменных. При этом функции, как правило, выбираются в виде полиномов. Параметрическая форма позволяет легко манипулировать функциями, вычислять производные для достижения гладкости кривых и поверхностей. Поэтому именно параметрическая форма представления кривых и поверхностей получила широкое распространение в системах моделирования и компьютерной графики. Именно такая форма представления наи-
более перспективна и при построении криволинейных поверхностей оконечностей судов и воспроизведении их сложных лекальных обводов. Как указывалось выше, воспроизведение поверхности корпуса разделываемого судна в программах трехмерного моделирования для определения основных параметров судоразделки может осуществляться с применением теоретического чертежа.
Для управления гладкостью кривых и поверхностей в местах соединений сегментов интерполяционных кривых удобно воспользоваться методом Эрмита [2]. То есть задавать в начальной и конечной точке сегмента значения производных (рис. 2).
Для описания производной можно использовать полином третьей степени:
Р(и)=[х(и) у(х) ^(и)]=
к Т к=0 °ки = и а .
(1)
векторные коэффициенты, и — параметр уравнения (0 < и < 1).
Формула (1) представляет собой кубическое параметрическое уравнение, которое описывает сегмент кривой, где а0, а1, а2, а3 — это
а =
ит = [1 ии2 и3], ак
. (2)
При использовании формы Эрмита [4] требуется использовать для каждого сегмента две опорные точки и задавать для каждой из них значения производных, то есть:
Со = С(0) = ао; С1 = С(1) = ао + а1 + а2 + а3; С0= с(0) = а1; С] = С(1) + а1 + 2а2 + 3а3. Или в матричном виде:
(3)
"С (0)" "1 0 0 0 " а0
С (1) 1 1 1 1 а1
С(0) 0 1 0 0 а2
-С(1)_ -0 1 2 3 _ -а3-
(4)
а
а
а
3
2
= а0 + а1и + а2и + а3и3 =
СУДОРЕМОНТ И УТИЛИЗАЦИЯ
СУДОСТРОЕНИЕ 1'2014
Если обозначить через q матрицу имеющихся данных, то решение уравнения (3) запишется как:
a = Mq, где q =
C (0) C(1)
c(0)
en:
M=
(5)
1 0 0 0 0 0 1 0 -3 3 -2 -1 2 -2 1 1
Матрица М и будет являться базисной матрицей Эрмита применительно к описанию геометрии судовой поверхности. Подставив найденные значения коэффициентов а в уравнение (1), можно получить представление полиномиальной кривой в форме Эрмита.
С(и) = аит = Mquт = (uтM)q = Ь(и)^ ,(6)
где Ь(и) = Мти — матрица функции смешивания, которая характеризует вклад, вносимый в форму кривой опорными точками.
Для представления Эрмита функции смешивания имеют вид:
2и3 - 3и2 + 1 -2и3 + 3и2 u3 - 2u2 + u
b(u) = MTu =
(7)
Используя уравнения (1), (6) и (7), часть судовой поверхности в форме Эрмита можно представить следующим образом:
С(и, Г) = Е3=о4оЬ;(и)(г)я;., О = ^ ,(8)
где О — представляет собой набор данных, определяющих участок поверхности, аналогично тому, как q представляет сегмент кривой (5).
Начальным этапом создания формы шпангоута является расположение точек на плоскости, по которым и строится кривая, обозначающая шпангоут. Точность построения зависит от количества точек. Координаты точек можно опреде-
В,» = ■
/!(п - /)!
■ и' (1 - u)n-
(9)
С(и) = !П=о-и"(1 - и)""1 Р .(10)
Я(п - /)
Уравнение (10) показывает, что при наличии (п + 1) опорной точки можно получить степень кривой п. Таким образом, степень кривой Бе-зье определяется количеством опорных точек.
Форма представления кривых Безье позволяет вычислять первую производную по формуле:
Рис. 2. Определение криволинейного элемента в форме Эрмита
лить по теоретическому чертежу или чертежу практического корпуса. Математический аппарат современных САПР судов допускает оперативную корректировку пространственного расположения точек. Вводя в расчетные блоки САПР данные корректировок и используя возможности, например Flow Vision, можно точно описать форму любой лекальной поверхности независимо от ее кривизны.
Аналогичного эффекта можно добиться при использовании известной формы Безье [3]. В отличие от формы Эрмита форма Безье не предусматривает задания производных, при этом допуская возможность активного управления гладкостью кривых, а соответственно и поверхности. В этой форме применяется аппроксимация векторов касательных (рис. 3), что позволяет использовать для задания кривых Безье только опорные точки без производных. То есть для изменения формы кривой можно манипулировать четырьмя опорными точками, изменяя их положение, тем самым корректируя форму кривой [5].
Форма представления кривой Безье использует в качестве функции смешивания полином Берн-штейна. Применительно к описанию судовой поверхности его можно представить следующим образом:
dC(u) du
=пх:
(п -
/!(п - 1 - /)!
■u41 - u)n"1_i ai, (11)
где а. = С.+1 - С можно рассматривать как опорные точки.
Тогда уравнение (10) опишет кривую Безье, заданную этими точками.
Вторая производная определится следующим образом:
¿2С(и) "-2 (п - 2)!
-= п( п— 1) X-и!(1 - и)"-2-' Ь. .(12)
¿и2 ¡=о ¡!(п - 2 - ¡)!
С учетом отмеченного поверхность Безье применительно к описанию судового корпуса получится путем расширения концепции кривой Безье на два измерения:
п
С(и, Г) = X {С.,оВо,т(г) +
+ CВ (f) + ...C В (f)}B, (u) =
i,1 1,m* ' i,m m,m* 'J 1,nx '
(13)
= X X С.В. (f) В. (u) ;
i=0 .=0
Применяя функцию смешивания (9) к опорным точкам, можно получить уравнение кривой Безье применительно к судовой поверхности:
(0 < и < 1 ; 0 < Г< 1).
Изложенные выше формы представления кривых и плоскостей
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.