БИОЛОГИЧЕСКИЕ МЕМБРАНЫ, 2013, том 30, № 2, с. 115-127
УДК 577.3+539
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯЦИИ ОБЪЕМА ЭРИТРОЦИТА ЧЕЛОВЕКА С УЧЕТОМ УПРУГОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ОБОЛОЧКИ ЭРИТРОЦИТА НА ОБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
© 2013 г. Н. В. Калягина1*, М. В. Мартынов2, Ф. И. Атауллаханов2-4
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5;
*электронная почта: nadezhda_kalyagina@mail.ru 2Гематологический научный центр МЗ РФ, 123167, Москва, Новый Зыковский пр., 4 3Центр теоретических проблем физико-химической фармакологии РАН, 119991, Москва, ул. Косыгина, 4 4Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, 119991, Москва,
Ленинские горы, 1, стр. 2 Поступила в редакцию 13.06.2012 г.
Математическая модель регуляции ионного обмена и объема эритроцитов человека дополнена в настоящей работе биомеханической моделью оболочки эритроцита. С помощью построенной модели проанализировано влияние упругих свойств оболочки эритроцита на его объем в экспериментах, где объем эритроцита увеличивался вследствие образования ионных каналов в мембране после обработки амфотерицином В и в случае помещения эритроцитов в гипоосмотическую среду. Показано, что при деформировании эритроцита с сохранением постоянной площади поверхности вплоть до сферического состояния влияние механических свойств оболочки на регуляцию объема пренебрежимо мало по сравнению с влиянием ионного обмена. Дальнейшее осмотическое набухание эритроцита, сопровождаемое увеличением площади его поверхности, определяется жесткостью на растяжение оболочки. Высокое значение жесткости на растяжение, свойственное оболочке эритроцита, является сдерживающим фактором для изменения его объема и воздействует на ионный обмен.
Ключевые слова: эритроцит, объем, механические свойства оболочки, математическая модель.
Б01: 10.7868/80233475513010052
Существует ряд моделей, которые описывают процессы регуляции ионного обмена и объема эритроцитов [1—6]. Основное внимание в этих работах уделено биохимическим и электрохимическим процессам, влияющим на регулирование объема. Показано, как система ионных насосов и каналов в мембране клетки (№+,К+-насос, Са2+-активируемые К+-каналы) обеспечивает заданный объем клетки и его стабилизацию. Одной из основных систем клетки, участвующих в поддержании постоянного объема, является асимметрия в распределении концентраций ионов внутри и вне клетки. Создаваемое обменными процессами осмотическое давление в эритроците вызывает деформацию оболочки. Можно предположить, что сама оболочка способна на механическую реакцию, влияющую, в свою очередь, на обменные процессы и изменение объема. Поскольку воздействия упругих свойств оболочки эритроцита на указанные процессы не исследовали, представляет интерес количественно оценить эти воздействия.
Для решения поставленной задачи составлена система уравнений, определяющих изменение объема эритроцита в зависимости от обменных процессов. Система уравнений включает пассивные потоки ионов и поток воды. Составлено уравнение для учета упругого воздействия оболочки на обменные процессы и изменение объема эритроцита. Упругая реакция оболочки представлена в уравнении потока воды в виде реактивного воздействия — давления со стороны оболочки на объем воды, поступающий в эритроцит. Величина давления определяется при помощи биомеханической модели, разработанной ранее [7-9].
Решение системы уравнений позволяет учесть взаимодействие всех процессов при вычислении изменения объема эритроцита и кинетики ионного обмена. Система уравнений была применена для проведения численных экспериментов для следующих случаев:
— увеличение объема эритроцита при образовании ионных каналов в мембране после обработки эритроцитов амфотерицином В (АтВ) и
115
3*
вызванного этим увеличения проницаемости для ионов;
— увеличение объема эритроцита в норме и эритроцитов, содержащих 80% полимерной фракции гемоглобина, при уменьшении осмо-тичности среды.
В результате решения системы уравнений получены кинетические зависимости концентраций ионов, объема эритроцита, трансмембранной разности потенциалов. С целью определения степени влияния упругого воздействия оболочки эритроцита на обменные процессы проведено сопоставление результатов вычислений с учетом и без учета реакции оболочки.
Результаты численных экспериментов совпадают с экспериментальными данными.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
= Р/На-
(р I Л Т
ехР IФТ - '
х ([На+ ]е - [На+ ]■ехр(II)).
Здесь Р^ и Рк — проницаемости мембраны эритроцита для ионов натрия и калия, соответственно; ф — трансмембранная разность потенциалов; Р — число Фарадея, Я — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура. Индексы / и е обозначают внутри- и внеклеточные концентрации соответственно. Разность потенциалов ф — на мембране эритроцита вычисляется по формуле [11]:
Л Т
Ф =--1п
Т I
' Рщ [ На+ ]■ + Рк [ К+ ]■ + Ра[ С1- ] е' IРк а [ На+ ] е + Рк [ К+ ] е + Рс- [ СГ ] ■
. (5)
Ионный обмен и регуляция объема эритроцита
Описание ионного обмена и регуляции объема эритроцитов человека, использованное в настоящей работе, основано на ранее опубликованных математических моделях [3, 6, 10]. Основной вклад в регуляцию объема эритроцитов человека вносят катионы калия и натрия, а также анионы
хлора и НС О—. Кинетика внутриклеточных концентраций калия и натрия описана в модели следующими уравнениями, которые учитывают активный транспорт этих катионов На+,К+-АТР-азой и пассивный поток через мембрану по градиенту концентрации:
¡г
[ к+
¡г
[ На+
V
V
= 2 ^а.К-АТРаэе + 7К,
= -3 ^На,К-АТРа8е +
(1)
(2)
где V и У0 — текущее и физиологически нормальное значение объема эритроцита, У0 = 92 мкм3; уНа,К-АТра5е— скорость потребления АТР На+,К+-АТР-азой; /К и /На обозначают пассивные потоки калия и натрия через мембрану эритроцита, описанные в приближении Гольдмана [10]:
•к = Р/к-
Ф I Л Т
ехР I фТ) - 1
[К+ ]е - [К+ ]■ ехр[ЛТт,
, (3)
Уравнение (6) описывает электронейтральность внутриклеточного содержимого эритроцита:
[На+ ]■ + [К+ ]■ - [С1—]■ + У?]■ = 0.
(6)
Здесь [Ф^/ — суммарная концентрация молекул большого радиуса, непроникающих через мембрану эритроцита (гемоглобин, интермедиаты гликолиза и т.д.), Z — средний заряд этих молекул, Z = —0.7 [3, 6, 10]. Для учета процесса водного обмена и кинетики объема эритроцита можно использовать стандартный феноменологический закон для транспорта воды через полупроницаемую мембрану [12] согласно уравнению:
КЭ = ^
(7)
где поток воды /н О пропорционален осмотическому давлению АР, равному разности осмотических давлений внутри и снаружи мембраны:
• = РА у АР
•н2О = У- у^оЛТ
(8)
Здесь Р/ [см • с-1] — осмотическая проницаемость мембраны для воды, А — площадь мембраны эритроцита, А = 142 мкм2 [7], ун О — молярный
объем воды, ун О = 0.018 л/моль. Значение АР,
согласно уравнению Вант-Гоффа, пропорционально разности концентраций АС осмотически активных ионов внутри и снаружи мембраны эритроцита:
АР = Л ТА С.
(9)
х
Таким образом, уравнение (8) можно записать в виде:
Т — P'A л Г1
JH2O - ~ТГ VH2OAC,
где
AC - [Na+ ], + [K+ ], + [Cl-], + [WZ]i-
(10)
(11)
- [ ]е - [ К+ ]е - [ СГ ] е - [ ]е.
Допущение о неизменности концентраций ионов вне клетки увеличивает погрешность расчета, необходимо также учитывать изменения концентраций ионов как внутри, так и вне клетки. В эксперименте эритроциты находятся в замкнутом объеме, поэтому целесообразно использовать закон сохранения вещества, т.е. расчет концентраций ионов внутри ([С],-) и вне ([С]е) клетки производится в текущий момент времени согласно
уравнению: [C]eVe +
V>
V[C]i = const. Таким
образом, рассчитав значение [С],-, можно определить значение [С]е по формуле:
[C]е - [C]ер +
Vo - V
Vo
WHto([C]io - [C]iV). (12)
V/V0
0 2 4 6 8 10
1000 2000 3000 4000 5000 APr, Па
Здесь [С]е и [С]е0 — текущая и начальная концентрация этого вещества во внеклеточной среде соответственно; Ш0 — гематокрит суспензии (отношение занятого эритроцитами объема к общему объему суспензии) в начальный момент времени. У0 и Уж — нормальный объем эритроцита и объем, занимаемый крупными молекулами эритроцита, равный У^гх 0.3 У0. Объем воды при этом составляет ~0.7К0 [7, 12].
Рис. 1. Зависимость относительного объема эритроцита У/У, от внутреннего давления АРГ согласно биомеханической модели [8, 9]. В точке С эритроцит принимает форму сферы.
личины (характерное время вязкоупругих процессов составляет 0.2—1 с [7, 13]). При деформировании оболочки эритроцита имеют место вяз-коупругие процессы [7, 13], протекающие во времени, которые приводят, например, к восстановлению первоначальной формы эритроцита, подвергшегося деформации. Так, в работах [7, 13] вязкоупругие процессы изучались в экспериментах с микропипеточной аспирацией: эритроцит втягивался в микропипетку и после снятия нагрузки восстанавливал свою первоначальную двояковогнутую форму. Поскольку характерное время вязкоупругих процессов меньше, чем время рассматриваемых обменных процессов, можно предположить, что изменение объема эритроцита происходит мгновенно, и для расчета У можно использовать зависимость ДРГ = /(У/У0), полученную с помощью биомеханической модели. Тогда уравнение (10) будет иметь вид:
J
HO
- Ph2oVh2o(ac - AT, (13)
Влияние упругих свойств оболочки эритроцита на регуляцию объема.
Благодаря способности сопротивляться деформированию, оболочка эритроцита должна оказывать воздействие на процесс осмоса в виде реактивного давления ДРГ, которое приложено к объему воды, заключенному в эритроците. В самом деле, если представить, что оболочка эритроцита не деформируема, реактивное давление равно ДРГ = —КГДС, тогда согласно уравнению (8) вода не будет поступать внутрь оболочки, и объем эритроцита остается неизменным. На самом деле оболочка деформируется, поскольку обладает упругими свойствами. Биомеханическая модель дает зависимость относительного объема эритроцита У/У0 от внутреннего давления ДР, которая определяется механическими свойствами оболочки [7—9] (Приложение 1). Следует заметить, что расчет объема эр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.