научная статья по теме МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИОДНОМЕРНОЙ ГЕМОДИНАМИКИ Математика

Текст научной статьи на тему «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИОДНОМЕРНОЙ ГЕМОДИНАМИКИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 8, с. 1417-1428

УДК 519.634

Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИОДНОМЕРНОЙ

ГЕМОДИНАМИКИ

© 2015 г. А. Я. Буничева, С. И. Мухин, Н. В. Соснин, А. Б. Хруленко

(119992 Москва, Ленинские горы, ВМК) e-mail: vmmus@cs.msu.ru Поступила в редакцию 02.03.2015 г.

Представлены ранее не опубликованные результаты исследований, проводившихся под руководством профессора А.П. Фаворского на кафедре вычислительных методов факультета ВМК МГУ. Рассмотрены вопросы обоснования и реализации квазиодномерного приближения для математического моделирования гемодинамики. Библ. 5. Фиг. 5.

Ключевые слова: гемодинамика, квазиодномерное приближение, разностная схема, аналитическое решение, компьютерный симулятор, разностный метод решения.

DOI: 10.7868/S0044466915080062

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование кровообращения человека представляет собой сложную и актуальную проблему современной медицины и математики, имеющую высокую как фундаментальную, так и прикладную значимость. Интерес к этой тематике возрос в конце 90-х годов прошлого столетия в связи с появившимися возможностями вычислительной техники и необходимостью применять методы математического моделирования в фундаментальных физиологических исследованиях и фармакологическом производстве.

В 1995 году начались первые контакты сотрудников факультета фундаментальной медицины МГУ (декан факультета фундаментальной медицины профессор О.С. Медведев) и кафедры вычислительных методов факультета ВМК (заведующий кафедрой академик А.А. Самарский, ученый секретарь кафедры доцент А.В. Лукшин) по этой междисциплинарной тематике. Достаточно быстро сформировалась совместная рабочая группа из сотрудников двух структурных подразделений МГУ, в которой решение возникающих вопросов по физиологии кровообращения курировал профессор В.Б. Кошелев (факультет фундаментальной медицины), а вопросы математического моделирования курировал профессор А.П. Фаворский (факультет ВМК). А.П. Фаворский с первых дней с присущим ему заразительным энтузиазмом включился в работу по этой новой для кафедры вычислительных методов тематике сам и сумел к этой работе привлечь большую группу сотрудников и аспирантов кафедры вычислительных методов. Авторы данной статьи, продолжающие работы А.П. Фаворского по математическому моделированию кровообращения, с большой теплотой и удовольствием вспоминают прошедшие годы совместной с ним плодотворной работы.

Среди работ по математическому моделированию кровообращения наиболее часто встречающимися за все прошедшие годы являются работы по моделированию многомерного потока крови в выделенном сосуде (в основном аорте или каротидной области сосудов головного кровообращения), стенки которого поражены тем или иным заболеванием. В таких работах значительное внимание уделяется изучению течения крови при наличии стенозов, образовании бляшек, тромбов, описанию течения крови в областях бифуркаций сосудов, моделированию процесса лечения. Достаточно большая библиография по этому вопросу содержится в [1].

Однако не менее сложна и актуальна проблема моделирования системы кровообращения в целом. Даже принципы такого моделирования и в наши дни все еще являются предметом обсуж-

дений и исследований. Наиболее перспективным в области комплексного моделирования сосудистой системы является, по нашему мнению, гибридное разномасштабное моделирование на основе квазиодномерного описания сосудистой системы с использованием уравнений в частных производных. Такие модели являются наиболее сложными как с точки зрения создания физиологически адекватных и приемлемых по сложности моделей, так и с точки зрения решения получаемой математической задачи.

Выбрав именно это направление в своей деятельности, исследовательская группа под руководством А.П. Фаворского за прошедшие годы смогла разработать и развить как методы однородного квазиодномерного описания замкнутой сосудистой системы кровообращения, так и создать иерархическую последовательность моделей отдельных частей системы кровообращения, органов сопряженных с ней и систем ауторегуляции кровообращения.

Для моделирования течения крови в сети сосудов решено было использовать квазиодномерное приближение, которое предполагает описание течения крови локальным давлением, скоростью и круговым сечением сосуда. Эти величины считаются зависимыми от времени и пространственной координаты, направленной вдоль оси сосуда. Квазиодномерная модель, описывающая движения крови в сосуде, обычно включает в себя три уравнения. Два уравнения выражают законы сохранения (закон сохранения массы крови и закон сохранения количества движения). Эти уравнения не зависят от физиологических свойств конкретного сосуда. В качестве третьего уравнения обычно используют соотношение, связывающее площадь поперечного сечения сосуда и трансмуральное давление (разница давлений внутри и снаружи сосуда) в сосуде. Именно в этом уравнении, которое называют уравнением состояния, учитываются все свойства, присущие данному типу сосуда.

Применение квазиодномерного приближения позволяет ставить и численно решать гемоди-намические задачи на достаточно разветвленной сети сосудов системы кровообращения (графе сосудов), как замкнутой, так и разомкнутой.

Описание системы сосудов на базе квазиодномерных моделей позволяет, в случае необходимости, совмещать его с двух и трехмерными моделями. Это особенно существенно, если требуется детально исследовать локальную гемодинамическую пространственную картину течения (например, в выделенном сосуде), "встроенную" в общую структуру кровообращения.

Правильное воспроизведение скорости кровотока по сосудистой сети предоставляет возможность моделировать распространение различных веществ в полной сердечнососудистой системе или ее выделенной части и влияние этих веществ на гемодинамику в целом. Например, воспроизводить в вычислительном эксперименте перераспределение содержания кислорода в крови, ферментов, лекарственных препаратов и прочего.

В процессе выполнения работ по математическому моделированию кровообращения авторскому коллективу под руководством А.П. Фаворского удалось решить последовательность следующих задач:

— сопоставление сердечно-сосудистой системе графа сосудов кровеносной системы, задание физиологических параметров сосудов (используя уравнения состояния различных типов сосудов);

— разработка моделей органов, влияющих на работу системы кровообращения (сердце, ткани, почки, кишечник);

— разработка модели системы регуляции кровотока, модели переноса веществ течением крови и соответствующих методов их численного расчета;

— разработка однородного алгоритма расчета течения вязкой несжимаемой жидкости по системе эластичных трубок в квазиодномерном приближении;

— практическая реализация этого алгоритма в расширяемом (за счет возможности включения новых моделей и процессов) программном комплексе;

— построение в линейном приближении формульного описания процесса распространения пульсовых волн давления и скорости на произвольном графе сердечно-сосудистой системы;

— получение в вычислительном эксперименте физиологически верной картины течения крови в кровеносной системе и использование ее в дальнейшем как базовой;

— проведение вычислительных экспериментов в интересах практической и фундаментальной медицины.

В данной публикации авторы приводят исходную формулировку задачи для квазиодномерных уравнений гемодинамики. Обсуждаются вопросы существования и единственности решения уравнений квазиодномерной гемодинамики.

Приведем полный вывод уравнений гемодинамики на основе законов сохранения массы и

Сосуды будем считать достаточно протяженными по сравнению со своими поперечными размерами (диаметром), что позволяет использовать для описания течения крови квазиодномерное приближение.

В качестве пространственной координаты х выберем длину дуги (оси сосуда), проходящей через центры круговых сечений сосуда.

Пусть S(x, I) — площадь поперечного сечения сосуда, зависящая от координаты х и времени I. Скорость движения крови будем считать направленной вдоль оси сосуда, одинаковой во всем круговом сечении сосуда и обозначим ее через и(х, I). Давление внутри сосуда будем обозначать черезр(х, I). Плотность крови р считаем постоянной (несжимаемая жидкость).

В гемодинамических задачах уравнение

играет роль, аналогичную уравнению состояния для баротропного газа в газовой динамике, и по аналогии, далее так и будем его называть. Экспериментально установлено, что с увеличением давления р(х, I) монотонно растет площадь поперечного сечения сосуда S(x, I) и эта зависимость является в общем случае нелинейной. Тем самым, важной характерной особенностью зависимости сечения от давления является выполнение условия йБ/йр > 0.

Сосуд может расширяться (сужаться) лишь до некоторой предельной для него величины и характерный для магистральных сосудов артериальной части сосудистой системы человека вид зависимости (1) изображен на фиг. 1. Учет упруго-механических свойств сосуда осуществляется по предельным значениям площади его сечения, достигаемого при малых и больших значениях давления, т.е. по величинам Бт1п, Бтах, рт1п, ртах которые, таким образом, являются характеристиками конкретного сосуда.

Рассмотрим в два близких момента времени I и I + А? элемент сосуда, заключенный между двумя круговыми поперечными сечениями, имеющими координаты х и х + Ах (см. фиг. 2). Предположим, что жидкость в выделенном элементе сосуда движется по направлению координатной оси х из области с большим давлением внутри сосуда в область с меньшим давлением. То есть, р(х, I) >р(х, + Ах, I) и площади поперечных сечений удовлетворяют неравенству Б(х, I) > Б(х + Ах, I), Б(х, I) = пг2(х, I), г(х, I) — радиус кругового сечения, имеющего координату х.

Изменение массы жидкости за время Аt в выделенном элементе сосуда при условии непроницаемости стенок сосуда и отсутствии объемных источников и стоков массы обусловлено потока-

1. УРАВНЕНИЯ ГЕМОДИНАМИКИ В КВАЗИОДНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

импульса.

Б = Б(р)

(1)

Б,

Р '

тт

Р '

тах

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»