ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2012, том 52, № 6, с. 1058-1062
УДК 519.634
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНОГО ВОЛНОВОДА С ВХОДЯЩИМИ РЕБРАМИ1)
© 2012 г. А. Н. Боголюбов, А. И. Ерохин, И. Е. Могилевский
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: bogan7@yandex.ru;forerokhin@gmail.com; mogilevsky@phys.msu.ru Поступила в редакцию 14.12.2011 г.
С помощью предложенной математической модели исследован нерегулярный волновод с входящими ребрами. На основе теоретических оценок поведения решения задачи в окрестностях входящих углов получены оценки скорости сходимости численного решения задачи к точному. Исследована модовая структура поля волновода. Библ. 7. Фиг. 3.
Ключевые слова: волновод, входящие ребра, метод сечений, математическое моделирование, спектральная задача для уравнения Лапласа.
1. ВВЕДЕНИЕ
Во многих микроволновых устройствах нередко приходится использовать волноведущие системы, имеющие входящие ребра (см. [1]). Известно (см. [2]), что наличие входящих углов в поперечном сечении таких волноводов приводит к появлению особенности в решениях краевых задач, описывающих такие системы, что значительно осложняет их численный расчет. В данной работе предложена математическая модель волноведущей системы такого типа, учитывающая сингулярное поведение решения.
Рассмотрим схему расчета волновода с входящими ребрами. Для численного расчета применим метод поперечных сечений, представляющий собой неполный метод Галеркина, в котором в качестве базиса используются собственные функции оператора Лапласа для поперечных сечений волновода. В общем случае спектральная задача для таких сечений не имеет аналитического решения, и для получения результата применяется численный метод, а именно, метод конечных элементов (МКЭ) (см. [3], [4]). На основе [2], [5], [6] теоретически оценено поведение решения спектральной задачи для оператора Лапласа в окрестности входящего угла. Полученные оценки далее используются при численном расчете собственных функций сечений МКЭ, в базис которого включаются специальные функции, описывающие уже известное сингулярное поведение решения. Так как особенность решения найдена точно, остается выбрать стандартные пробные функции, аппроксимирующие гладкую часть решения с требуемой точностью.
Точность численного решения спектральной задачи и методика, изложенная в [7], позволили получить теоретические оценки скорости сходимости численного решения задачи расчета вол-новедущей системы с входящими ребрами к точному.
С помощью предложенной модели исследовано влияние входящих ребер на модовую структуру поля волновода.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим скалярную постановку задачи.
Пусть в некоторой части длины a бесконечного кругового цилиндра, на поверхности которого задано однородное граничное условие Дирихле, имеется входящий угол ю0 (фиг. 1). Без ограничения общности рассмотрим бегущую слева нормальную волну, соответствующую я0-му собственному значению кп0 оператора Лапласа для круга, имеющую амплитуду An0 и постоянную распространения ри0. Модовая структура поля такой системы описывается однородным уравнением Гельмгольца с парциальными условиями излучения на бесконечности. На границе при
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-00146-а).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНОГО ВОЛНОВОДА 1059
Амплитуда 1Ь
11
I I .
0123456789 Номер гармоники
Фиг. 1. Коэффициенты прохождения (слева) и отражения (справа) волн для сектора с раствором 1.8п.
0
г = 0 и г = а потребуем непрерывность функций и и ди/дг. Наличие входящего угла в поперечном сечении требует для решения выполнения на нем условий Мейкснера, для чего достаточно
искать решение из пространства Соболева Н1.
Введем цилиндрическую систему координат, ось 01 которой направлена вдоль оси волновода, а начало лежит в плоскости левого торца части волновода, где находится входящий угол. Обозначим поверхность волновода через 2. В результате получаем следующую краевую задачу:
Аи + к2и(М,г) = 0, М е г е (-да;+да),
и Е = 0
=0-0
и=0+0 -
^z=а-0
1г=а+0 '
ди _ ди ди _ ди
дг г=0-0 _ дг г=0+0 дг г=а-0 ' дг
г=а+0
(1)
и1г<0 = Ап0е
'Рл0г
и>а
^м(М) + X Я„в -'Кг^„(М,
п
= ХтЛ п(М),
где к2 — постоянный коэффициент, и(М, г) е Н ) У г. Здесь введены обозначения: ц п, кп — ор-тонормированные собственные функции и собственные значения круга, — сечение волновода
с координатой г, Лп и Тп — амплитудные коэффициенты отражения и прохождения п-ой гармо-
2 2
ники соответственно; рп0 = к - кп0.
Преобразуя парциальные условия излучения и учитывая непрерывность решения и его производной, из (1) приходим к задаче в ограниченной области г е (0;а):
Аи + к2и(М,г) = 0, М & г & (0;а),
и Е = 0,
ди дг
г=0
24Ж0^п0(М) - ^Фп (и Цп1\Цп(M),
п
= X^п (и, Цп)Цп(М).
ди
дг
N
и*(М,г) = XСп(г^п(М), г е (0;а),
(2)
Здесь (и, цп)| „ есть скалярное произведение, где интегрирование ведется по сечению Sz.
Следуя [7], можно показать, что решение и е Н1 задачи (2) существует и единственно. Будем искать приближенное решение неполным методом Галеркина, т.е. в следующем виде:
(3)
п=1
п
п
1060
БОГОЛЮБОВ и др.
где Vп(М) — ортонормированные собственные функции оператора Лапласа для сечения с вырезом. Подставив искомое решение вида (3) в систему (2), после несложных преобразований получим систему уравнений для нахождения коэффициентов Сп(г):
СЖ) + У тСп{т) = 0, п = 1,..., N,
N (
Сп(0) = 2Апо/Рп0У Ппо - X X 'в
5 5 пУ пп^ кп
к=1 V п N Г \
Ск(0),
(4)
СП(а) = X X 'в
5 5 п у пп^ кп
к=1 V п
Ск (а).
Здесь использовано обозначение (V к (М), цп(М) )| 5 = V .
Применяя технику, изложенную в [7], можно показать, что и1^ е Н1 и wN - и 1 ^ 0, N
\\и1
■ да.
3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Для нахождения собственных функций сечения с вырезом будем использовать МКЭ. Следуя [2], [6], можно выписать асимптотику решения задачи на собственные значения в данной области, аддитивно выделяя его особенность до требуемой гладкости остальной части решения. Для простоты ограничимся третьим порядком гладкости:
v(r, ф) = X Сутсю°1ф + К(г, ф),
(5)
где (г, ф) — полярная система координат, ^(г, ф) е Н (5) — остаточный член, оценки для которого получены в [6], Су — постоянные коэффициенты.
Учитывая (5), будем искать решение в пространстве Ш, имеющем вид
Ш =
У : У = X С'
.утаво
у'ПЮ01ф +
Г.О'щ <2
Уд5 = 0, Же Н3(5),
(6)
ш
11Н1(5) •
где Су — произвольные постоянные.
Введем конечномерное пространство пробных функций ЖН, в котором аддитивно выделены функции, описывающие особенности поведения решения задачи (2) в окрестности угловой точки:
ш =
Ун : Ун = X Сугупт° 81п у'пш-1ф + Я,
':0<упт01<2
Ук\85 = 0, Ян е Ь„,
(7)
где ЬН — пространство конечномерных функций, хорошо аппроксимирующих гладкую функцию ^. Таким образом, особенность может быть аппроксимирована точно. Поэтому, используя регулярное разбиение области с диаметром Н и соответствующее пространство ЬН (см. [4]), для которого справедлива оценка
У - У4ш * Сн2\N1 иV),
можно получить следующую оценку собственной функции V, найденной с помощью МКЭ:
(8)
-у11 ^) ^ Сн .
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНОГО ВОЛНОВОДА 1061
(Шь.
;Й6?
Амплитуда 1 -
Амплитуда 1 -
I ■ I - ■
0123456789 Номер гармоники
0123456789 Номер гармоники
Фиг. 2. Коэффициенты прохождения (слева) и отражения (справа) волн при наличии одного (0.2п) и двух (0.2п и 0.02я) входящих углов глубины 0.3.
Амплитуда 0.7-
0123456789 Номер гармоники
Фиг. 3. Коэффициенты прохождения (слева) и отражения (справа) волн при наличии трех входящих углов размером 0.1я глубины 0.3.
Используя в неполном методе Галеркина в качестве базиса такие функции Vп, получаем
и - X С„уп(М)
< ||и - и | +
н1
X С„ (Vп(М) -Vп(М))
< А + X\Cn\Ch2Щ\
н'(Я) '
н1
А ^ 0, N ^ да.
(10)
4. РЕЗУЛЬТАТЫ
В качестве результата математического моделирования было изучено влияние входящих ребер волновода на коэффициенты прохождения и отражения или коэффициенты возбуждения бегущих волн.
Для расчета системы написана программа, реализующая изложенный выше метод поперечных сечений и МКЭ. В качестве теста программы проверялось выполнение закона сохранения энергии и рассматривался предельный переход к волноводу без входящего ребра. В случае, когда геометрические размеры входящего угла в сечении намного меньше радиуса сечения, бегущая волна проходила без искажения, что соответствовало физической картине явления.
На диаграммах, иллюстрирующих результаты численного эксперимента, показаны коэффициенты прохождения (первый столбец для данной гармоники) и отражения или коэффициенты возбуждения (второй столбец для данной гармоники) бегущих волн в случае падения первой гармоники. Все физические и геометрические параметры системы нормированы на 1. Волновое число выбрано таким, чтобы в волноводе не могло распространяться более чем 10 бегущих волн.
На фиг. 1 показаны результаты численного эксперимента в случае, когда в волноводе имеется одно входящее ребро глубины 1 с раствором 0.2я.
На фиг. 2 отображены результаты счета в случае наличия одного угла с раствором 0.2я и двух — с растворами 0.2я и 0.02я соответственно. Все углы имеют глубину 0.3. На фиг. 3 показаны ре-
0
0
N
1062
БОГОЛЮБОВ и др.
зультаты для случая, когда волновод имеет три входящих ребра. Все углы в поперечном сечении имеют раствор 0.1я и размер сторон 0.3.
Анализ диаграмм позволяет сделать следующие выводы.
Наличие входящих улов приводит к частичному отражению падающей волны и возбуждению других гармоник.
С увеличением глубины входящего угла, а также его величины, коэффициент прохождения падающей гармоники убывает, ее энергия переходит в другие гармоники. В случае незначительных размеров входящего угла падающая волна практически не претерпевает никаких изменений.
В некоторых случаях присутствуют гармоники, которые остаются невозбужденными. Этот эффект с физической точки зрения можно объяснить тем, что при данной конфигурации волновода между возбуждаемыми и невозбуждаемыми волнами отсутствует энергетический обмен, а значит, если слева запустить таки
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.