МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. Н.Н. БЕЛОВ, П.В. ДЗЮБА, О.В. КАБАНЦЕВ, Д.Г. КОПАНИЦА,
А.А. ЮГОВ, Н.Т. ЮГОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДИНАМИЧЕСКОГО
РАЗРУШЕНИЯ БЕТОНА
Представлено решение задачи о соударении стальных цилиндрических ударников в диапазоне скоростей до 800 м/с с прямоугольными бетонными плитами. Рассмотрено два подхода к расчету разрушения бетона при ударном нагружении: феноменологический, при котором критерии прочности выражаются через инвариантные связи критических значений макрохарактеристик процесса - напряжений и деформаций, и подход, рассматривающий разрушение как процесс образования, роста и слияния микродефектов под действием приложенных напряжений. Проведено сравнение результатов математического моделирования с данными эксперимента по глубине внедрения и величине лицевого откола. В рамках предложенной модели динамического разрушения бетона проведен расчет прочности бетонной четырехгранной призмы на действие продольной нагрузки. Получено удовлетворительное согласование результатов математического моделирования с данными эксперимента.
1. Введение. Бетон содержит большое число концентраторов напряжений: пор, границ зерен, трещин, зарождение разрушения на которых происходит в области упругого деформирования. Микроразрушения в бетоне могут появиться при сжатии под действием девиаторных напряжений, что приводит к падению сопротивления разрушению.
Для расчета разрушения бетона в условиях ударного нагружения в [1-6] применен феноменологический подход, в котором критерии прочности выражаются через инвариантные связи критических значений макрохарактеристик процесса - напряжений и деформаций.
Численные значения параметров критерия прочности определяются через пределы прочности бетона при растяжении, сжатии и сдвиге, полученные при динамическом нагружении [7]. Бетон при динамическом нагружении до выполнения критерия прочности описывается моделью линейного упругого тела, обладающего физико-механическими свойствами бетона. После выполнения критерия прочности считается, что материал поврежден трещинами. Процесс фрагментирования поврежденного материала описывается в рамках модели пористой упругопластической среды [8]. Фрагментация поврежденного трещинами материала, подвергнутого действию растягивающих напряжений, происходит, когда относительный объем пустот достигает критической величины. Если поврежденный трещинами материал подвергнут действию сжимающих напряжений, то локальным критерием фрагментирования являются либо предельная величина работы пластических деформаций, либо однозначно связанная с ней предельная величина интенсивности пластических деформаций. Численные значения критериев фрагментирования определяются из сопоставления данных математического моделирования процессов ударного взаимодействия стальных цилиндрических ударников с бетонными плитами с экспериментальными данными по глубине проникания и величине лицевого откола. Проведенное сравнение показало, что феноменологический
подход, используемый при решении задач статики, может быть применен при расчете разрушения бетона в условиях ударного нагружения в диапазоне скоростей до 800 м/с. Одним из недостатков феноменологического подхода является то, что он не может быть применен к расчету процессов деформирования и разрушения в условиях удара изначально пористых материалов, в частности, пенобетона, керамзитобетона. Кроме того, данный подход не дает возможности рассчитывать поведение хрупких материалов при повторном ударе. Например, задача о расчете разрушения хрупких материалов при повторяющихся ударных нагрузках возникает как при анализе механизмов дробления частиц из высокопрочной керамики и минерального сырья в пневмоцирку-ляционных аппаратах [9], так при анализе разрушения железобетонных колонн зданий при сейсмических воздействиях. Типичной картиной разрушения зданий с железобетонным каркасом при сейсмических воздействиях является разрушение бетонного тела колонны с потерей устойчивости продольной арматуры (выпучивание арматурных стержней в разные стороны), после чего происходит обрушение конструкций или здания в целом.
В [2, 9, 10] предложена математическая модель динамического разрушения пористой высокопрочной керамики. В данной работе эта модель использована для решения задач и об ударном взаимодействии стальных цилиндрических ударников с бетонными плитами и определения прочности бетонных четырехгранных призм на продольные ударные нагрузки. Проведено сравнение результатов математического моделирования, полученных в рамках обоих подходов к расчету разрушения бетона при ударно-волновом нагружении, как между собой, так и с данными эксперимента.
2. Математическая модель. С точки зрения математического моделирования проблема разрушения имеет два аспекта. Первый связан с разработкой модели и критерия разрушения, второй с описанием механического поведения разрушенной или частично поврежденной среды. Процесс разрушения сопровождается изменением структуры материала, что оказывает обратное влияние на поля деформаций и напряжений. Поврежденная и разрушенная среда математически моделируется эквивалентной однородной сплошной средой, а обратное влияние микроструктурных изменений на макроскопическое напряженно-деформированное состояние отражается через уравнение состояния и эффективные упругие и прочностные характеристики поврежденной среды, зависящие от величины пористости в материале [8]. Разрушенный материал моделируется некоторой сыпучей средой, работающей только на сжатие и сдвиг, но не выдерживающей растягивающих напряжений.
Неоднородная пористая среда представлена как двухкомпонентный материал, состоящий из твердой фазы - матрицы и включений - пор. Предполагается, что форма пор близка к сферической, а функция распределения их по размерам такова, что они могут быть охарактеризованы некоторым общим для всего ансамбля пор характерным размером a0. Удельный объем пористой среды и представляется в виде суммы удельного объема материала матрицы Um, удельного объема пор Up и удельного объема Ut, образующегося при раскрытии трещин и = Um + Up + Ut. Пористость материала характеризуется относительным объемом пустот £ = £p + либо параметром а = и/ит, которые связаны зависимостью а = 1/(1 - £). Здесь £p = Up/U, = u/u - относительные объемы пор и трещин соответственно.
Разрушение в хрупком материале начинается на упругой стадии его деформирования как процесс образования, роста и слияния трещин под действием приложенных напряжений. Локальным критерием прочности на этом этапе разрушения является предельная величина характерного размера трещин. До выполнения критерия прочности поведение бетона описывается в рамках модели линейного упругого тела. При его выполнении считается, что в материале начинается пластическое течение. В пла-
стически деформированном материале под действием приложенных напряжений происходят процессы роста или затекания пор.
Система уравнений, описывающих движение пористой упругопластической среды, имеет вид [8]:
йУ _ 0, ^р»йУ _ |п • айБ, ^]рEdV _ |п • а • ийБ
V V Б V Б
Ро
а
Y о е +
с0( 1 - Y оП/2) п" ( 1 - ^ П ) 0 .
(2.1)
— + Xs, 0 Ц
0 о
s: s = 3
где I - время; V - объем интегрирования; Б - его поверхность; п - единичный вектор внешней нормали; р - плотность; о = -pg + 8 - тензор напряжений; 8 - его девиатор; р -давление; g - метрический тензор; и - вектор скорости; Е = е + и ■ и/2 - удельная полная энергия; е - удельная внутренняя энергия; е = d - - девиатор тензора ско-
s + s ■ w - w ■ s -
ростей деформаций; d = (У и + Уит)/2 - тензор скоростей деформаций; / = производная девиатора тензора напряжений в смысле Яуманна-Нолла: ц
= Цо(1 - Ш - (6р0 С20 + 12ц0)^/(9р0 с0 + 8Цо)]
От
_ + ( °max - °min )kP ' - min ( °max - °min) + kP-
/а, w = (Vu - Vu)/0
где ц - модуль сдвига; от - предел текучести; ш - тензор вихря; р0, ц0, у0 - соответственно плотность, модуль сдвига и коэффициент Грюнайзена матричного материала при нормальных условиях; с0, Б0 - коэффициенты линейной зависимости скорости ударной волны Б от массовой скорости и(Б = с0 + Б0и) в матричном материале; от1п, отах, к - константы матричного материала; п = 1 - р0и/а. Параметр X исключается с помощью условия текучести. При X = 0 система уравнений (2.1) описывает упругое деформирование пористого материала.
Для замыкания системы (2.1) необходимы уравнения, описывающие изменение параметра а при растяжении и сжатии. Разрушение хрупких материалов происходит главным образом в связи с возникновением и ростом микротрещин. Максимальное упругое полураскрытие монетообразной трещины под действием растягивающего напряжения, перпендикулярного плоскости трещины, определяется из соотношения [11]:
а _ 2( 1 - V)
5 _-^ПЦГЯРт
где V - коэффициент Пуассона; Я - радиус трещины; рт = ар - давление в материале матрицы. Предполагая, что при раскрытии трещины ее берега образуют эллипсоид вращения с полуосями 5, Я, Я, найдем объем трещины
Ут
8 (1-v)D з
—Ч;--R аp
3Цо
(2.2)
Пусть в процессе нагружения не происходит образования новых трещин, а деформирование материала сопровождается ростом изначально существующих с характерным размером Я, тогда из (2.2) следует
j
e
\t = N о R\p (2.3)
где N0 - число трещин в единице объема. Считая, что до начала фрагментирования поврежденного трещинами материала объем пор остается неизменным и равен £0, получим
£t = £ - £0 = (а - а0)/(а0а) (2.4)
Подставляя (2.4) в (2.3), окончательно имеем 3и0(а - а0)
p =--—-^ (2.5)
8(1 - v)N0а0R а2
Из уравнения (2.5) вытекает, что с увеличением радиуса трещины рост несплошно-стей облегчается. Рост трещин определяется уравнением
R/R = F1 + F2
где F1 = (os, - s*)/n при os, > s*; F1 = 0 при аs¡ < s*; F2 = (iopi -p*)/n2 приp < 0 a \op\ >p*;
F2 = 0 приp > 0 v \op\ <p*; Si = 73/2s : s ; s* = s01(1 - R/R*); p* = p0(1 - R/R*); R* = ß/3JN~0; s01, p0, П1, П2, ß - константы материала.
Уравнение, описывающее изменения параметра а при растяжении и сжатии на упругой стадии разрушения, можно получить из уравнения состояния (четвертое уравнение (2.1)) и уравнения (2.5):
.. зц0(а-а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.