АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 84, № 6, с. 570-576
УДК 521.3-32
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ПОПРАВОК ПРИ ПРЕЦИЗИОННОЙ ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ОЗИРИС
© 2007 г. М. М. Денисов
"МАТИ" — Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского,
Москва, Россия Поступила в редакцию 19.08.2006 г.; после доработки 12.10.2006 г.
Построена математическая модель движения электромагнитного импульса при лазерной локации космического аппарата ОЗИРИС. Выведена формула для вычисления поправки к дальности космического аппарата, вызываемой неинерциальностью движения лазерной станции и воздействием гравитационного поля Земли на лазерные импульсы. Показано, что эти поправки необходимо учитывать при проведении прецизионной лазерной локации космического аппарата с точностью определения дальности меньше 20 см.
PACS: 95.10.Eg, 95.10.Jk, 95.40.+Б, 95.55.Br
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в стадии подготовки находятся несколько научных программ по проведению прецизионных астрометрических измерений с помощью интерферометров, установленных на космических аппаратах.
В проекте ОЗИРИС [1, 2], разрабатываемом Институтом астрономии РАН, измерение разности угловых положений звезд предполагается осуществлять с точностью 10 мксек. дуги. Проведение таких измерений накладывает довольно жесткие ограничения на точность определения положения космического аппарата на орбите. Поэтому для прецизионного контроля дальности до космического аппарата ОЗИРИС необходимо использовать лазерную локацию, которая позволяет измерить расстояние с точностью см.
Однако при таком уровне точности необходимо учитывать оптические эффекты, вызываемые неинерциальностью системы отсчета, находящейся на поверхности вращающейся Земли, а также влиянием гравитационного поля Земли на распространение электромагнитных волн. Поэтому и математическая модель процесса лазерной локации космического аппарата при проведении прецизионных астрометрических измерений должна быть более точной, учитывающей эффекты общей теории относительности, которые возникают из-за неинерциального движения лазерной станции.
Следует отметить, что расчет движения космического аппарата и алгоритм лазерной локации в научной литературе рассматривались и ранее [3].
Однако в последнее время два обстоятельства потребовали более точного учета влияния неинер-циальности наблюдателя и воздействия слабого гравитационного поля Земли на искривление траектории лазерного импульса и его гравитационного замедления.
Во-первых, новые прецизионные космические эксперименты требуют знания углового положения космического аппарата и его дальности с большей, чем ранее, абсолютной точностью.
Второй причиной необходимости более точного учета релятивистских поправок является то, что космические аппараты при проведении прецизионных измерений в космосе должны находиться на высокоапогейных орбитах с высотой порядка 105 км. Поэтому время распространения электромагнитного импульса от лазерной станции до космического аппарата и обратно существенно возрастает по сравнению с лазерной локацией низкоапогейных космических аппаратов и составляет 1—2 с. Для сравнения укажем, что время распространения электромагнитного импульса до низкоапогейного космического аппарата с высотой порядка 600 км составляет 2 х 10_3 с. Возрастание почти в тысячу раз времени воздействия сил инерции и гравитационного поля на электромагнитный импульс при его распространении от лазерной станции до космического аппарата приводит к тому, что релятивистские поправки увеличиваются в тысячу раз.
Вычислим величину искажения при измерении расстояния между лазерной станцией и космическим аппаратом, вносимого неинерциальностью
движения станции и воздействием гравитационного поля Земли на движение лазерных импульсов.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Предположим, что лазерная станция расположена на поверхности Земли в точке с географической широтой в0 и долготой ^>о. Рассмотрим де-картову прямоугольную систему координат, жестко связанную с Землей. Начало отсчета поместим в центр Земли, ось г направим вдоль вектора ее угловой скорости П, а ось х поместим в плоскость нулевого (гринвичского) меридиана. Назовем эту систему отсчета вращающейся, а ее координаты обозначим через X, У и 2. Рассмотрим также систему отсчета, начало которой совпадает с местом расположения лазерной станции на поверхности вращающейся Земли. Ось г этой системы отсчета направим по местной вертикали, ось х — по касательной к меридиану, ось у — по касательной к параллели. Назовем эту систему отсчета топоцен-трической системой отсчета.
При проведении лазерной локации как импульс электромагнитного излучения, так и космический аппарат согласно общей теории относительности движутся в римановом пространстве-времени, метрический тензор которого зависит от гравитационного поля Земли, Луны, Солнца и других планет Солнечной системы и полей сил инерции неинерциальной системы отсчета.
Для того, чтобы ярче выявить влияние релятивистских эффектов и неинерциальности движения наблюдателя, влияние других планет и Луны на движение космического аппарата и лазерного импульса в настоящей работе учитывать не будем.
Уравнения движения массивных тел в общей теории относительности [4] имеют вид
Ниг
— +Гптипит = 0, (1)
где йз — интервал, ГПт — символы Кристоф-феля, иг = йхг/йз — четырехмерный вектор (4-вектор) скорости, удовлетворяющий соотношению дгк игик = 1.
Уравнения для световых лучей и закон распространения электромагнитных импульсов вдоль этих лучей в произвольном римановом пространстве-времени можно получить [4], решая уравнения для изотропных геодезических
йКг
da
+ Г Kn Km = 0
' nmK K u,
Безразмерный гравитационный потенциал Земли U очень мал: U ~ 10"9. Поэтому для расчета движения космического аппарата с относительной точностью ~U3/2 ~ 10"12 метрический тензор можно взять в ньютоновском приближении. В этом приближении четырехмерные уравнения движения (1) дают следующий закон движения космического аппарата в топоцентрической системе отсчета:
Xsc(£) = {[cos pcos(^ + + Qt) - (4) — cos в sin p sin(^ + p0 + Qt)] sin 90 —
■ „ „ . i p(cos а£ — e)
— Sin в COS во Sin if \-5--h
1 — e2
+ { [ sin p cos(^ + p0 + Qt) + + cos в cos p sin(^ + p0 + Qt)] sin в0 +
+ sine cos в0 cos p}
p sin а£
Vl^'
Vsc(C) = —
p(cos а£ — e)
[ cos p sin(^ + p0 + Qt) +
1 — e2
+ cos в sin p cos(^ + p0 + Qt)] —
psinа£ r . . , , --, I sin <p sm(ip + <fo + Щ -
1 — e2
— cos в cos p cos(^ + p0 + Qt)],
Zsc(£) = { [ cos p cos(^ + p0 + Qt) — — cos в sin p sin(^ + p0 + Qt)] cos e0 +
+ sin в sin в0 sin p}
p(cos а£ — e)
Г^2
+
(2)
где а — некоторый аффинный параметр, Кг = = йхг/йа — 4-вектор, касательный к изотропной геодезической и удовлетворяющий соотношению
дптК пКт = 0. (3)
+ { [ sin p cos(^ + p0 + Qt) + + cos в cos p sin(^ + p0 + Qt) cos в0 —
1 p sin a£ — Sin в Sin 6*0 COS if ) — Го,
V1 — e2
где в — наклонение орбиты, ф — аргумент перигея, p — долгота восходящего узла, r0 — радиус Земли, а2 = GM(1 — e2)/p3, p — параметр орбиты, e — ее эксцентриситет.
Переменная £, входящая в эти выражения, определяет положение космического аппарата на орбите и связана с временем t трансцендентным уравнением
t=
1
1 e2
- to,
(5)
где ¿0 — константа интегрирования.
Отметим одно важное обстоятельство. Как известно, ход часов или иных устройств, предназначенных для измерения времени (водородные стандарты частоты, кварцевые генераторы, цезиевые часы и т.п.), существенно зависит от того, в какой системе отсчета они покоятся и при каком значении гравитационного потенциала. Поэтому, строго говоря, при переходе из одной системы отсчета в другую необходимо преобразовывать не только координаты, но и время, которое в разных системах отсчета и при разных значениях гравитационного потенциала течет по-разному.
В рассматриваемом нами случае часы покоятся в неинерциальной системе отсчета, начало которой находится в лазерной станции при значении гравитационного потенциала, равном потенциалу на поверхности Земли. Это означает, что все расчеты следует производить, используя в качестве временной переменной время этих часов.
Однако в теоретической физике обычно поступают иначе и вводят единое время для всех систем отсчета, независимое от значений гравитационного потенциала. Это время, в отличие от истинного времени (или физического времени), измеряемого часами, покоящимися в рассматриваемой системе отсчета, называют координатным временем. В терминах единого координатного времени проводят все расчеты, которые оказываются значительно проще, чем в случае использования в каждой системе отсчета своего физического времени. Получив окончательный результат расчетов, его преобразуют так, чтобы он содержал время, измеряемое по часам наблюдателя. При расчете процесса лазерной локации космического аппарата мы будем поступать аналогично.
3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ В ТОПОЦЕНТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
Метрический тензор риманова пространства— времени в топоцентрической системе отсчета с требуемой относительной точностью ^10"10 имеет вид
r
9оо = 1- -К2{[хsinв0 +
(6)
+ (z + ro)cos0o]2 + y2}, gol = Ky sin во,
go2 = -K[x sin во + (z + ro) cos во], доз = Кусо&во, gaf3 = -(l +
где К = ü/c, R = \Jx2 + y2 + (z + ro)2.
Уравнения для световых лучей и закон распространения электромагнитных импульсов вдоль
этих лучей в произвольном римановом пространстве—времени можно получить, решая уравнения для изотропных геодезических (2). Однако для наших целей удобнее в уравнениях (2) перейти от дифференцирования по афинному параметру а к дифференцированию по координате х0 = аЬ в соответствии с равенствами
— = К0 —
da dxo '
Kг = K
q dx
dxo
В результате уравнения (2) с требуемой точностью примут следующий вид:
(l + ^£jT2 = 1-^-2Ку[х8тв0+ (7)
+ (z + ro) cos eo] + 2Ky(Z cos eo + X sin eo) — - K2{[x sin eo + (z + ro) cos eo]2 + y2},
X — 2Ky sin eo — K2[x sin eo + + + (z + ro) cos eo] sin eo +
r
+ 2ДЗ [(! + y2 + ¿2- Zx2)x - Ayxy -
— 4(z + ro)xz] = 0,
r
у + 2K(x sin во + z cos во) - к2у + [(1 + x2 +
+ z2 — 3y2)y — 4xxy —
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.