АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 6, с. 656-668
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.2:517.4
МАТРИЧНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ АНАЛИЗЕ РАССЕЯНИЯ НА НЕОДНОРОДНОСТИ ПЛОТНОСТИ
И СКОРОСТИ ЗВУКА © 2015 г. К. В. Дмитриев
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы E-mail: kdmitrie@aesc.msu.ru Поступила в редакцию 14.11.2015 г.
Введены матричные функции Грина для линеаризованной системы уравнений гидродинамики. Установлены связи между запаздывающей и опережающей функциями Грина, между функциями Грина прямого и сопряженного операторов системы уравнений гидродинамики. Получено выражение для принципа взаимности и соотношение типа уравнения Марченко. Разработанный математический аппарат применен к анализу рассеяния на квазиточечной рефракционно-плотностной неоднородности среды. При этом получены ограничения на фазу и амплитуду коэффициентов рассеяния такой неоднородности. Существование максимально возможной амплитуды рассеянного поля необходимо учитывать при проектировании метаматериалов, состоящих из отдельных элементов малого волнового размера, в том числе с резонансными свойствами.
Ключевые слова: метасреды, рассеяние волн, матричные функции Грина. DOI: 10.7868/S0320791915060040
ВВЕДЕНИЕ
Дважды отрицательные акустические среды характеризуются одновременно отрицательными эффективными динамическими параметрами: плотностью среды р и сжимаемостью п- На практике такие среды реализованы [1—3] в виде мета-сред, состоящих из отдельных элементов, которые имеют в определенной полосе частот резо-нансы, создающие рассеянное поле дипольного и монопольного типа. При этом, чтобы характеризовать среду эффективными параметрами, т.е. рассматривать ее как сплошную, каждый подобный резонатор должен, с одной стороны, иметь малый размер по сравнению с длиной волны в ме-тасреде. С другой стороны, вклад рассеянного поля резонатора должен быть существенен, чтобы эффективные параметры среды могли стать отрицательными. В связи с этим возникает вопрос о наличии принципиальных ограничений на амплитуду этого поля.
Рассеянное поле порождается вторичными источниками, равными, по определению, произведению функции рассеивателя и полного волнового поля в каждой точке расположения рассеивателя. Пусть рассеяние происходит на неоднородности малого волнового размера, вызванной отличием
скорости звука е(г) = 1Д/р(г)г|(г) (где z — радиус-вектор точки пространства) от значения с0 в однород-
ной среде. Известно [4], что при этом возникает вторичный источник монопольного типа, амплитуда и фаза которого связаны между собой, а характеризующий данный вторичный источник коэффициент рассеяния ограничен по модулю. Такая связь является весьма общей вне зависимости от конкретной физической природы неоднородности с малым волновым размером (квазиточечной неоднородности). Например, в [5] было установлено ее наличие при рассеянии волны на газовом пузырьке, причем учет поверхностного натяжения приводит к изменению характеристик процесса рассеяния, но не нарушает этой связи. В [6] импедансным методом показано, что максимально возможная рассеиваемая объектом заданной формы мощность не может превышать более чем в четыре раза максимально возможную мощность, которая поглощается другим объектом такой же формы и размера.
Вторичный источник дипольного типа может возникнуть, если среда содержит неоднородность плотности. В представляемой работе результаты [4] обобщаются на случай квазиточечной неоднородности не только по скорости звука с(х), но и одновременно по плотности р(г). Такая неоднородность может порождать вторичный источник смешанного монопольно-дипольного типа. Для анализа подобных ситуаций представляется более удобным использовать подход [7] к решению пря-
мои задачи рассеяния на основе уравнении типа уравнений Липпмана—Швингера, записываемых для системы уравнений гидродинамики, а не на основе дифференциальных уравнений второго порядка. Этот подход позволяет избежать сложностей, связанных с появлением членов, содержащих градиенты волновых полей и плотности среды [8]. Подобные сложности особенно существенны в тех случаях, когда в рассматриваемой неоднородной среде имеются границы и приходится иметь дело с обобщенными функциями.
Жесткая связь между фазой и амплитудой поля, рассеянного неоднородностью, близкой к точечной, свидетельствует о необходимости математически описывать этот процесс с точки зрения многократного перерассеяния, что будет обсуждаться в настоящей работе. Это может быть сделано с помощью функции Грина, рассматриваемой при близких значениях двух ее пространственных аргументов. В двумерном и трехмерном случаях при стремлении разности аргументов к нулю функция Грина (а значит, и роль перерассеяний) неограниченно возрастает внутри квазиточечной неоднородности. Следовательно, квазиточечный рассеиватель всегда является сильным рассеивателем, т.е. полное акустическое поле внутри него существенно отличается от падающего поля.
Ограничение, накладываемое на максимально возможную амплитуду поля, рассеянного квазиточечной неоднородностью, играет роль при выборе конструкции проектируемых метаматериа-лов. В частности, расстояние между отдельными элементами метаматериала не должно быть слишком большим. В противном случае рассеиваемое ими поле может быть внутри метаматери-ала много меньше падающего поля.
МАТРИЧНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ИХ ВЗАИМОСВЯЗЬ
Рассматривается геометрия задачи, аналогичная изложенной в [4]. Внутри однородного и изотропного пространства с плотностью р0 и сжимаемостью
По = 1/(р0с02) расположена область Ш конечных размеров, где соответствующие параметры р и п являются неоднородными. Предполагается, что поглощение в среде отсутствует. Область Ш окружена двумя замкнутыми гладкими выпуклыми поверхностями Ж и Щ (в двумерном случае — контурами), на которых располагаются точечные излучатели и приемники соответственно. Для определенности, но без ограничения общности, предполагается, что поверхность Ж лежит целиком внутри области ограниченной поверхностью Щ.
В монохроматическом случае при временной зависимости полей ~ехр(-/ю?) рассматриваются
запаздывающее (обозначается верхним индексом "+"), и опережающее (обозначается верхним индексом "—") поля колебательной скорости у± и давления р±. Для каждой из этих волновых переменных С,+(у) справедливо условие излучения Зоммерфельда [9, с. 438—439], а для переменных ^-(у) — комплексно сопряженное условие при у = |у| ^ да:
- 1к0£+ - - «л-»/2 V ^
(2)
о, - 0(у(Я-1)/2); ^ + ;коС- - -(уУ ).(1)
ду ду
Здесь к0 = ^/роПо — волновое число в фоновой среде, Б — размерность задачи.
Поля у± ир± создаются скалярной ф±5(х) и векторной Г±5(х) функциями; значения ф± и Г± не зависят от координат. Тогда система уравнений гидродинамики имеет вид
|-/юр(г)у ±(г, х) + V г р ±(г, х) = Г ±5(г - х),
[V гу ±(г, х) - /юп(г) р ±(г, х) = ф±5(г - х). Надо обратить внимание, что в (2) предполагается временная зависимость ~ехр(-/ю^ как для запаздывающих, так и для опережающих полей. Правые части каждого из уравнений (2) в дальнейшем будут называться соответственно скалярными и векторными точечными первичными источниками поля, расположенными в точке х е Ж. Опережающее поле, в отличие от запаздывающего, не является физически реализуемым, поскольку нарушает принцип причинности. Опережающее поле описывает волну, появляющуюся на бесконечности, сходящуюся к источнику и предшествующую этому источнику по времени, что и означает "опережение". Поток энергии при этом направлен из бесконечности к источнику поля. Опережающее поле как математический объект вводится и используется при решении ряда обратных задач. В качестве элемента математического аппарата оно используется и в настоящей работе.
Пусть орты осей декартовой системы координат задаются единичными векторами е(1), е(2) и е(3) (в двумерном случае орт е(3) не рассматривается). Вводятся матрицы
(о о о о
с =
01 = о о
1 е(1) е(2)
( о о о е(1)
о о о е(2)
о о о е(3)
Ч-е(1) -е(2) -е (3) о
;(1)
(2) ;(3)
"(3)
а, =
(1 о о о 1 о о о 1
У
ол
о
о
^ о о о -1)
Обозначения ст и индексы 1—3 введены здесь из-за некоторой схожести вида этих матриц с матри-
цами Паули. Кроме того, будут использоваться, в обозначениях Дирака, вектор-столбцы полевых переменных \ ии первичных источников поля
\е ±>:
1и+) =
с ±\
V
V Р± )
± ^
У(±3)
\РР )
(Г ± ^
^ у
/(1)
/(2) /(±)
чФ± у
г(1)^(1) + е(2)^(2) + в(з)У(з) и Г - е(1^„/(1)
+
Л(ъ) =
Здесь V = в(1)У|
+ е(2)/(2) + е(3)/(3). Вводя оператор
^-/юр(г) 0 0 д/&а)
0 -юр(ъ) 0 д/дг(2)
0 0 -юр(ъ) д/дг(3)
д/5г(1) д/дг(2) д/дг(3) —гог|(ъ)
где ъ = {г(1), г(2),г(3)} в декартовой системе координат, систему уравнений (2) можно переписать в более компактной матричной форме:
Л(ъ) и ±(ъ, х>) = \е ± 5(ъ - х). (3)
Оператору Л(ъ) соответствует сопряженный [10, с. 805, 806] оператор
^-/юр(ъ) 0 0 -д/дг (1)4
0 -/юр(ъ) 0 -д/дг(2)
0 0 -/юр(ъ) -д/дг(3)
-д/дга) -д/дг(2) -д/дг(з) -/юг|(ъ)
Факт сопряженности операторов Л(ъ) и Л(ъ) можно проверить непосредственно: для произвола
ЛЛ(ъ) -
ных полей
Щ) и Щ)
выполнено
(щ\ Л(ъ)| ъ) - (и^ Л(ъ)| Щ) =
= V (^(ъ) + 2(ъ)) = V ((щ | &11 и2)) . Операторы Л(ъ) и Л(ъ) связаны соотношением
Л(ъ) = - Л*(ъ), (4)
где символ
означает комплексное сопряжение.
как
| и ±(ъ, х>) = ±(ъ, ъ) | р ± 5(ъ' - х)йъ' = О ±(ъ, х)| р ±),
т.е.
|и ±(ъ, х>) = о ±(ъ, х)| ^ ±>.
(5)
Решение системы уравнений (3) записывается
Здесь О ±(ъ, х) — запаздывающая и опережающая матричные функции Грина неоднородной среды, которые удовлетворяют уравнению
Л(ъ)0±(ъ, х) = Е8(ъ - х), (6)
где Е — единичный оператор. Аналогично вводятся запаздывающая и опережающая матричные
функции Грина О (ъ, г) для сопряженного оператора Л(ъ), удовлетворяющие уравнению
Л(ъ)0±(ъ,г) = Е8(ъ - г). (7)
Важно, что функции О+(ъ, г) и О "(ъ, г) удовлетворяют, соответственно, тем же самым условиям излучения Зоммерфельда, что и функции О+(ъ, х) и О"(ъ, х) при |ъ| ^ да.
Для дальнейших рассуждений необходимо показать
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.