ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 40, № 11, с. 794-807
УДК 524-4
МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗВЕЗДНЫХ ДИСКОВ
© 2014 г. Т. З. Омурканов1 , Е. В. Поляченко1'2
1 Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный 2Институт астрономии РАН, Москва Поступила в редакцию 16.06.2014 г.
В работе дается обзор современных методов нахождения неустойчивых мод звездного диска в рамках линейной теории возмущений. На примерах моделей галактик с плавно растущей и плоской кривой вращения показано существование различного вида спектров неустойчивых мод. Обсуждаются особенности спектров. Впервые приводится спектр модели с быстро растущей в центре (плоской) кривой вращения. Показано, что метод, основанный на разложении возмущенных потенциала и поверхностной плотности по биортогональному базису, имеет ограниченную применимость вследствие недостатка подходящих базисных функций. Метод конечных элементов, с успехом применяемый в других областях науки и техники, в текущей реализации чувствителен к наличию областей с резонансными орбитами.
Ключевые слова: звездные системы, звездные скопления и ассоциации, звездная динамика.
001: 10.7868/80320010814110035
1. ВВЕДЕНИЕ
Происхождение спиральных узоров галактик — фундаментальная проблема астрофизики. Одним из возможных подходов здесь является нахождение собственных неустойчивых колебаний (неустойчивыхмод) звездного диска, возникающих под действием гравитирующих сил. По своей сути данный метод берет свое начало в пионерских работах Линдблада, Линя, Шу, Калнайса и др. начала 1960-х годов, где спиральный узор рассматривается как долгоживущая крупномасштабная волна плотности. Неустойчивые моды характеризуются своей формой и комплексной частотой ш, в которой действительная часть определяет скорость вращения спирального узора, Ор = Re ш/ш (ш — число рукавов), а мнимая, 7 = = 1т ш — экспоненциальную скорость нарастания амплитуды (так называемый инкремент нарастания неустойчивости). При наличии в звездном диске неустойчивой моды спиральный узор образуется самопроизвольно вследствие роста малых флукту-аций в первоначально равновесном осесимметрич-ном распределении звезд и гравитационного потенциала. Вообще говоря, неустойчивых мод может быть несколько. Тогда форма спирального узора
Электронный адрес: omurkanov@gmail.com
Электронный адрес: epolyach@inasan.ru
определяется наиболее неустойчивой модой или суперпозицией нескольких мод в случае близких инкрементов нарастания. Очевидно, что знание спектра неустойчивых мод, т.е. их расположения на плоскости (Ор, 7), важно для понимания эволюции звездного диска и нахождения формы спирального узора.
В альтернативном подходе считается, что в основе механизма формирования спиральных узоров лежит усиление непрерывно рождающихся и эволюционирующих волн плотности (Тоомре, 1981). Эти транзиентные спирали, в отличие от мод, представляющих собой стоячую волну с постоянными (Ор, 7), не обладают постоянным положением в диске и определенной частотой. Суперпозиция транзиентных спиралей также может приводить к квазиустойчивой глобальной картине (Селвуд, Карлберг, 2014).
Оба подхода не обязаны быть взаимоисключающими. Тот или иной механизм может реализоваться в зависимости от формы кривой вращения ус(г) и вида функции распределения (ФР). Однако, если в диске имеется неустойчивая крупномасштабная мода, то именно она определяет форму спирального узора.
Настоящая работа посвящена исследованию методов нахождения неустойчивых мод диска. Впервые эта задача была решена Калнайсом
(1971, 1977). В линейной теории возмущений, т.е. когда амплитуда колебаний остается малой по сравнению с соответствующими невозмущенными величинами, форма и частота моды не меняются. Эти характеристики формально могут быть получены из решения матричного уравнения, имеющего вид нелинейной задачи на собственные значения. Как показывает практика, матричное уравнение Калнайса эффективно лишь в тех случаях, когда удается подобрать подходящий биортонормальный набор базисных функций для разложения в ряд Фурье потенциала и плотности. Кроме того, ввиду нелинейности задачи необходимо априорное знание приближенного значения искомой частоты.
Поляченко (2005) для этой же задачи (линейная теория возмущений, произвольная кривая вращения; распределение звезд, зависящее от двух интегралов движения) получил линейное матричное уравнение вида
Ах = шх, (1.1)
не используя разложение по базисным функциям. Преимущество этого метода состоит в возможности сразу получить весь спектр без каких-либо априорных сведений по локализации мод. Однако слабая сторона метода Поляченко заключается в необходимости работать с матрицами А очень большого порядка. Вопрос о точности вычислений спектров и отдельных мод этим методом подробно рассматривается в разделе 3.
Дальнейшее развитие связано с попытками уменьшения порядка матрицы А. Используя проекцию Петрова—Галеркина для бесстолкнови-тельного уравнения Больцмана, Джалали (2007) предложил свой метод вида (1.1), основанный на введении небольшого числа пробных функций в фазовом пространстве и разложении потенциала и поверхностной плотности по базисному биор-тонормальному набору функций. Выбор базисных функций ограничен несколькими вариантами (Клаттон-Брок, 1972; Калнайс, 1976; Чен, 1992, 1993). В следующей его работе (Джалали, 2010) также применяется метод Петрова—Галеркина, однако вместо разложения по биортонормальному базису используется метод конечных элементов, аппроксимирующий потенциал и поверхностную плотность в кольцевых элементах. Данный метод хорошо зарекомендовал себя при проектировании конструкций, а также для решения различного рода задач в гидродинамике и геофизике.
Для кинетических неустойчивостей характерно многообразие причин, их вызывающих, что может приводить к множеству неустойчивых мод. Самая неустойчивая мода может возникать благодаря резкому скачку ФР на краю диска, но локализуется в центральной области. Едва ли такая мода определяет форму спирали на периферии диска. Поэтому
важно уметь определять и другие неустойчивые моды, т.е. весь спектр в целом.
Большинство расчетов спектров относится к моделям с плавно растущей кривой вращения, таким, например, как модели с изохронным и плам-меровским потенциалом. Они характеризуются конечными значениями угловой и эпициклической частот О и к в центре диска, а также наличием предельной максимальной частоты вращения спирального узора, при которой исчезают внутренние линдбладовские резонансы = шах[О — — к/2]. Резонансы оказывают существенное влияние на возможность образования спиралей и баров в центре диска (Тоомре, 1969; Марк, 1974; Фридман, Хоружий, 2003) и форму спектра неустойчивых мод. Для моделей этого типа эта форма напоминает волны, отходящие от носа лодки, и имеет точку бифуркации при (см., например, Джалали, 2007).
В более реалистичных моделях галактик, например, с плоским профилем ус(т) или профилем, основанным на данных наблюдений, поставленная задача оказывается более сложной. Отчасти это связано с чувствительностью результатов к параметрам модели, не вполне определенным вследствие наличия погрешностей наблюдений. Другая проблема заключается в исключении "ложных" мод, расположение которых меняется при варьировании параметров метода (сеток и т.п.) или применении других методов.
Цель данной работы состоит в сравнении методов Поляченко (2005), Джалали (2007) и Джалали (2010) путем расчета спектров неустойчивых мод нескольких моделей звездных дисков как с плавным, так и с плоским профилем ус(т). В разделе 2 дается небольшой обзор этих методов. В разделе 3 приведены модели и спектры, а также обсуждаются вопросы применимости и точности вычислений. Полученные результаты резюмируются в заключительном разделе 4.
2. МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
В приближении линейной теории рассматриваются возмущения малой амплитуды равновесной системы. Пусть звезды движутся в плоскости симметрии аксиально симметричного гравитационного потенциала Уо(т). Соответствующий гамильтониан Н? зависит только от переменных действия J = ,ЬХ), являющихся интегралами движения. Уравнения движения легко интегрируются, и соответствующие угловые переменные ш = (ш1,ш2) равны
Ш = ^1^)* + ш?, Ш2 = + ш?, (2.1)
где ("Ш0 ,-Ш0) — некоторые фазы, а
(2-2)
— частоты радиальных и азимутальных колебаний. В потенциал У0, вообще говоря, вносят свой вклад как звездный диск (активная компонента), так и другие компоненты галактики, например, балдж, гало и т.д., которые предполагаются фиксированными (пассивные компоненты)1 . Невозмущенный звездный диск описывается равновесной ФР Г0, зависящей от интегралов движения. Кривая вращения определяется полным невозмущенным потенциалом
2.1. Линейный матричный метод (РМЕ)
Ус(г) = \ Г
¿Уо(г)
(2.3)
Система вблизи состояния равновесия характеризуется возмущенными ФР и гамильтонианом
Г = (3) + Г1(3,ш,Ь), (2.4)
Н = Но + У1(г, Ь),
У1(г, Ь) = -С I dJ/dw
, Fl(J',w',t)
\r-r'(J',w')\,
удовлетворяющими бесстолкновительному уравнению Больцмана дГ
Ж + = 0. (2.6)
В выражении (2.5) С обозначает гравитационную постоянную, г(ш1, J) — радиус звезды на невозмущенной орбите, определяемый из уравнения
ш1 = О1(J)
dx
Уг(X, J) '
(2.7)
где Уг — радиальная скорость:
Уг(г, ^ = [2(£ - Ф(г)) - ь2/г2]1/2. (2.8)
В линейном приближении задача сводится к решению линеаризованного уравнения Больцмана, получающегося подстановкой в (2.6) разложений
Г = е У1 = е
гт'2—гшЬ
Е ^ик
(2.9)
1 = — <Х!
оо
гт'2—гшЬ
Е фг№ег
1 = — <Х!
Ввиду наличия связи ФР и потенциала через уравнение Пуассона (2.5), она представляет собой задачу на собственные значения в форме интегро-дифференциального уравнения.
Поляченко (2005) впервые предложил матричный метод вычисления неустойчивых мод в виде линейной задачи на собственные значения вида (1.1). В частности, для дисковых систем уравнения имеют вид
- 10^) - шО2^)] =
(2.10)
СГ/^) dJ/ Ё ПМ' (П
1'=-оо
где Тг — собственные векторы, определяющие форму спиралей, Гг(J) обозначают линейную комбинацию частных производных по переменным действ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.