ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 4, с. 63-77
^ КОМПЬЮТЕРНЫЕ
МЕТОДЫ
УДК 531.39
МАТРИЦЫ ЯКОБИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ ТЕЛ*
© 2007 г. Д. Ю. Погорелов
Брянск, Брянский государственный технический ун-т Поступила в редакцию 08.02.07 г.
Рассмотрены аналитические выражения для элементов матриц Якоби уравнений движения систем тел в точной и приближенной постановках. С целью снижения числа операции при численном моделировании динамики систем тел введены понятия локальных матриц Якоби силовых элементов и блочно-диагональных локальных матриц Якоби, дано обоснование использования матриц последнего типа для широкого класса силовых взаимодействий тел.
Введение. Расчет матриц Якоби (МЯ) уравнений движения используется при решении многих практически важных задач динамики систем тел: интегрировании уравнений движения с привлечением неявных численных методов, определении положения равновесия, линеаризации уравнений движения, в интересах построения оптимального управления. Для вычисления МЯ обычно применяются конечно-разностные формулы, что связано со значительными вычислительными затратами в случае систем с большим числом степеней свободы. Существенное снижение числа операций при расчете можно достичь, вводя аналитические выражения для матриц и учитывая идеи метода составных тел [1] для повышения быстродействия расчета.
Большое значение при интегрировании жестких уравнений движения с помощью неявных численных методов имеет вывод аналитических выражений для приближенных МЯ. Неявный численный метод использует МЯ для решения системы нелинейных алгебраических уравнений на каждом шаге интегрирования с помощью метода Ньютона-Рафсона. Известно, что в этом случае сходимость может быть достигнута на основе приближенных МЯ. Имея в виду этот факт и предположение о том, что жесткость уравнений вызвана "жесткими силовыми взаимодействиями", в работе получены простые выражения для МЯ, требующие минимального числа операций для расчета.
В статье также обсуждается методика формирования МЯ, имеющих профиль, который совпадает с профилем матрицы масс. Указанная цель достигается введением так называемых блочно-диагональных локальных МЯ силовых взаимодействий. Поскольку преобразование матриц в данном случае нельзя отнести к малым изменениям, возникает проблема сходимости итераций ме-
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ
(гранты < 05-01-00756, 04-01-00065).
тода Ньютона-Рафсона. Доказано несколько утверждений, обосновывающих использование блочно-диагональных матриц при моделировании динамики некоторых систем тел.
1. Уравнения движения системы тел. Следуя [2], рассмотрим голономную механическую систему, состоящую из п абсолютно твердых тел, соединенных посредством т идеальных шарниров. В данной работе ограничимся случаем стационарных связей и отсутствием в системе замкнутых кинематических цепей. Тогда число шарниров совпадает с числом тел т = п и граф системы является деревом. Корнем графа служит базовое тело, имеющее номер 0 (инерциальная система координат). Выделим пути от корня графа до тел системы и введем упорядоченную нумерацию тел и шарниров 1, ..., п. Из двух тел, принадлежащих одному пути, меньший номер имеет тело, лежащее ближе к корню. Шарнир имеет номер у, равный большему из номеров тел у > / = у-, которые входят в данную кинематическую пару.
Предполагается, что все шарниры характеризуются набором независимых локальных обобщенных координат, однозначно определяющих относительное положение и движение соединяемых тел. Объединим локальные координаты
шарниров в матрицу-столбец д = (, ..., )т, где ду,у = 1, ..., п - матрицы-столбцы локальных координат в шарнире у размером Пу х 1, Пу - число степеней свободы в шарнире. Обозначим через N =
= У'' = 1 Пу число степеней свободы системы.
Введем два набора множеств. Первый из них •ДО содержит номера шарниров, лежащих на пути от тела I к корню графа. Второй набор состоит из множеств В(у), объединяющих номера тел, пути от которых к корню включают шарнир у. С каждым телом свяжем систему координат (СК) с началом в некоторой произвольной точке тела. С базовым телом соотносится СК0 (инерциальная СК). В основе кинематики системы тел лежат ки-
нематические соотношения для пары тел ' и у (' < ]), соединенных шарниром
ведливы следующие соотношения для входящих ] нее вектор-столбцов:
г'] = ] Я]), А] = А] д}-),
V'.1 = 4( Я,) Я,, (« = Ь'ц( д,)(Я,),
(1.1)
к = дд
дг'и
N ' + к
Ь ], к =
дА'
N ' + к
а'] = ^чЯ] + а'ч(Я], Я]), е' = Ь/Я] + е\}-(Я], Я]).
Здесь Г], А], V], (, а^, е^ - радиус-вектор, матрица направляющих косинусов, линейные и угловые скорости и ускорения, определяющие положение и движение СК] относительно СК'. В выражениях (1.1) используется матричная запись соотношений [3], причем верхний индекс над вектор-столбцом указывает на номер системы координат, в которой представлен вектор. При отсутствии верхнего индекса предполагается, что вектор приведен в СК0.
Для каждой пары тел, связанных шарниром, справедливы рекуррентные соотношения
Г] Г' + А0'Г']1 vj = V - Г']Ю' + v'],
А0 ] A0iAij,
а] = а' - Г'}е + (О'(О'-Гу ■
( = Ю'
+ 2 Ю^]
(
(1.2)
е ] = е' + (о ('] + еу,
V] = С']У' + Бд,
Ж] = С]Ж' + Бд + Ж ]
Ж =
]
]]
/ л
(('Ю 'Г'] + 2(0 'V'] + sv Я]
v
]
(О (
]
]
га
ЛЯ.
V = д^м
^ т'
]] д(
(1.3)
/
д т. дЯ]
В данные выражения входит 6 х 6-матрица Сц
С ]=
Е3 -Г']
0 Е
3
Е3 - единичная 3 х 3-матрица. По аналогии с этой матрицей используются матрицы Сш для каждого
тела '. Матрица = (^ Ь] )т размером 6 х п] ха-
к = 1, ...,п1, N = X
к е J(')
Из рекуррентных формул вида (1.3) можно получить явные выражения на основе соотношения, которое приведем для произвольных матриц-столбцов Т] размером 6 х 1
Т] = С']Т' + и] ^ Т] =
X Ск]ик = С0 ] X и*
(1.4)
к е J (])
и*
к е J (]) = С0кик.
С помощью преобразования (1.4) для скоростей и ускорений запишем следующие явные соотношения:
V- = С
0] X
к е J (])
= С,
0]
X Б*д
= Ф /Я
к е J (])
где ги, А0и, гои, аи, еи, и = ',] - радиус-векторы полюсов, матрицы направляющих косинусов, линейные и угловые скорости и ускорения связанных с телами СК относительно СК0. В формулах (1.2) знак ~ над вектор-столбцом означает косо-симметричную матрицу, порожденную вектором.
Вводя 6 х 1-матрицы V i = (Vт гот )т, = (ат ет )т, ' = 1, ..., п, формулы для скоростей и ускорений в соотношениях (1.2) можно записать следующим образом:
= ф я
ф] = С0 ]
Ж
Ж = С0 ]
X ж *
¿а к~к' к е J (])
X б**,
к е J (])
] = 1, ..., п.
(1.5)
(1.6)
Здесь введены матрицы Б* размером 6 х N, имеющие единственный ненулевой блок Б* , столбцы которого расположены в позициях Nk-1 + 1, ..., Nк
Бк = I 0.0 Б* 0 ... 0 В частности, для угловых скоростей
(1.7)
(] =
X ЬкЯк = X Ь к&.
к е J (]) к е J (])
Уравнения движения системы тел имеют вид
м( я ) я + к ( я, я ) = д ( я, я, х). (1.8)
В последнем выражении присутствуют матрица масс М, матрицы-столбцы обобщенных активных сил д и сил инерции к, определяемые соотношениями
м = X
] = 1
п
т
Фт М Ф
д -к = XФT (- МЖ] -к])'
]=1
(1.9)
рактеризует основные свойства шарнира. Спра-
п
Му =
/ л
туЕ3 0
V 0 у
ку =
V у ®у У
что ведет к окончательному выражению для вариации скоростей
5дУ = Су У (51*- (п; - п;)Ък)5дк
к е /(у)
(2.3)
с составными матрицами
п;
уТ гаТ
Я Я
У п;*, у = 1,
к е / (у)
ту, /у - масса и матрица тензора инерции тела у; матрица-столбец Оу содержит главный вектор и главный момент активных сил, приведенные к центру масс тела.
2. Матрицы Якоби для кинематических соотношений. Для определения МЯ сообщим обобщенным к°°рдинатам и ск°р°стям вариации 8д, Для вариации угловой скорости имеем 5д и вычислим соответствующие вариации кинематических величин. Пусть 5у 5лу- - вариация радиус-вектора и вектор поворота, следующие из приращения координат, причем 5Пу = ЪЛ0уЛу0. Из уравнения (1.5) получим явное выражение для
п.
5дга = У (- Ък + %Ък)5Чк.
к е / (у)
матрицы-столбца ЪЯу = (5 гт 5лт )т и для вариации столбца скоростей Уу по 5д
5 Я} = Ф; 5 д, 5д-Уу = Фу 5д}, (2.1)
в частности, для вектора поворота и угловой скорости имеем
5П = У Ък5Чк, 5д= У Ък5дк. (2.2)
к е /(у) к е /(у)
Вариация по координатам в соотношении для скоростей (1.3) 5дУу = С^У, + 5дС,уУ, + 5д£уду дает рекуррентную формулу
5дУу = Сг;5дУг - п; 5п, + 5; 5ду,
/ л 5
Перейдем теперь к ускорениям, начав с вариаций 5д. Из рекуррентной формулы (1.3) следует
5дЖ, = Сг,5дЖг - йу5дга, + Б*5д
д у 1 уд
/
(О у + (со 1-У+ 2 ;
й у =
V
(О
ч
уу \
ч
У
Б* -
2 (о
ч гаЪу
1 у ' "1, ;
е
, л
а
I
у ; ^
_ дау
ЭдТ
- деч
Т'
дд
п; =
/ ~ ~ Л
(О + "О
У
га
ч
1] у
=
У
га
5, \ У
Применяя те же преобразования, что и для вариации 5дУу, получим
5дГу- = Со у У (Б* *- (Я у - Як) Ък )5 дк,
к е / (у)
У ,
+ ь
к = 1
5 - -
¿у, к - —т-, дд.
Я у
У й*, у - 1, ..., п.
к е / (у)
которая с использованием (1.4) и (2.2) приводится Несколько более громоздкие формулы описывают вариации ускорений по координатам. Опуская выкладки, приведем окончательное выражение
к следующему виду:
5дУу - С0 у У [* 5Чк - У П; * Ъ т5 дт) .
к е /(у) т е /(к-)
Последнее выражение содержит двойное суммирование, которое можно исключить с помощью перестановки
У У - У У -
к е /(у) т е /(к ) т е /(у) к е /(у)//(т)
У [У -У
т е / (у) Ч е / (у) к е / (т)
5д^ - С0 у у (Ба *- ( я у - Як) ^га -
к е /(у)
- (пй - П?) Ък - (Я у - Як) яга Ък )5дк.
Матрицы, входящие в это выражение, вычисляются в соответствии со следующими формулами:
па -
' (га --га - + е,) ° у + 2 га у + а - Л
(О i (О у
а
п
% =
/ л
(е' + (('(')а + 2(У. + аЦ £
(О
"'], д
' = да/
а'], Я Т'
дд
е' =-'
'], Я Т'
дят
тт^ Х-1 тта* гл* ( 1
П] = X Пк - рк' ] = 1 п.
к е J (1)
В заключение рассмотрим соотношения, полезные для вывода МЯ уравнений движения. Во-первых, это вариации матриц Б,
V; =
/ л
8п■ (8г. + Г■8п■)~
0
5л,
Б*
Для расчета вариации активных сил 80, следует установить модели взаимодействий тел в системе. Несмотря на разнообразие математических моделей сил, используемых при описании механических систем, можно выделить две
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.