МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014
УДК 531.5
© 2014 г. А. А. БУРОВ, И. И. КОСЕНКО МАЯТНИКОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРОТЯЖЕННОГО ЛУННОГО ЛИФТА
Из повседневной земной жизни хорошо известно, что перевернутый маятник неустойчив, причем он готов падать "на все четыре стороны" — влево и вправо, вперед и назад. Теоретические исследования, а также опыт работы луноходов и астронавтов на Луне также подтверждают это свойство. Спрашивается, сохраняется ли оно, если маятник "ну очень длинный". Оказывается, что нет — если длина маятника существенно превышает радиус Луны, то радиальные положения равновесия, на которых маятник располагается вдоль прямой, соединяющей центры Земли и Луны, оказывается устойчивым по Ляпунову, и маятник вообще никуда не падает. Более того, если маятник простирается за коллинеарные точки либрации, то он оказывается растянутым и может быть изготовлен с помощью троса. Это свойство было подмечено Ф.А. Цандером и составило основу т.н. лунного лифта (см., например, [1]). В плоскости орбит Земли и Луны имеются и иные равновесия, которые оказываются неустойчивыми. Спрашивается, имеются ли равновесия, на которых маятник располагается вне плоскости орбит. В работе показывается, что это так, но такие равновесия оказываются неустойчивыми в вековом смысле.
Также изучаются необходимые условия устойчивости колебаний лунного маятника в плоскости лунной орбиты. Численно обнаружено чередование устойчивых и неустойчивых движений в зависимости от амплитуды колебаний или угловой скорости вращения.
Исследование динамики лунного лифта восходит к [2]. Детальная проработка концепции лунного лифта выполнена в [3,4]. Некоторые классы относительных равновесий с учетом конечности размеров Луны исследовались в [5]. Возможности размещения орбитальной станции, прикрепленной к поверхности Луны парой тросов, рассматривались в [6]. Задача об ориентации терминальной станции лунного лифта изучалась в [7]. Влияние изменения длины троса на движение лунной тросовой системы исследовалось в [8].
Чередование устойчивых и неустойчивых плоских колебаний хорошо известно в задаче о колебании спутника на круговой орбите [9, 10].
Ключевые слова: космическая тросовая система, устойчивость, уравнение Хилла, положения относительного равновесия.
1. Постановка задачи. Рассматривается движение сферического маятника, подвешенного на Луне Ь, размеры которой считаются пренебрежимо малыми по сравнению с ее расстоянием до Земли, центр которой обозначен Е. Предполагается, что Земля и Луна вращаются по круговым орбитам вокруг общего центра масс О, расстояние между ними равно Я. Как известно из решения задачи двух тел, для таких движений
2* 35
яЬ =
ЯЕ =
т
.1/2
Ях = (ОХ, ОХ) , X е {Е, Ь}, т = тЕ + ть
где тЕ и щ — массы Земли и Луны соответственно, а выражение для угловой скорости принимает вид
ю2 = От/Я
(1.1)
Пусть длина маятника равна £, а его масса щ сосредоточена на его свободном конце — в точке Р. Маятник будет находиться в равновесии по отношению к системе отсчета, равномерно вращающейся вместе с Землей и Луной, если уравновешиваются центральные силы Ньютоновского притяжения со стороны Земли и Луны, центробежная сила и реакция опоры. Пусть Оху1 — вращающаяся система отсчета (ВСО), ось Ох которой перпендикулярна отрезку ЕЬ, ось Оу перпендикулярна орбитальной плоскости движения Земли и Луны, ось Oz направлена от О к Ь. Тогда этим равновесиям отвечают критические точки измененного потенциала
и = ис + и
N
(1.2)
п = _ т*®. г 2,
UN = _От*\^ + ^
тЕ + ть. Ре Рь
Рх = (РХ, РХ)X е {Е, Ь}
Здесь и далее (х, у, z) — проекции вектора ЬР на оси ВСО; г и рЕ — расстояния от точки Р до оси вращения и до Земли, причем
/ 2 , 2Л1/2 Г = (х + z ) ,
Р Е =
(х 2 + у 2 +(z + Л2 ^
I 1+
Здесь т^ — масса точки Р; ис — потенциальная энергия центробежной силы, иы — потенциальная энергия сил ньютоновского притяжения (ср. [5]). Последнее слагаемое в выражении для им постоянно в силу предположения о пренебрежимой малости радиуса Луны и поэтому может быть отброшено. В самом деле, в этом случае действие силы гравитации всегда компенсируется силой реакции стержня, соединяющего точки Ь и Р.
Тогда, если ц = тЬ/тЕ (« 0.0123), то измененный потенциал Ц/примет вид
и = т*ю и *, и * =----
Я3
■ + со^
(1.3)
2 (1 + Ц)Р Е
При этом уравнение связи, задающее неизменность длины маятника, запишется как
Г = 1 2
2 2 х + у +1 z-
Я
1 + Я
Функция Рауса имеет вид
Ж = и* +ХГ
- е2
= о
(1.4)
(1.5)
Относительным равновесиям отвечают ее критические точки, которые определяются из уравнений
dW/дх = х (Ф- 1) = 0 dW/ду = уФ = 0
dW /dz = z (Ф-1) +
R
1 + ц
^R3
.(1 + Ц)РЕ
-Х\ = 0
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Ф(х, у, zA) =■
R3
(1 + Ц)РЕ
дополненных уравнениями связи (1.4).
Определяемый с помощью уравнений связи множитель Лагранжа А после преобразований принимает вид
Х = £
-2
2
X - ■
R 3£2
+ 1 z -
R
(
z-■
R4
(1 +Ц)Р£ ^ 1 + ЦД" (1 + ^)pE Система уравнений (1.4), (1.6)—(1.8) допускает решения R
I. х = у = 0, z =
1 + ц
■± i
(1.9)
Х = 1 + ■
II. х = +L 1 -
R(2R ± I) (1 + ц)(R ± I)2
1 + ц
4R
Р Е = R,
у = 0, z =
R - t_ 1 + ц 2R
(1.10)
0 < £ < 2R
На отвечающих этим решениям относительных равновесиях маятник располагается в плоскости орбит. Необходимые условия их устойчивости исследовались ранее [1].
Вместе с тем, существуют относительные равновесия, на которых точка Р располагается вне плоскости орбит. Если принять рЕ за параметр, то в параметризованном виде эти относительные равновесия можно задать как
III. х = 0, у = ± рЕ --
R
2 ( R3
z = ■
R4
(1 + Ц)Ре
Х = —
(1+Ц)2 R3
(1 + ц)РЕ
3 + ^
\Р Е
(1.11)
На этих решениях А < 0, и стержень сжат.
2. Анализ множества равновесий III. Пусть сначала длина соединительного стержня I фиксирована. Тогда для относительных равновесий III, расположенных в "вертикальной" плоскости Ozy, имеют место три уравнения
1 + ц.
2 I , ЦЯ 1 2 Л I Я Р Е = \z + I + у , £ =\z -
1 + ц
+ у
z = ■
Я4
(1 + Ц)Ре
относительно трех неизвестных величин рЕ, z, у. Исключение неизвестной z дает систему из двух уравнений:
2 Я
Р Е =■
=
(1 + Ц) Я
Я3
Ре
+ у
(1 + цГ
2 (Я У
РТ - 1
+ у
(2.1)
(2.2)
относительно рЕ, у. Исключение у вычитанием второго уравнения из первого приводит к уравнению относительно рЕ:
2 Л Я Р Е - ^ =
1 + Ц
Ц-1 + 2 4"
РЕ
(2.3)
Оказывается, что если величина рЕ удовлетворяет уравнению (2.3), то всегда ре е [Я - £, Я + Р]. Для доказательства нужно рассмотреть два возможных случая: рЕ > Я и рЕ < Я.
Пусть сначала рЕ > Я. Тогда Я3/рЕ ^ 1, или 2Я3/рЕ ^ 2, или 2Я3/рЕ -1 ^ 1, или ц - 1 + 2Я3/рЕ < 1 + Ц, откуда
Я 2
1 + ц
Ц-1 + 2 ЯТ Ре
< Я2
Поэтому из уравнения (2.3) следует, что рЕ - £2 < Я2, или (рЕ - £)(рЕ + £) < Я2. Это означает, что
Ре -1 < Я-
Я
< Я
Ре + £
где справа в случае стержня ненулевой длины будет стоять строгое неравенство. В итоге р Е < Я + £.
Для случая ре ^ Я выполнено неравенство Я3/рЕ > 1, или 2Я3/рЕ ^ 2, или ц - 1 + 2Я3/рЕ > 1 + ц. Тогда
Я 2
1 + ц
Ц-1 + 2 ЯТ Ре
> Я2
Поэтому рЕ - £2 > Я2, или (рЕ - £)(рЕ + £) > Я2, откуда
рЕ + £ > Я
Я
Ре - £
> Я
где справа при I > 0 будет стоять строгое неравенство, в силу чего во втором случае выполняется неравенство рЕ > Я - £.
Таким образом, если рЕ — корень уравнения (2.3) при I ф 0, то в окрестности тела Ь (Луны) в плоскости (г, у) окружность радиуса рЕ с центром в Е и окружность радиуса £ с центром в Ь всегда будут пересекаться в точности в двух точках М_, М+, которые и будут искомыми положениями относительного равновесия.
Положения относительного равновесия III определяются из решения уравнения (2.3). Оказывается, что это уравнение обладает единственным корнем. В безразмерной форме уравнение (2.3) имеет вид
/(5) = Е2 - ^ (2.4) 1 + ц
/(5) = 52 , 5 = РЕ, 8= 4 (2.5)
15 Я Я
где 5 — новая безразмерная переменная, е — безразмерный параметр. Величина параметра ^ считается фиксированной.
Уравнение (2.4) задает неявную функцию 5 = 5(е). Функция (2.5) непрерывна на полубесконечном интервале 5 е (0, +<») и в этом интервале монотонно возрастает от —да до +да, так как / '(5) > 0 при любом 5 е (0, +да).
Поэтому всегда, при любом е, уравнение (2.4) имеет единственное решение 5(е). Ему соответствует единственное решение рЕ уравнения (2.3). Одному значению рЕ отвечают два положения относительного равновесия М_, М+. Таким образом, в плоскости (г, у) имеются две симметричные относительно оси Ог кривые, заполненные такими положениями при варьировании £ или рЕ. Каждая из этих кривых может быть параметризована при помощи параметра £ или, что эквивалентно, при помощи соответствующего ему корня рЕ уравнения (2.3).
Для фактического построения этих кривых надо сначала убедиться, что для значения рЕ, удовлетворяющего уравнению (2.3), уравнения (2.1) и (2.2) определяют вещественное значение у. Для этого в силу уравнения (2.2) должно выполняться неравенство
Я
2
(1 + Ц)2
- 0 < е2
Фе
представимое в безразмерном виде как
^& -1)2 -2 <">
В силу (2.3):
^ -11 = 1(52 -Е2 -1) (2.7)
1 5 ) 2
Тогда, как показано выше, при рЕ, удовлетворяющем уравнению (2.3), выполнена оценка рЕ < Я + £ (строгая при £ > 0). Поэтому правую часть (2.7) можно оценить при помощи неравенства
1(52 -£2 -1) < 2((1 + £)2-£2 - 1) = 6
Использование аналогичным образом свойства рЕ > Я - £ позволяет получить двустороннюю оценку
—£ < —1— Г 4 - и<£
1 + ц
3
5
У 2.8
2.4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
О
в силу которой справедливо требуемое свойство (2.6). Затем следует найти значения величины у из уравнения (2.2). Таких значений оказывается два, и они выражаются в виде
у± =± i2 --
R 2
( R3
P -1
VPE
Л2
(1+ ц)2
Справедливость (2.3) определяет выполнение равенства (2.1).
Теперь можно вычислить значение р Е = рЕЕ, соответствующее точке ответвления двух симметричных относительно оси Oz ветвей равновесий III. Так как при i > 0 решений M+, M- всегда два и они различны, то точка ветвления отвечает единственному значению £ = 0. При этом s = 0, s = 1, и уравнение (2.4) превращается в тождество. Так что точка ответвления решений III совпадает с точкой ответвления решений I и II. Это точк
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.