научная статья по теме МЕДЛЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕУРОВНОВЕШЕННЫХ РОТО РОВ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ РЕЖИМОВ САМОСИНХРОНИЗАЦИИ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «МЕДЛЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕУРОВНОВЕШЕННЫХ РОТО РОВ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ РЕЖИМОВ САМОСИНХРОНИЗАЦИИ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

< 3, 2008

УДК 531.3+534

© 2008 г. Потапенко М.А.

МЕДЛЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННЫХ РОТОРОВ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ РЕЖИМОВ САМОСИНХРОНИЗАЦИИ1

Показано наличие "внутреннего маятника" при возмущении устойчивого режима самосинхронизации нескольких инерционных возбудителей. Для случая двух возбудителей получено уравнение полумедленных колебаний внутреннего маятника.

В статье [1] рассмотрены колебания угловой скорости вращения при пуске и остановке инерционного вибровозбудителя (неуравновешенного ротора), установленного на упругоопертой жесткой платформе и приводимого во вращение двигателем асинхронного типа. Используя метод прямого разделения движений во втором приближении было получено уравнение "полумедленных" колебаний так называемого "внутреннего маятника". Наличие такого маятника играет существенную роль при формировании алгоритма оптимального управления режимом пуска устройства, для которого характерен эффект Зоммерфельда. В [1] приведен также обзор исследований этого эффекта.

В настоящей статье показано, что наличие внутреннего маятника обнаруживается при возмущении устойчивого режима самосинхронизации нескольких инерционных вибровозбудителей. Для случая двух возбудителей получено уравнение полумедленных колебаний внутреннего маятника. Частота этих колебаний существенно больше частоты, соответствующей темпу изменения угловой скорости роторов в режиме пуска, но существенно меньше самой скорости вращения. Примечательно, что полученная формула для частоты этих полумедленных колебаний отличается от соответствующей частоты, найденной в [1], лишь простым, легко интерпретируемым множителем. Значительно более сложным способом - с использованием асимптотических методов и разложением по дробным степеням малого параметра для иной системы полумедленные движения роторов исследованы в [3].

Схема и описание системы. Рассматриваемая система (рисунок) представляет собой жесткую платформу 2, связанную с неподвижным основанием 1 посредством упругого элемента с жесткостью c и линейного демпфирующего элемента с коэффициентом демпфирования р. На платформе установлено два дебалансных вибровозбудителя 3 (неуравновешенных ротора), приводимых во вращение от электродвигателей асинхронного типа; оси роторов перпендикуляры направлению колебаний платформы.

Описанная система представляет собой простейшую систему, рассматриваемую в теории самосинхронизации вибровозбудителей [2]. Она описывается тремя уравнениями:

Ш = Ls(<Ps) - Rs (Ф,) + rnszs (xsin Ф, + g cos ф,), s = 1,2;

2 (1)

Mx+ в x + cx = ^ Mjt j((pj sin Фj + Ф2 cos Ф2 ),

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Грант 05-08-01500) и Гранта Президента РФ

поддержки ведущих научных школ НШ-5649.2006.8.

где ms и Is - соответственно масса и момент инерции ротора s-го вибровозбудителя относительно оси, проходящей через его центр тяжести; Ls - вращающий момент асинхронного электродвигателя; Rs - момент сил сопротивления вращению, обусловленный сопротивлением в подшипниках; M -масса всей системы; е - эксцентриситет ротора; ф5 -углы поворота роторов, отсчитываемые от оси OX по ходу часовой стрелки; x - смещение платформы от положения, соответствующего ненапряженному упругому элементу.

Уравнение движения внутреннего маятника (полумедленных колебаний). Теоретические исследования, подтвержденные многочисленными экспериментами [2], показывают, что система (1) при определенных условиях допускает устойчивые стационарные решения вида ф5 = raí + as + ys(raí), x = x(í, raí), где as - постоянные; ys, x - 2п-периодические функции т = raí с нулевыми средними по этому аргументу. Эти решения соответствуют синхронному вращению роторов возбудителей со средней частотой ra. Вблизи стационарного значения as = const фазовые сдвиги as представляют собой медленно изменяющиеся функции времени í, удовлетворяющие уравнениям

Isas + ksas = osLs(osra) -R0(ra) + - ak,...,akak, ra), s = 1, 2, где

k

Vs = -msesra2(2MA)-1 ^ m¡еj sin (as - a;- - y) -

j = i

вибрационные моменты, а каждая из величин as равна либо 1, либо -1. Первому случаю соответствует вращение ротора s-го возбудителя в положительном направлении, а второму - в отрицательном. Здесь A = J( 1 - X2)2 + 4л2, X = pra-1, p = Je/M, n = P(2Mra)-1, sin y = -2nA~\ Предполагаем, что (i s < ra. Для двух одинаковых вибраторов Ls - Rs = 0 и система приобретает вид

2 -1

Ia1 + k(í1 = -(mera) (2MA) [sin(a1 - a1 - y) + sin(a1 - a2- у)],

2 -1

Ia2 + ka2 = -(mera) (2MA) [sin(a2-a1 -y) + sin(a2-a2-y)].

Очевидно, что синхронным движением соответствуют стационарные значения медленных переменных as = const.

Обозначим a = a1 - a2 и, вычитая из первого уравнения системы (1) второе, получим

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -1

Ia + k (í + (mera ) (p - ra )[ M ((p - ra ) +4 n ra ) ] sin a = 0, (2)

где k - суммарный коэффициент демпфирования.

Уравнение (2) имеет два стационарных решения a = a1 = 0 и a = a2 = п. Первое устойчиво в дорезонансной области ra < p, а второе в послерезонансной ra > p.

Частота полумедленных колебаний. Частота относительных свободных колебаний роторов в обоих случаях определяется выражением

2 2 2 2 2 2 2 2 -1/2

q2 = mera V|p - ra |{MI[(p - ra ) +4n ra ]} .

Примечательно, что эта частота в 72 раз больше частоты полумедленных колебаний одного ротора, найденной в работе [1].

q1 = meraV|p2 - ra2|{2MI[(p2- ra2)2 + 4n2ra2]} 1/2.

Отметим, что такое отличие вполне соответствует отличию частот свободных колебаний груза массы m на пружине жесткости c и двух свободных одинаковых масс m, соединенных пружиной той же жесткости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Блехман И.И., Индейцев Д.А., Фрадков АЛ. Медленные движения в системах с инерционным возбуждением колебаний // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. < 1. С. 25-32.

2. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

3. Печенев А.В. Иерархическое разделение движений в задачах о самосинхронизации механических вибровозбудителей с асинхронным приводом // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1992. < 2. С. 15-22.

Санкт-Петербург Поступила в редакцию 20.XI.2007

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком