МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК: 533.7.011.8
© 2008 г. В. Ю. АЛЕКСАНДРОВ, О. Г. ФРИДЛЕНДЕР
МЕДЛЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА И ЭФФЕКТ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ СИЛЬНО НАГРЕТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ
В медленных течениях неравномерно и сильно нагретого газа, движущегося в режиме сплошной среды (Кп ^ 0), могут действовать температурные напряжения. Теория медленных неизотермических течений газа как сплошной среды с учетом температурных напряжений была развита в 1969-1974 гг. Действие температурных напряжений в газе приводит к некоторым парадоксальным эффектам. Один из этих эффектов - изменение направления силы, действующей на сферическую частицу, на противоположное при ее движении в стоксовом режиме течения. Эффект подсасывающей силы проявляется при больших, но конечных значениях перепада температур между частицей и газом. В работе изучается влияние действия температурных напряжений на силу сопротивления сильно нагретой сферической частицы, медленно движущейся в газе при малых значениях числа Кнудсена (М ~ Кп ^ 0), при малых, но конечных значениях числа Рейнольдса (Яе ё 1), линейной зависимости коэффициентов переноса от температуры (ц ~ Т) и больших, но конечных значениях перепада температур ((Тк - Т^)/Т^ ~ 1). Используется разностный метод численного решения двух различных систем уравнений, каждая из которых моделирует медленное течение газа как сплошной среды: упрощенных уравнений Навье-Стокса и модифицированных уравнений Навье-Стокса с учетом действия температурных напряжений.
Ключевые слова: сопротивление сферы, медленные течения газа, температурные напряжения в газе, численное исследование.
Проблема движения тела сферической формы в газе и, в частности, задача об определении величины силы сопротивления - одни из основных при любом режиме движения тела. Если скорость движения тела мала в сравнении со скоростью звука, то из классических экспериментальных и теоретических результатов следует, что в режиме сплошной среды (Кп ^ 0) уравнения Навье-Стокса корректно описывают закономерности движения сферических частиц, температура которых равна температуре газа. В частности, при очень медленных движениях, когда число Рейнольдса много меньше единицы, сопротивление сферической частицы, движущейся с постоянной скоростью, может быть вычислено с помощью уравнений линейного приближения - уравнений Стокса (см. [1]). При этом предполагается, что отсутствует первоначальный нагрев частицы, т.е. температура частицы и газа во всем поле течения остается одной и той же.
Исследование течений газа в струе двигателей, когда в потоке существуют капельки несгоревшего топлива, привели к пониманию возможности квазистационарного режима течения около частиц, при котором температура частиц может значительно превышать температуру окружающего газа [2]. Влияние неизотермичности течения газа на величину сопротивления сферической частицы в первом по малому числу Рейнольдса приближении было теоретически выяснено в [3] при использовании уравнений Навье-Стокса. При этом предполагалось, что температура частицы однородна и сильно отличается от температуры набегающего потока. Показано, что для правильного вычисления полей скорости в стоксовом режиме обтекания можно учитывать только первый член асимптотического ряда по числу Рейнольдса для скорости. Однако при этом следует учитывать изменения плотности и коэффициентов переноса не только из-за центрально симметричного поля температуры нулевого приближения, но и следующего,
первого по числу Рейнольдса, несимметрично возмущенного поля температуры. Для определения граничного условия для возмущенной части температуры вдали от сферической частицы в работе проведено асимптотическое сращивание решений в ближней и дальней областях течений [4]. В результате этого теоретического исследования было показано, что использование уравнений Навье-Стокса с коэффициентами переноса, зависящими от температуры, приводит к увеличению коэффициента сопротивления по сравнению со стоксовым значением.
Экспериментальных работ по определению величины силы сопротивления нагретых сферических частиц недостаточно. В одной из последних работ [5] изучается смешанная вынужденно-свободная конвекция при отношении температур сферической частицы и воздуха, слегка превышающем двойку. Выделить из полученных данных только влияние перегрева частицы на сопротивление не представляется возможным. Авторы этой работы пользуются эмпирическим выражением для силы сопротивления сферической частицы в стоксовом режиме в форме
ц( 0.5 (Т + Т„))
Рз1 = -—, ^ = г (0.1)
Здесь ^ - классическое выражение для силы сопротивления Стокса в несжимаемом изотермическом газе, аргумент коэффициента вязкости - средняя температура, равная полусумме температур газа и частицы. Экспериментальные данные авторов [5] подтверждают справедливость аппроксимации (0.1). Для случая линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры, выражение (0.1) может быть представлено в следующем виде:
^ = ^0.5[( 1 + (Тк/Т„))] (0.2)
С другой стороны, в [3] при использовании уравнений Навье-Стокса, при линейной зависимости коэффициентов переноса от температуры и малой разности температур газа и частицы, строго получен результат
= ^0.5[( 11/12) + (13/12)(Тк / Т„)] (0.3)
Сравнивая аппроксимацию (0.2) и результат первого приближения по числу Рейнольдса (0.3), естественно прийти к выводу о возможной погрешности измерений при неизотермическом обтекании частицы в 10%.
1. Действие температурных напряжений в медленных течениях. Исследование медленных неизотермических течений газов было начато уже в конце XIX века. При этом были открыты явление термофореза частиц (движение частиц, взвешенных в неоднородно нагретом газе, из области нагретого газа в область более холодного) и явление термомолекулярной разности давлений, возникающей на концах капилляра, находящихся при разных температурах. Изучение этих эффектов привело к открытию условия температурного скольжения газа у поверхности твердых тел в режиме течения газа как сплошной среды (Максвелл, Рейнольдс) и к построению термодинамики необратимых процессов (Онзагер, де Гроот). В последующем на этом пути было открыто явление термодиффузии, сыгравшее столь значительную роль в разделении изотопов при осуществлении атомных проектов разных стран.
Ранние теоретические исследования медленных течений газа в режиме сплошной среды велись в основном в рамках линейного по градиентам температуры приближения. Считалось, что уравнения Навье-Стокса удовлетворительно описывают течения простого одноатомного газа в этом режиме. Считалось также, что границы их применимости определяются либо физико-химическими процессами, происходящими в газах, либо переходом к очень плотным средам, либо, наконец, нарушением режима сплошной сре-
ды (т.е. при Кп ^ 0, когда требуется описание течений разреженного газа с использованием кинетического уравнения Больцмана). До начала 70-х годов прошлого века считалось, что при математическом моделировании течений однокомпонентного одноатомного газа как сплошной среды кинетическая теория газов необходима только для определения связи коэффициентов переноса с потенциалом межмолекулярного взаимодействия. В частности считалось, что температурные напряжения, существование которых теоретически было предсказано еще Дж.К. Максвеллом [6], а строгий вывод дан Д. Барнеттом [7] (см. также [8]), всегда малы по сравнению с вязкими напряжениями. При более тщательном анализе медленных неизотермических течений газа как сплошной среды оказалось, что требуется пересмотр самих уравнений движения. При асимптотическом (по малому числу Кнудсена, Кп ^ 0) построении теории медленных течений газа как сплошной среды при сильной теплопередаче необходим учет действия температурных напряжений в газе.
Учет нелинейных по градиентам температуры эффектов в простом газе сделан в работах коллектива сотрудников ЦАГИ [9-11]. Теоретически было показано, что в режиме сплошной среды даже в случае простого одноатомного газа существует класс течений, где температурные напряжения приводят не к малым поправкам, а являются определяющими. Это класс медленных неизотермических течений газа как сплошной среды при сильной теплопередаче (число Рейнольдса порядка или меньше единицы, число Кнудсена много меньше единицы, относительные перепады температуры, вызванные внешними потоками тепла, порядка единицы). Температурные напряжения имеют второй порядок малости по числу Кнудсена:
т
Ра-
(ц2 д2Т ц2 дТдт}
Р Т д X-д Х- р Т2 д Х; д Х-
■ р Кп2
Необходимость учета действия температурных напряжений объясняется тем, что и вязкие напряжения в медленных течениях, когда число Маха мало, М < 1, а число Рейнольдса, по порядку величины, равно единице, имеют тот же второй порядок по числу Кнудсена. Действительно, скорость в таких течениях имеет порядок величины V ~ ц/рЬ ~ аКп (а - скорость звука, Ь -характерный размер течения). При этом напряжения сдвига (вязкие напряжения) можно оценить так:
р£ ~ ц V/Ь ~ ц2/рЬ2 ~ р Кп2 ~ рТ
При теоретическом исследовании таких течений был обнаружен ряд парадоксальных эффектов. Во-первых, было обнаружено, что даже в отсутствие массовых сил и внешних перепадов давления в температурно-неоднородных газах температурные напряжения вызывают движение газа (за исключением случаев полной симметрии границ потоков). Во-вторых, нагретые или охлажденные частицы, температура поверхности которых однородна, отталкиваются друг от друга. В-третьих, при стоксовом обтекании (Яе ^ 1) сильно нагретой (Тк - Тм)/Тм а 1) сферической частицы, температура поверхности которой однородна, на эту частицу действует не сила сопротивления, а сила, ускоряющая движение частицы. Кроме того, было показано, что теплопередача в газе не описывается уравнением Лапласа и необходимо учитывать конвективный перенос тепла даже в том случае, когда внешние причины движения газа отсутствуют (т.е. отсутствуют вынужденная и гравитационная конвекции). Эти течения вызываются действием на газ температурных напряжений в объеме газа. Их действие приводит к скоростям движения газа порядка аКп и силам, действующим на ч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.