АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 5, с. 724-727
АКУСТИКА ЖИВЫХ СИСТЕМ. БИОЛОГИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
УДК 534.64:576.7
МЕХАНИЧЕСКИМ ИМПЕДАНС БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ В МОДЕЛИ С ЗАДАННЫМИ СМЕЩЕНИЯМИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
© 2007 г. Е. М. Тиманин
Институт прикладной физики РАН 603950 Н. Новгород, ГСП1-20, ул. Ульянова, 46 E-mail: eugene@appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 8.12.05 г.
Целью работы являлась разработка модели формирования механического импеданса биологических тканей, регистрируемого в экспериментах по вдавливанию в ткани перпендикулярно поверхности круглого плоского колеблющегося диска при наличии контакта с поверхностью не только диска, но и неподвижного корпуса измерительного устройства. Записаны аналитические выражения в виде квадратур для механического импеданса тканей в модели полупространства, на поверхности которого заданы смещения. Проведены численные расчеты и установлено соответствие эксперименту эффектов, связанных с фиксацией поверхности тканей корпусом измерительного устройства.
PACS: 43.80.-n, 43.40.Yq, 87.19.Rr.
В связи с активным развитием в последние годы ультразвуковых и ЯМР способов визуализации сдвиговых упругих параметров биологических тканей [1, 2] наблюдается повышенный интерес к различным контактным способам измерения модулей сдвиговой упругости и сдвиговой вязкости тканей, в том числе, к способам их определения на основе регистрации механических передаточных (импедансных, жесткостных) характеристик методом вдавливания колеблющегося штампа (диска) [3, 4]. Для определения вязкоупругих модулей тканей по их импедансным характеристикам необходима физическая модель взаимодействия колеблющегося диска с тканями, воспроизводящая экспериментально наблюдаемые свойства. К настоящему времени можно выделить три основных подхода к разработке таких моделей. Первый подход [3-6] основан на приближенной замене импеданса тканей при взаимодействии с круглым, плоским в плане поршнем, колеблющимся на поверхности, на импеданс тканей при взаимодействии с эквивалентной сферой, колеблющейся внутри безграничной среды. Второй подход [7-9] основан на строгой постановке динамической контактной задачи о колебаниях диска на поверхности тканей со смешанными граничными условиями на поверхности. Третий подход [4, 10-14] связан с постановкой этой задачи в приближении "силового источника".
Все перечисленные выше модели соответствуют экспериментальной ситуации, когда колеблющийся поршень с плоским основанием касается поверхности объекта по кругу фиксированного
радиуса, вне которого поверхность является свободной. В экспериментах возможна ситуация, когда тканей касается не только колеблющийся диск, но и окружающий его неподвижный корпус измерительного устройства. Такая измерительная схема дает определенные преимущества, так как позволяет крепить датчик не на внешние координатные устройства, а непосредственно на исследуемый объект (тело человека). При этом снижаются ограничения на движения человека, и легче обеспечивается стабильность контакта штампа с тканями. Данная работа посвящена теоретическому рассмотрению такой измерительной схемы.
Если модели с силовым источником колебаний [4, 10-14] основаны на задании на поверхности тканей граничных условий по напряжениям (нулевые вне диска и ненулевые под ним), то описание измерительной схемы с контактом корпуса устройства вне диска может быть проведено при задании на поверхности тканей граничных условий по смещениям (нулевые вне диска и ненулевые под ним).
Общее выражение для силы реакции тканей, действующей на диск радиуса а, может быть записано в виде
а а
Р = 0)2пЫг = 2л|сгг(к, 0)кс!к^J0(kr)Ыг =
= 2пa^ozz(k, 0) Jj (ka)dk.
0
0
0
0
Здесь к - параметр преобразования Ханкеля; ^(ка) и ^(ка) - функции Бесселя; (к, 0) - образ Ханкеля от напряжения с22(г, г) на поверхности г = 0.
Общие соотношения для образов Ханкеля от смещений в многослойной упругой среде приведены в работе [15]. Система граничных условий на поверхности полупространства г = 0 из них записывается в следующем виде:
- к2А2(к) - кВ(к) = к, О), - кк1А2(к) - кВ2(к) = й\(к, О) = О.
(2)
Здесь А2(к) и В2(к) - произвольные функции, которые входят в общее решение волнового уравне-
ния; параметр к; = ^к - к - определяется волновым числом волн объемной сжимаемости к;
й (к, 0) и й1 (к, 0) = 0 - образы Ханкеля 0-го и 1-го порядка от осевых и радиальных компонент смещений поверхности. Осевые компоненты будут приниматься отличными от нуля под диском, а радиальные смещения будут считаться равными нулю на всей поверхности.
Общие соотношения для образов Ханкеля от напряжений в многослойной упругой среде также приведены в работе [15]. Выражение для образа напряжения на поверхности полупространства отсюда записывается в виде
огг(к, О) = 2цк2к,А2(к) + |(к2 + к2)В2(к), (3)
где | - модуль сдвига среды; параметр к, = л/к2-~к21 определяется волновым числом волн сдвига к. Подставляя в (3) решение системы уравнений (2), и подставляя результат в формулу (1), получаем для силы реакции следующее выражение
^ = 2п а Л (2к ^ - к - ка) й (к, О) ёк. (4)
к - к; к,
о ' '
Осевые смещения поверхности полупространства могут быть заданы аналитически, например, в следующем виде
й(г, О) =
йО, г < а,
0.5 й0
1 + 008
п ( г - а ) Ь - а
О, г > Ь.
а < г < Ь,
(5)
Такая функция обеспечивает плавное сопряжение амплитуды колебательного смещения й0 в области под диском радиуса а о нулевым колебательным смещением под неподвижным корпусом с внутренним радиусом Ь. Зона сопряжения а < г < Ь
соответствует воздушному зазору между колеблющимся диском и корпусом, который будет считаться малым по сравнению с радиусом а.
Расчеты механического импеданса тканей (7), как отношения силы реакции тканей и скорости диска, проведены по формуле (4) в Маткаде численно, включая вычисления образов Ханкеля
й (к, 0) от функции (5). Результаты приведены на рис. 1а,б вместе с результатами аналогичных расчетов в модели с силовым источником колебаний.
Для сопоставления, на рис. 1в,г приведены результаты соответствующего эксперимента на бицепсе средствами аппаратно-программного комплекса, описанного в работе [14]. Использовался датчик импедансных характеристик с плоским основанием в виде кольца с внутренним диаметром 8.5 мм и внешним диаметром 40 мм. В центре отверстия в основании имелся колеблющийся диск диаметром 8 мм, который в одном случае значительно выступал из корпуса, а в другом имел контактную поверхность на уровне поверхности основания. В обоих случаях обеспечивалась одинаковая статическая сила давление диска на ткани равная 0.2 Н и задавались его "шумоподобные" колебания амплитудой около 0.1 мм со спадающим спектром смещений, лежащим в диапазоне частот от 30 до 300 Гц. Регистрировались спектры ускорения диска и силы сопротивления его движению со стороны тканей, по которым находились частотные зависимости механического импеданса тканей.
Как установлено уже в работах [5, 16], механический импеданс биологических тканей, регистрируемый с помощью колеблющегося диска, представляет собой импеданс механического резонансного контура, составленного квазистатической упругостью тканей, присоединенной колеблющейся массой и демпфированием, связанным как с квазистатическим вязким сопротивлением движению диска, так и с потерями на излучение им волн, преимущественно сдвиговых. На приведенных графиках упругость тканей проявляется в виде отрицательного участка кривых 1т 7, а масса - как положительный линейный участок этих кривых. Связь присоединенной массы и демпфирования с излучением преимущественно сдвиговых волн видна из сопоставления параметров / = кр и величины к1а. Как видно из графиков, величина / достигает в рабочем диапазоне частот достаточно больших значений, в то время как величина ка < 0.005, то есть относительно волн объемной сжимаемости наблюдается глубокая квазистатика.
Рассматривая разные схемы измерения импеданса, видим, что за счет фиксации поверхности тканей корпусом измерительного устройства и расчет, и эксперимент показывают увеличение упругого и инерционного сопротивления движению диска и снижение демпфирования. Увеличе-
726
ТИМАНИН
Re Z 10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
(a)
j_i_i_i_i_i
4 5 6
Im Z 10
5
0
-5
-10
-15
10
5
0
-5
-10
-15
0
(г)
3 f
Нормированный на величину Zo = па2рС{ механический импеданс тканей при взаимодействии с колеблющимся диском на поверхности. (а), (б) - расчет в модели полупространства с заданием напряжений (1) и смещений (2); (в), (г) - соответствующие экспериментальные зависимости. По горизонтали безразмерная частота/ = к^а. Параметры модели, принятые при расчетах: р = 1100 кг/м3; С1 = 1570 м/с; ц = ц0 + гюП, где Цд = 1.945 кПа, п= 1.906 Па с; а = 4 мм; Ь = 4.2 мм.
2
0
ние упругости тканей на низких частотах можно интерпретировать как затруднение деформирования среды при наложении ограничений на смещение ее поверхности вне диска. Увеличение присоединенной к диску колеблющейся массы тканей является несколько неожиданным, но наблюдается и на теоретических, и на экспериментальных графиках. Уменьшение демпфирования на теоретическом графике можно интерпретировать как уменьшение потерь энергии на излучение волн колеблющимся диском, по-видимому, за счет поверхностных волн, которые гасятся при появлении контакта корпуса с тканями. На экспериментальных графиках эффект уменьшения демпфирования проявляется на низких частотах, но его частотная зависимость оказывается более крутой. По-видимому, за счет торможения поверхности рядом с источником колебаний все-таки происходит не только гашение поверхностных волн, но и улучшение условий излучения других типов волн (возможно, слоевых мод), не учитываемых в модели полупространства.
Таким образом, при измерении механического импеданса тканей датчиками с колеблющимся штампом, не выступающим из корпуса, существуют значимые эффекты, связанные с влиянием корпуса. Для оценок модулей упругости и вязкости по результатам таких измерений необходимо использовать модели, учитывающие это влияние.
В частности, может быть использована и модель, предложенная в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.