научная статья по теме МЕХАНИЗМ ЗАТУХАНИЯ ТОРСИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГО ПОДВЕШЕННОГО ЦИЛИНДРА С ЖИДКОСТЬЮ Физика

Текст научной статьи на тему «МЕХАНИЗМ ЗАТУХАНИЯ ТОРСИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГО ПОДВЕШЕННОГО ЦИЛИНДРА С ЖИДКОСТЬЮ»

РАСПЛАВЫ

1 • 201:5

УДК 544.08,544.2,532.5

© 2015 г. В. П. Бескачко, О. А. Головня1, А. Е. Коренченко

МЕХАНИЗМ ЗАТУХАНИЯ ТОРСИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГО ПОДВЕШЕННОГО ЦИЛИНДРА С ЖИДКОСТЬЮ

В связи с задачами вискозиметрии исследован механизм затухания торсионных колебаний цилиндра, подвешенного на упругой нити и заполненного ньютоновской жидкостью. Математическая модель процесса сформулирована в виде сопряженной краевой задачи о совместном движении полого кругового цилиндра и содержащейся в нем жидкости. Движения жидкости описываются полной системой уравнений баланса импульса при единственном допущении о цилиндрической симметрии течения. Поставленная задача решается численно сеточными методами. Анализ движений жидкости в цилиндре конечной длины указывает на важную роль торцевых эффектов в процессах затухания избыточного момента импульса, запасенного в системе при старте колебаний. Учет этих эффектов приводит к существенной зависимости времени установления колебаний от способа их возбуждения. Обсуждаются вытекающие отсюда следствия для практики экспериментов.

Ключевые слова: металлические расплавы, вискозиметрия, крутильный вискозиметр, численные методы.

ВВЕДЕНИЕ

Интерпретация опытных данных всегда опирается на теоретическую схему, устанавливающую связь между результатами прямых измерений и исследуемым свойством. Схема должна учитывать все механизмы взаимодействия измерительного прибора с изучаемым объектом, способные повлиять на оценку свойства больше, чем случайная погрешность измерений. Среди прочих этот принцип в области физико-химических экспериментов явно сформулирован Международным союзом по чистой и прикладной химии (ШРАС) довольно давно [1]. Он успешно выполняется в вискозиметрических экспериментах с низкотемпературными жидкостями, проведенных с помощью различных методик, но встречает трудности в применении к высокотемпературным металлическим расплавам [1,2], где основным инструментом исследования является крутильный вискозиметр. В последнем случае разброс данных о вязкости, полученных разными авторами, на порядки превосходит ошибки в ее определении, связанные с погрешностью прямых измерений. Возможно, это указывает на несовершенство "рабочих уравнений", применяемых в настоящее время для обработки опытных данных, а именно на присутствие в опытах эффектов, этими уравнениями не учитываемых, например, эффектов, связанных с присутствием магнитного поля [3]. Помимо этой, может существовать и множество других причин, из которых в литературе чаще всего обсуждаются следующие: 1) влияние на вязкость расплава примесей в неконтролируемо малых концентрациях [4], 2) присутствие на поверхности образца высоковязких или твердых фаз, возникающих вследствие взаимодействия расплава с атмосферой или материалом контейнера [5], 3) существование препятствий для достижения образцом состояния термодинамического равновесия [4] и пр.

Роль каждого из рассмотренных выше обстоятельств зависит от условий экспериментов: химической природы изучаемого образца, состава атмосферы в рабочем объеме установки, материала контейнера, температуры и т.д. Однако независимо от них должно выполняться общее требование: данные о движении вискозиметра должны обрабатываться

^о1оупуа@1тр.игап.ги.

начиная с того момента, когда становятся справедливыми предположения [6] о характере движения расплава, положенные в основу "рабочих уравнений". Из этих предположений упомянем следующие: 1) единственной существенной компонентой скорости V = = (Уг, Кр> V,) течения расплава является азимутальная компонента Уч, а оставшимися компонентами V и У1, создающими так называемые вторичные течения, можно пренебречь; 2) колебания а(?) любой существенной степени свободы, включая полевые (относящиеся к полю скоростей расплава), должны происходить в режиме установившихся затухающих колебаний, а(() = а0 exp(-pt)cos((ot + ф0), где а0 и ф0 — некоторые константы, зависящие от выбора движущейся точки, ар и ю — константы, от этого выбора не зависящие.

Если рассматривается режим установившихся затухающих колебаний, когда все переходные процессы уже закончились, то способы возбуждения вращательного движения подвеса (начальные условия) несущественны. Длительность этих процессов, однако, зависит от способа возбуждения. Выполненные ранее численные эксперименты [7] касались условий, когда в начальный момент времени жидкость покоится, а цилиндр удерживается в состоянии покоя в положении, повернутом на некоторый угол 90 относительно положения равновесия.

В экспериментах с металлическими расплавами часто используется иной способ возбуждения колебаний — с помощью вращающегося магнитного поля, т.е. так же, как раскручивается ротор в электрическом двигателе. В этом случае под действием электромагнитных сил раскручивается как сама жидкость, так и подвес вместе с цилиндром, если последние представляют собой проводники или содержат проводящие части. Идеализацией этого способа возбуждения являются следующие начальные условия: при ? < 0 цилиндр и жидкость вращаются, как твердое тело с угловой скоростью О, а начиная с момента ? = 0 к подвесу прикладывается момент упругих сил со стороны начинающей закручиваться нити.

В настоящей работе проводится численное исследование поведения жидкости в крутильном вискозиметре при различных начальных условиях с целью уточнения механизма релаксации к режиму затухающих колебаний и определения длительности интервала установления этого режима.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Крутильные колебания цилиндра, заполненного вязкой жидкостью, описываются уравнением движения подвеса вискозиметра:

I— = -к0 + М, ^ = -, (1)

где / и 9 — угловая скорость и угол поворота подвеса, I — его момент инерции, к — крутильная жесткость нити и М — момент сил, действующий на цилиндр со стороны жидкости. Для расчета момента М вычисляется поле скоростей жидкости в цилиндрической системе координат с помощью уравнения Навье Стокса

— + = -1 grad р + vAV (2)

дt р

и уравнения непрерывности для несжимаемой среды

div V = 0 (3)

в приближении осевой симметрии течений, здесь V = {V V., Vг} — вектор скорости жидкости. В качестве граничных условий используется условие прилипания ко всем твердым поверхностям. Таким образом, представленная система уравнений движения совпадает с таковой, более подробно рассмотренной в [7]. Описанные выше граничные условия (старт из состояния твердотельного вращения) математически записываются как

Vlp(r,г,0) = Пг, V.(г, г, 0) = Vг(г,г,0) = 0, -(0) = П, 9(0) = 0. (6)

Для сравнения рассматривается также старт из состояния покоя при закрученной нити, изученный в [7]:

V(r, z,0) = 0, f(0) = 0, 9(0) = 0о. (7)

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Численное решение сопряженной краевой задачи (1)—(7) находили методом конечных разностей с использованием пространственных сеток максимальной размерности 40 х 40 в осевом и радиальном направлениях. Дискретизация уравнений для полевых

переменных проводилась по схеме центральных разностей с точностью (Ах)2 по пространственным переменным. Возникающие разностные уравнения линеаризовали методом Ньютона, а системы линейных уравнений решали методом исключения Гаусса, адаптированного для разреженных матриц [8]. В расчетах параметр формы Y = H/R изменялся в пределах от 0.3 до 7, параметр ß = I¡ 1ж (Ix — момент инерции "замороженной" жидкости) варьировался в диапазоне от 1 до 20, а вязкость жидкости брали из интервала (10-7 < v < 8 • 10-6) м2/с, свойственного маловязким жидкостям типа металлических расплавов, воды и пр. В расчетах задачу приводили к безразмерному виду введением безразмерных переменных r = r/R, z = z/R, t = t ■ V0/R, V = V/V0, где V0 = v/ R — некоторый внутренний масштаб скорости.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

На рис. 1 показаны начальные этапы эволюции во времени полей (безразмерной) угловой скорости ю = V¡r жидкости в цилиндре при различных способах возбуждения колебаний: в первой колонке — при начальных условиях (6), во второй — при условиях (7). Параметры жидкости соответствуют ртути. В обоих случаях расчеты выполнялись с учетом вторичных течений, причем в последнем из них начальный угол поворота 90 («0.5 рад) примерно соответствовал начальной амплитуде углового перемещения цилиндра в первом случае. Период T = 2л/П, с которым вращались жидкость и цилиндр до момента времени t = 0, был вдвое больше периода собственных колебаний пустого подвеса (T = 2T0). Во всех экспериментах считалось, что ß = 2, у = 1. В третьей колонке показаны распределения угловой скорости для тех же условий (6), что и в первой колонке, но в этих расчетах вторичными течениями пренебрегалось с самого начала. Этот случай соответствует приближениям, которые делаются в используемых ныне аналитических вискозиметрических теориях [6] с той только разницей, что в них считается, что режим "установившихся затухающих колебаний" уже наступил. Поля, представленные в каждой строке рис. 1, отвечают одному и тому же моменту времени tn = nAt (n = 1—5), где Дt = 70/5, так что эволюция течений прослеживается на интервале порядка одного периода колебаний.

Принципиальная разница между условиями (6) и (7) заключается в том, что в начальный момент времени полный момент импульса жидкости в условиях (6) отличен от нуля и максимален, а в условиях (7) — равен нулю. Это означает, что в первом случае режим установившихся колебаний наступит никак не раньше, чем этот избыточный момент диссипирует под действием вязких сил. Пока этого не произошло, к цилиндру будет приложен добавочный момент сил, знак которого не изменяется во времени и который обусловлен вязкой связью между вращающимся жидким ядром и стенками цилиндра. Колебания цилиндра под действием упругих сил будут происходить на фоне действия этого момента, что на опыте должно выглядеть как дрейф положения равновесия.

Априори можно предположить, что в условиях (6), когда цилиндр начнет тормозиться упругими силами нити, в жидкости возникает область — ядро, продолжающее вращение с прежней угловой скоростью. Его границы с течением времени будут размываться диффузией угловой скорости от стенок, объем постепенно уменьшаться, пока ядро не исчезнет вов

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»