КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2004, том 49, № 5, с. 905-908
РЕАЛЬНАЯ СТРУКТУРА КРИСТАЛЛОВ
УДК 539.4
МЕХАНИЗМЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УПОРЯДОЧИВАНИЯ ДИСЛОКАЦИЙ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ КРИСТАЛЛОВ1
© 2004 г. Г. Ф. Сарафанов
Нижегородский государственный педагогический университет E-mail: sarafanov@sinn.ru Поступила в редакцию 31.01.2003 г.
Рассматриваются механизмы пространственного упорядочивания дислокаций при пластической деформации кристаллов. Предлагается последовательный вывод системы эволюционных уравнений, учитывающей эффекты упругого и корреляционного взаимодействия винтовых дислокаций. Исследование проводится при учете динамики пространственных флуктуаций плотности дислокаций.
В последнее время анализ общих закономерностей поведения неравновесных систем, процессов их структурной перестройки проводится, как правило, на основе теории диссипативных структур [1, 2]. Базовой моделью, описывающей процессы формирования такого рода структур, исторически служила система реакционно-диффузионных уравнений, которая в области неустойчивости сводится к универсальному классу уравнений Свифта-Хоенберга [2, 3]. Применительно к проблеме формирования неоднородных дислокационных структур подобная схема анализа явлений самоорганизации в ансамбле дислокаций использована, например, в [4-7].
Несмотря на широкий спектр возможных решений, этот класс уравнений имеет определенные ограничения с точки зрения описания дислокационных структур. Во-первых, известно [8, 9], что наблюдаемые в эксперименте дислокационные ячеистые структуры трудно идентифицировать как строго периодические образования. Скорее можно говорить о "квазикристалличности" и "турбулентности" дислокационных структур [8]. Однако такого рода решения, не могут быть получены в рамках уравнений Свифта-Хоенберга [3]. Во-вторых, возникновение структур на основе реакционно-диффузионных моделей связано с развитием неустойчивости Тьюринга, которая возможна только при наличии нескольких (минимум двух [7, 10]) компонент в системе. Последнее накладывает довольно жесткие требования на кинетику дислокаций, что снижает вероятность расслоения однородного состояния по данному генерационно-рекомбинационному механизму.
В связи с этим возникает вопрос об области применимости реакционно-диффузионных моде-
1 Работа была представлена на симпозиуме "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах (ОМА)". Сочи. 2002.
лей для описания эволюции дислокационного ансамбля и рассмотрении альтернативных механизмов неустойчивости однородного распределения дислокаций.
На развитой стадии пластической деформации, когда плотность дислокаций велика, диффузионное взаимодействие компонент системы становится слишком грубым приближением, поэтому приходится учитывать упругое взаимодействие дислокаций и динамику флуктуаций. Существование "зарядовой" характеристики дислокаций (вектора Бюргерса) обусловливает развитие в дислокационном ансамбле явлений, характерных для системы заряженных частиц [11, 12], а экранирование дальнодействующего поля приводит к эффективному (корреляционному) притяжению порождающих это поле частиц и расслоению однородного состояния [13, 14]. В [15] на основе предложенной в [14] системы уравнений динамики дислокационного ансамбля с физически заданным корреляционным потоком дефектов исследованы механизмы формирования неоднородных дислокационных структур. Показано, что при достижении в локальном объеме критических неравновесных условий, соответствующих корреляционной неустойчивости, в системе спонтанно образуются дис-сипативные дислокационные структуры различных типов.
В настоящей работе предлагается последовательный вывод системы эволюционных уравнений, учитывающей эффекты упругого и корреляционного взаимодействия винтовых дислокаций. Рассмотрение проводится при учете динамики пространственных флуктуаций плотности дислокаций, что позволяет обосновать предложенный в [14] корреляционный поток дефектов.
Исходная система [14] представляет собой совокупность самосогласованных уравнений для ансамбля винтовых дислокаций и является усредненной на масштабе Ь0, выбираемом из условия
г < Ь0 < Яс (г - среднее расстояние между дислокациями, Яс - радиус кривизны дислокационных линий). Если масштаб флуктуаций порядка или превышает Ь0, то необходим учет высших моментов.
Для выяснения роли таких флуктуаций используем метод моментов в приближении вторых корреляционных функций [16]. Представим плотность дислокаций в виде ра(г, г) = ра(г, г) + 5ра(г, г), где ра(г, г) и 5ра(г, г) - соответственно среднее значение и флуктуация плотности дислокаций. Подставим это разложение в исходную систему и разделим масштабы, полагая, что характерные пространственный и временной масштабы (Ьс и Тс) изменения ра(г, г) существенно превышают масштабы изменения флуктуаций (гс и тс). Тогда система эволюционных уравнений для средних величин принимает вид
^ра + Шу Рауа = ра( { Ра }) - ^5Уа) , (1)
Уа( Г, t) = Va + Mafa( Г, t) , diV fa ( Г, t) = Gba ^ bapa( Г, t) ,
(2)
ный фазовый переход, обусловленный этими процессами [1].
Данная система уравнений не является замкнутой, так как в нее входит дополнительное слагаемое Ггг = &у(5ра5уа), определяемое флук-туациями. Уравнения для флуктуаций ввиду их предполагаемой малости представим в линеаризованном виде, используя приближение локального стационарного состояния
д + Va V^Spa X5Pa = -Pa V5va,
(3)
S Va (Г) = -Ma£j5pc( r')
Э Wac( |г - r'| ) " - dr'. (4)
Э r
где va(r, t) - средняя скорость скольжения дислокаций, Va - постоянная составляющая скорости дислокаций (дрейфовая скорость), обусловленная напряжением течения aext в плоскости скольжения (Va = M,a ba aext), fa - сила, действующая на единицу длины дислокации со стороны системы дис-
a
локационных зарядов, M - тензор подвижности дислокаций, который имеет отличные от нуля ди-
aa
агональные компоненты Мц и M±, характеризующие соответственно подвижность дислокаций в плоскости скольжения и в плоскости их поперечного скольжения (обычно M¡ > MI [17]), a - индекс, различающий дислокации по возможному направлению вектора Бюргерса дислокации Ьа по отношению к l (l - единичный вектор, касательный к линии дислокации), причем в рассматриваемом случае ансамбля винтовых дислокаций (ba | | 1) вектор Бюргерса дислокации принимает два возможных значения ba = zab = ±b (za = ±1) и соответственно ba играет роль дислокационного заряда, а индекс a характеризует тип дислокаций с определенным знаком заряда, G - модуль сдвига, r = (x, y) - двумерный радиус-вектор (r ± 1). В нелинейных функциях Fa, характеризующих генерацион-но-рекомбинационные процессы, пренебрегли флуктуациями плотности, что является оправданным, если система не претерпевает неравновес-
Здесь Wаc(г) = (ОЬаЬс /2п)1п(г0/г) - энергия взаимодействия двух дислокаций с дислокационными зарядами Ьа и Ьс (г -расстояние между дислокациями, г0 ~ Ь - радиус ядра дислокации) [17], т - время релаксации к квазистационарному состоянию ра(г, г), в котором зависимость от координат и времени при анализе динамики флуктуаций считается параметрически заданной. Вид слагаемых в (3) связан с симметрией задачи относительно знака дислокаций и выполнением условия
^аЬаРа = 0, отражающего факт сохранения вектора Бюргерса при различных дислокационных реакциях и размножении [17]. Кроме того, в системе (3), (4) полагаем выполненным условие квазинейтральности £аЬара = 0.
С учетом (4) поток дислокаций I = (5ра5уа) принимает вид
3СГ(г, г) = -ма^|<5ра(Г, г)5рс(г', г)):
дW (Iг'-Г) X w аc \ 1 1 - dr' dr
(5)
и имеет смысл корреляционного потока, так как обусловлен корреляцией флуктуаций плотности дислокаций. Таким образом, задача сводится к вычислению коррелятора в выражении (5), который можно представить в виде [16]:
<5pa(Г, t)SPc(Г', t)> =
= Pa ( Г, t )p c ( Г', t) gac( Г, Г' ) + Sacpa ( Г', t )S( Г - Г' ).
(6)
Здесь gac(г, г') = gаc(г - г') - двухчастичная корреляционная функция, требующая определения (в приближении локального стационарного состояния она зависит только от разности координат), 8(г) - дельта-функция, 5ас - символ Кронекера.
a
c
a
c
МЕХАНИЗМЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УПОРЯДОЧИВАНИЯ ДИСЛОКАЦИЙ 907
Аналогично [16] представим флуктуацию
о. , ч 0 о. ind о. sou
5ра(г, t) в виде двух частей 5ра = 5ра + 5ра , которые определяют флуктуации, индуцированные упругим полем и дислокациями как источниками поля.
Для удобства введем переменные р = ра =
= р+ + р- и I = ^аЬара/ b = (р+ - р-), характеризующие суммарную плотность дислокаций и дислокационный заряд. Тогда для 5psou, 5lsou имеем
I sou , ж т V-7, с- xsou 1 ~ sou ^
dt 5p + ( V V)5 I + ^Öp = 0,
I c »sou , лт r-,. sou „
-г-ö I + ( V V)5p = 0. dt
(7)
Так как мы рассматриваем задачу на фоне квазистационарного состояния и фактически имеем дело с крупномасштабными кинетическими флук-туациями, то естественно предположить т <§ тс. При этом предположении из (7) находим однородное уравнение для /яои, из которого следует уравнение для двухвременного коррелятора
It + Т( VV) 2
<5I51 sou> r -
= 0.
(8)
<51 5 I sou>
ю, k =
2 p ( r' )т ( kV) 2
2 2 4
ю2 + T2 ( kV)4
(9)
Определим вид спектральной плотности
(5151) k, зная который можно найти искомое выражение для gac(r, г'). В адиабатическом приближении (т <§ тс) из (3) находим систему уравнений для флуктуаций 5I и 5lsou, переходя в которой к фурье-компонентам, получаем
1+
2 2 -2_ t (kV) 2k2 r/
i ю + t( kV) 2_
51 ю, k = 51
ю, k
(10)
Здесь rd = vText/Gb p(r) - радиус экранирования упругого поля дислокаций, введенный в [14], Text -энергия деформации.
С помощью (9), (10) находим пространственно-временную спектральную плотность флуктуа-ций, откуда
~ 2 <5I5 i> k=2in х 2 Vd-ю
22
ю + t (kV) ( 1 + k rd )
(11)
= p( r' ) -
Gb p ( r)p( r').
Text ( k2 + Г-2 )
Используя (11), окончательно получаем
r, r') = --^ф- XеХр-~Тdk = (2п)2Tex/ k2 + r-2
( 2 кГ
Gbabc '2nTe
(12)
CK o( r/rd ).
Раскладывая <5/5/™)r - r', t -t' в интеграл Фурье с учетом (6), (8), получаем выражение для спектральной плотности
Здесь К0(г/га) - функция Макдональда нулевого порядка, г = |г - г' | - расстояние между дислока
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.