РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 6, с. 591-597
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566(075.8)
МЕЛКОСЛОИСТАЯ СРЕДА КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2015 г. Р. Л. Евельсон
Академия гражданской защиты МЧС России Российская Федерация, 141435, Московская обл., Химки, микрорайон Новогорск
E-mail: red@cplire.ru Поступила в редакцию 20.08.2013 г.
Показано, что общее решение уравнений Максвелла в неоднородной изотропной периодической мелкослоистой среде, состоящей из n пар различных однородных изотропных плоских слоев, совпадает при n ^ да с общим решением этих уравнений в однородной анизотропной среде, являющейся одноосным кристаллом той же толщины, что и исходная неоднородная среда.
doi: 10.7868/S0033849415060066
1. В работе [1] показано, что задача о распространении электромагнитных волн в однородной анизотропной среде, характеризующейся диагональными тензорами электрической и магнитной проницаемостей
Гв11 0 0 ^
£ = 0 6 22 0 и ц =
10 0 633 )
Vn о о4 0 ц 22 о
о 0 Цзз)
(1)
относительно касательных к плоскостям г = const компонент поля
может быть сведена к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений
d dz
( Ex
Hx
V Hy J
= ikA
( Ex
Hx
V Hy J
A =
(
0 0
0 -
Vsii
0
2л
0
0 -ц11 0 0 0 0 0
2 Y 2
Ц11 0
(2)
где k = 2n/X, X — длина электромагнитной волны,
Yi = J— (22633 - а2); у2 = J— (22И33 - а2) (0 < arg у 1>2 < n). \езз ' V^33 '
При этом электромагнитное поле полностью характеризуется матричной экспонентой
(3)
exp (ikzA) =
cos kzy 1 0 0
0
cos kzy2 -— isin kzY2
Y 2
y2
—— i sin kz Y 2 cos kz Y 2
Ц11
— i sin kzY1
v Y1
Y1
0 — i sin kzY1
611
0 0
coskzY1
(4)
Отметим, что |ехр (кА)| = 1 в соответствии с Матричную экспоненту (4) можно предста
вить в виде
тем, что 8рА = 0. ехр (кА) = .Т^шз,
(5)
где T — знак транспонирования, а матрица
'1423 —
т т
J 11
есть перестановка строк вида
1 0 0 01
0 0 0 1 2
т2
0 1 0 0
0 0 1 0,
Г1 0 0 01
0 1 0 0
— 0 0 1 0
10 0 0 1J
1423
\T • '1423;
(6)
12 3 4
в единич-
Ч1 4 2 3,
ной матрице 34 четвертого порядка, а матрица О имеет блочно-диагональный вид
0
Q =
0
Q Е =
coskzj1
Q
— i sin kzY1
11
Qu =
— i sin kzY1
VY1
cos kzY2
coskzY1
(7)
(8а)
-—i sin kzY 2
Y2
-—i sin kz Y 2
Ц11
coskzY2
В случае изотропной среды, когда
е11 = е 22 = е 33 = е>
Y1 = Y 2 =
(8б)
(9)
^11 = м-22 = м-33 yl = y2 = vem> - а =y
для блоков матрицы (7) получим следующие выражения
( y ^ coskzY *sin kzy 6
Q с
Q,
-i sin kz Y cos kz Y
VY
cos kzY i sin kzY
-Y i sin kz Y
V Ц
2. Рассмотрим падение плоской волны под углом 9 на произвольную периодическую плоскослоистую структуру, состоящую из n пар изотропных и однородных слоев 1 и 2 с толщинами d1, d2 и электромагнитными параметрами соответственно sb и s2, ц2.
Как показано в [1], коэффициенты отражения и прохождения такой структуры полностью характеризуются произведением матричных экспонент типа (4) соответствующих каждому слою. В силу периодичности это произведение имеет вид Pn, где n — число пар слоев, а
P = exp (-ikd1A 1) exp (-ikd2A 2),
Y
coskzY
(10)
(11)
если нумерацию вести от границы раздела со средой, откуда падает волна.
На основании формул (5)—(7), (10), (11) получаем представление необходимых матричных экспонент для каждого слоя
exp (-ikd1A 1) = Tt423Q1T exp (-ikd2Á 2) = JT423Q2J
1423'
1423'
где
q1 =
Q«
0
)(1), у
q(
cos ф1
£1
• q 2 =
V п1э
0 q((2),
л
1 sin ф1
(12)
(13)
Q(1)
\(2)
i sin ф1
V П1э
Г U л cos ф1 -— i sin ф1
«1э
s1 cos ф1
U1
(14)
Пэ U1
i sin ф1 cos ф1
q(2) =
J
r n23. ■ л
cos ф2 —— i sin ф2
e 2
— i sin ф2 cos ф2
V п2э
cos ф2 — i sin ф2
П2э
(15)
п2э . .
i sin ф2 cos ф2
VM< 2 J
(16)
Ф1 = Ф2 = м2«2э-
Во избежание путаницы с нижними индексами 1, 2 в формулах (3), (9) для постоянных распространения у1, у2, характеризующих эффект двойного лучепреломления в анизотропной среде в каждом из изотропных слоев 1 и 2 (в которых нет этого эффекта) вместо у из (9) в формулах (14)—(16) введена величина пэ, имеющая смысл постоянной распространения или эквивалентного показателя преломления для каждого из двух слоев при угле падения 9:
(17)
п1э = - sin2 б, п2э = yje2ц2 - sin2 0, 0 < arg п12э < п.
В этом случае, в выражениях для параметров уь у2 в (9) надо положить а = sin 8. Перемножая экспоненты (12) на основании формул (5), (6) получаем
P = exp (-ikdiAi)exp (-kú^A2) = J^423QiQ2Ji423, (18)
а затем и результирующую матрицу (матрицант) всей периодической плоскослоистой структуры [1]
Pп = J1423 (Q1Q2)n Т
1423
(19)
МЕЛКОСЛОИСТАЯ СРЕДА КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
593
Для вычисления степени матрицы (19) вычислим а затем и ее степень сначала при помощи представлений (13) матрицу / n
q е12
q = qiq 2 =
Q «q i2)
0
q (1)q(2),
q e12 0
. 0 q (i2 у
QB = (Q1Q2 )n =
(20)
0 Q
(12 у
По формулам (14), (15) получаем:
(21)
q e12 =
cos 91cos ф 2
e 2п1э е1п2э
sin ф1Sln ф2 -l
f w
п2э . п1э . ^
cos ф^1П ф 2 + — sin ф1cos ф2
Vе 2 e1
-l
—sin ф1cos ф2 +—- cos ф1Sln ф2 | cos ф1cos ф2
V П1э П2э
е1п2э e 2п1э
sin ф1cos ф2
Q,12 =
f й1п2э • /и2 • Ui •
cos 91cos ф2 - 1 2э sin 91sinф2 11 -^cos91sin ф2 + —sin 91cos ф2
игЩэ КЩэ пъ
•f п1э ■ п2э ^ и2П1э •
11 —- sin ф1 cos ф2 + cos ф1 sin ф2 I cos ф1 cos ф2 - 2 sin ф1 sin ф2
V VU1
и 2
(22)
(23)
Если характеристический многочлен матрицы второго порядка QEl2
ОЕ12 - XJ2 = Х2 - ^ВрОЕ12 + ёе!0Е12 (24) имеет различные корни Х2, то, как известно [2]
Qen12 = К
qe12 x2j2 + ^ п qe12 x1j
-х 2 x 2
Аналогично для матрицы второго порядка Q^12
(25)
q(12 x4j2 . л п q(12 x3j2
í\': • ^(12 x4** 2 q(12 - x3
(26)
■ + х 4
X 3 — X 4 x 4 — X3
если различны корни Х3, Х4 характеристического многочлена
0,12 - хJ2 = х2 - хврО^ + ёе! Оц12. (27) Из формул (14), (15) видно, что
ёе! 0 ^ = ёе!0 = ёе!0(1 = ёе! 0((2) = 1. (28)
Но тогда по теореме о детерминанте произведения матриц из формул (20) следует, что
ёе! 0,12 = ёе! О ^ = 1, (29)
т.е. свободные члены многочленов (24), (27) равны единице. Поэтому на основании теоремы Ви-ета можно утверждать, что существуют некоторые в общем случае комплексные величины Ф1 и Ф2 такие, что корни многочленов (24) и (27) можно представить в виде
Х1 = ехр (/Ф1), X2 = ехр (-/ф), X3 = ехр(/Ф2), X4 = ехр(-/Ф2). Отсюда видно, что для следов матриц QEl2 и Qц12 на основании той же теоремы Виета справедливы представления
8р0 е12 + ' 2 = 2собфь
8р0ц12 = Х 3 + Х 4 = 2^Ф 2.
(30)
(31)
Используя определение следа матрицы [2], с учетом формул (22), (23) из (31) получаем:
cos Ф1 = cos ф1cos ф2 -
1 (е ,п,э б|П2э
-1 2 ■ + 1 2э I sin ф1 sin ф2.
2 \е1п2э е 2п1э
(32)
cos Ф2 = cos ф1COS ф2 -1 I + И-2П1э | sin ф1 sin ф2.
(33)
I sin ф, sin фч.
2 {Ц 2И1э Ц!И2э
Формулы (19), (21)—(23), (25), (26), (30), (32), (33) позволяют по заданным параметрам, составляющим период обоих слоев, вычислить матрицант всей плоскослоистой структуры, состоящей из произвольного числа n пар (периодов).
3. В предыдущем разделе был рассмотрен некоторый неоднородный слой, состоящий из п пар различных однородных плоских слоев, следующих друг за другом. Общая толщина D такого слоя
D = D1 + D2; D1 = nd1, D2 = nd2. (34)
Очевидно, что соответствующая однородная эквивалентная среда должна быть той же толщины D, что и рассмотренный выше неоднородный слой. Очевидно также, что требуемая однородность эквивалентной среды той же самой толщины D может быть достигнута только при достаточно малых толщинах слоев d1, d2. При фиксированных общих толщинах D1 и D2 последнее условие можно обеспечить путем увеличения числа периодов n:
л А , d2í , d1 -—, d2 = — (п ^да).
п п
(35)
Таким образом, задача сводится к нахождению предельных значений матриц (19) или (21) при п ^ да. Для этого, прежде всего, найдем приближенные выражения для матриц (22) и (23) при до-
статочно больших п. С этой целью подставим (35) в (16), тогда получим
где
1 1
ф1 = -улэ; ф2 =-w 2«2э,
n n
= kDi, у2 = kD2.
(36)
(37)
Подставив (36) в (22), (23) с точностью до чле-
нов порядка п 1 получим
(
Q
е12
2 лл
"2э
Vl~ + V 2~
-2
—1 (V^l + V 2S 2 ) V n
, (38)
(
Q
ц12
. ( n
1
2 2 л
n13 n23
¥1 — + ¥ 2 —
-1 - 2 у
n v
2 2 w
n13 n23
¥1 — + ¥ 2 —
s1 6
'-2 у
1
. (39)
= 1 "Л
2n 1
= 1 -
2n
¥1 + ¥ 2— II ¥1^ + ¥ 2Пъ — 6l J\ 62yj
cos Ф 2 =
Vl + V 2 — II Vl«l3 + V 2п22э —
Ц1 а Ц2л1
Отсюда видно, что величины Ф12 ^ 0 при п могут быть представлены в виде:
Ф1 =1
п
(41)
да
w>1 (¥161 + ¥262)
2 2 л
п1э П2э
¥1 — + ¥ 2 —
61 6 2 J
(42)
(0 < arg w1 < п).
Ф 2 = 1W2;
w2 =к (¥l—1 + ¥2—2)
f
2
п1э П2э
¥1 — + ¥ 2 —
V -1 —2 у
(0 < arg w2 < п).
(43)
Для упрощения нижеследующих выкладок введем сокращенные обозначения
2 2
ды = ¥ ,6, + ¥2^2, ?2е =¥ 1 — + ¥2 — ;
6, 6 2
пь
n
2э
= ¥ #1 + ¥ 2^ 2, = ¥ 1~ + ¥ 2
мч м- 2
Тогда вместо (38), (42) можно записать:
г е12
1 — fe n
V n
-SlE
1
; wi = ,
(44)
(45)
(46)
а вместо (39), (43) можно записать:
1?12
1 - ~9lM
— 92? v n
1
w2
— V q1nq2n
(47)
Однако при вычислении значений Ф1, Ф2 (необходимых для нахождения характеристических чисел (30) по формулам (31)) с использованием найденных приближенных матриц (38), (39) получаются неудовлетворительные значения Ф, = Ф 2 = 0. Таким образом, для нахождения значений Ф1, Ф2 необходимо иметь более точные разложения матриц (22), (23), чем (38), (39). Из формул (32), (33) следует, что для получения большей точности достаточно разлагать не сами матрицы (22), (23), а только их диагональные элементы. С точностью до членов порядка п-2, можно получить из формул (32), (33) соответственно выражения
cos Ф, =
Подставим (30), (42), (43) в формулы (25), (26), тогда получим:
Qd2 = exp(¿Wi)Qe12 - exp^ J2 2i sin Ф,
>Qe12 - exp^i)J2.
+
(48)
+ exp (-iw1)-
-2i sin Ф,
nn ^12 - exp (-гФ2) J2 Q^i2 = exp (iw2 )—*-
2i sin Ф2
/ ■ xQ^12 - exp (1Ф2)J2 + exp (—iw2)—-—
(49)
-2i sin Ф 2
Из (48) с учетом (46), (42) получаем с точностью
(40) до членов порядка п
Qn ^ exp (iwi)
qe12
2i sin Ф,
exp (-iw1) -2i sin Ф,
1 - exp(-/Ф,)
n
~9ie 1 - exp (-/Ф1 ) n
у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.