АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 85, № 2, с. 183-190
УДК 523.92-337+524.3-82-337+52-425
МЕРИДИОНАЛЬНАЯ ЦИРКУЛЯЦИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДИНАМО-ВОЛН
© 2008 г. Е. П. Попова1, М. Ю. Решетняк1'2, Д. Д. Соколов1
1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия 2Институт физики Земли Российской академии наук, Москва, Россия Поступила в редакцию 18.04.2007 г.; принята в печать 22.06.2007 г.
Исследовано влияние меридиональной циркуляции на солнечную динамо-волну в приближении Паркера методами ВКБ. Показано, что меридиональная циркуляция может существенно удлинить цикл активности, однако она в рамках рассматриваемого приближения не может обратить направление распространения динамо-волны. Если скорость циркуляции слишком велика, то решение концентрируется вблизи полюса, так что его уже не удается описывать в рамках приближения Паркера.
РАС Б: 95.30.Qd, 96.60.Hv, 97.10.Ld
1. ВВЕДЕНИЕ
Считается, что магнитное поле Солнца и звезд (а также планет) создается механизмом динамо. Схема работы динамо была предложена около полувека назад в фундаментальной работе Паркера [1]. Тороидальное магнитное поле получается из полоидального под действием дифференциального вращения. Обратный процесс превращения тороидального магнитного поля в полоидальное осуществляется в результате нарушения зеркальной симметрии конвекции во вращающемся теле. Сила Кориолиса при действии на поднимающиеся и расширяющиеся (опускающиеся и сжимающиеся вихри) приводит к преобладанию правых вихрей в северном полушарии (левых вихрей — в южном полушарии). Электродвижущая сила, возникающая в результате действия электромагнитной индукции Фарадея, после усреднения по пульсациям скорости приобретает компоненту аВ, параллельную среднему магнитному полю В. Она и замыкает цепь самовозбуждения в динамо Паркера. Напомним, что обычно электродвижущая сила и вызываемый ей ток перпендикулярны магнитному полю.
Простейшие модели солнечного динамо предсказывают слишком короткий цикл активности. Одним из возможных разрешений этой трудности является введение меридиональной циркуляции. Циркуляция, направленная против распространения динамо-волны, может существенно затормозить ее распространение [2, 3] и приблизить период активности к наблюдаемому [4, 5].
В настоящее время влияние меридиональной циркуляции в основном изучают методами прямого численного моделирования уравнений среднего
поля [6]. До настоящего времени не вполне ясно, насколько меридиональная циркуляция совместима со схемой Паркера. Проблема состоит в том, что схема Паркера в своем классическом виде не требует полного описания эволюции магнитного поля во всей конвективной зоне, а позволяет ограничиться описанием средних широт конвективной зоны и провести усреднение по толщине этой зоны. В результате упрощения уравнения динамо становятся доступными аналитическому анализу. Возможность упрощения связана с тем, что альфа-эффект, имеющий размерность скорости, не вовлекает тем не менее магнитное поле в адвекцию, а ограничивается его закруткой. Замечательно, что дифференциальное вращение, являющееся вторым генератором магнитного поля, также не выводит его из области средних широт. В свою очередь, меридиональная циркуляция, осуществляя необходимую закрутку, перемещает магнитное поле. Если это перемещение выводит магнитное поле из области средних широт, то его дальнейшая эволюция зависит от деталей течения и требует подробного описания всей конвекции. Это не только трудно технически, но и требует таких знаний о характере меридиональных течений, которыми мы не располагаем в силу более чем ограниченных знаний гидродинамики внутренних слоев Солнца.
В данной работе мы, следуя [7, 8], рассмотрим вопрос о влиянии меридиональной циркуляции на эволюцию магнитного поля, генерируемого механизмом динамо, в рамках простейшего обобщения уравнений динамо Паркера.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Напомним, что уравнения динамо Паркера получаются из полной системы уравнений электродинамики средних полей [9] в предположении, что динамо-волна распространяется в тонкой сферической оболочке (например, в инверсном слое). При выводе этих уравнений производится усреднение магнитного поля по радиусу в пределах некоторой сферической оболочки, где и происходит работа динамо, и отбрасываются члены, описывающие эффекты кривизны вблизи полюса. Брагинский [7] (см. также [8]) обратил внимание на то, что подобные уравнения можно вывести и для тонкой цилиндрической оболочки, а также на то, что в эти уравнения можно включить меридиональную циркуляцию. В результате уравнения динамо приобретают вид
(!)
дА тгдА
m+vm=aB +
дв2
dB тгдБ ВА д2 B
(2)
Здесь B — тороидальное магнитное поле, A пропорционально тороидальной компоненте векторного потенциала, которая определяет полоидальное магнитное поле. в — широта, которая отсчитывает-ся от экватора. Множитель cos в отвечает уменьшению длины параллели вблизи полюса. Уравнения выписаны в безразмерных переменных, так что амплитуды альфа-эффекта, градиента угловой скорости и коэффициент турбулентной диффузии объединены в безразмерное динамо-число D. Во втором уравнении опущен малый вклад альфа-эффекта, т.е. мы пользуемся так называемым аи-приближением. В диффузионных членах опущены эффекты кривизны. Для простоты мы считаем, что радиальный градиент угловой скорости не меняется с в. О формальной процедуре вывода подобных уравнений см. [10]. По соображениям симметрии (а(-в) = -а(в)) уравнения (1), (2) можно рассматривать лишь для одного (северного) полушария с условиями антисимметрии (дипольная симметрия) или симметрии (квадрупольная симметрия) на экваторе. Поскольку магнитное поле Солнца имеет дипольную симметрию, мы ей и ограничиваемся.
В уравнениях (1), (2) V — меридиональная циркуляция. Ее точный вид известен плохо, поэтому мы для простоты предположим, что V = const в северном полушарии и имеет противоположный знак в южном полушарии. Длина параллели уменьшается при приближении к экватору, так что мы считаем, что вещество, вовлеченное в циркуляцию, постепенно перемещается в область противотока, а магнитное поле остается в области генерации.
Несомненно, что это предположение ограничивает применимость модели, и рассмотрение более реалистичных распределений V представляет интерес.
Аналогичные уравнения можно вывести и для цилиндрического слоя. В этом случае роль полярного угла в играет высота над плоскостью экватора z, множитель cos в исчезает, предположение о постоянстве V выглядит более естественным. Вместо радиальных градиентов угловой скорости в уравнение входит градиент вдоль цилиндрического радиуса. В этом случае —zo < z < +zo, где z0 — максимальная высота слоя над плоскостью экватора, которая совпадает с границей зоны, охваченной конвекцией. Естественно считать, что a(±z0) = 0, хотя представляет интерес рассмотрение и других возможностей. Для конкретности мы рассматриваем первый случай (хотя результаты легко переносятся и на второй). Мы выбираем простейший вид а = sin в.
Приближение Паркера не описывает детально приполярные области, однако естественно ожидать, что амплитуда динамо-волны там невелика. Поэтому, следуя [11], мы считаем, что динамо-волна затухает вблизи полюса. Более детально поведение динамо-волны вблизи полюса в рамках простейших обобщений динамо Паркера исследовано в [12], где показано, что принятое приближение является разумным. Приближение Паркера также неполно описывает поведение динамо-волны вблизи экватора; о соответствующих поправках см. [13].
3. ЛОКАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Следуя [1], в [7, 8] изучено строение динамо-волны с учетом меридиональной циркуляции вблизи данной широты в*. Для целей связности мы кратко воспроизведем эти результаты. Рассмотрим динамо-волну вблизи в*, предположим, что а пространственно-однородно и включим его, а также множитель sin в*, в D. Тогда уравнения (1), (2) пространственно-однородны и решение пропорционально exp(7¿ + ikz). Возникающее дисперсионное соотношение
[(7 + iVk) — k2]2 = -iDka (3)
совпадает с дисперсионным соотношением для динамо Паркера при y + iVk, переопределенном как новая величина комплексной скорости роста. Это возможно, так как при локальном анализе волновой вектор k постоянен.
Уравнение (3) дает 7 + iVk = (1 + г) | -^f^ | 1//2 -— k2. Старшему собственному значению соответствует k = ±2-5/3\D\1/3 и y + iVk = (1 + i) • 3 • • 2-10/3\D\2/3. Для V = 0 и D < 0 динамо-волна
растет и распространяется по направлению к экватору. Если О > 0 и V = 0, то динамо-волна распространяется к полюсу. Для V = 0 результат более сложен. Динамо-волна сохраняет направление распространения, если ¡V | является достаточно малым. Однако, если V достигает критического значения
V* = V2\D\1/3,
(4)
то динамо-волна становится стоячей (мы, как обычно, рассматриваем случай О < 0). Для больших значений меридиональной циркуляции мнимая часть собственного числа меняет знак, и динамо-волна меняет направление распространения.
Остановка волны при V = V* была использована в [7] для объяснения существования супер-хронов (длительных периодов ~105 лет постоянной полярности геомагнитного диполя). Однако в рамках данного сценария вероятность установления режима с V = V* оставалась крайне малой.
Для пространственно-неоднородного распределения источников генерации динамо волновое число к зависит от положения, так что нельзя включить в скорость роста 7, которая должна быть постоянна. Поэтому локальный анализ оказывается неприменим. Ниже мы вместо локального анализа в рамках метода ВКБ строим приближенное (асимптотическое) решение уравнений нашей модели, которое становится все более точным по мере роста интенсивности генерации, которая определяется безразмерным числом |О|. При построении асимптотического решения мы опираемся на асимптотический анализ исходных уравнений Паркера, проведенный в [11]. В обоих случаях оказывается, что свойства динамо-волны в пространственно-неоднородной среде заметно отличаются от ее свойств в однородной среде, так что выводы локального анализа имеют ограниченную применимость.
4. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
Будем искать решение
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.