№ 2
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2015
УДК 621.311.001.57
МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ПОИСКА НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГООБЪЕДИНЕНИЙ
© 2015 г. С.М. УСТИНОВ
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (СПбПУ),
Санкт-Петербург
E-mail: usm50@yandex.ru
Приводится метод численного поиска значений настроек регуляторов, обеспечивающих требуемое демпфирование слабовозмущенных колебаний для заданной совокупности режимов больших энергообъединений. Он базируется на двухэтап-ной процедуре последовательного квадратичного программирования и может быть использован даже при некорректной постановке задач. Оба этапа этой процедуры учитывают ограничения на диапазон изменения варьируемых параметров. Число итераций невелико. Каждая из них требует решения полной проблемы собственных значений матрицы системы. Алгоритм включен в качестве подсистемы в вычислительный комплекс ПОИСК и обеспечивает автоматический и диалоговый режим оптимизации параметров управления для больших энергообъединений. Две тестовые схемы подтвердили высокую эффективность предложенного метода.
Ключевые слова: устойчивость энергосистем, общесистемные колебания в энергосистемах, метод поиска настроек регуляторов, последовательное квадратичное программирование, проблема собственных значений.
A NUMERICAL OPTIMIZATION METHOD FOR COORDINATED TUNING OF PSS TO IMPROVE INTERCONNECTED POWER SYSTEMS STABILITY
S.M. USTINOV
Saint-Petersburg State Polytechnical University, Saint-Petrsburg E-mail: usm50@yandex.ru
A numerical optimization method for coordinated tuning of regulators (AVR, PSS, SVC, etc.) to improve required damping of small disturbed oscillations for a variety of interconnected power systems operating conditions is given. The method is based on a two-stage procedure of sequential-quadratic programming and can be used even for ill-defined statements of problems. Both phases of this procedure take into account constraints on the range of parameters variation. The number of iterations is small. Each iteration of the two-stage procedure requires to solve complete eigenvalue problem for the system matrix. The algorithm is included as a subsystem in the advanced POISK software. It provides automatic and interactive mode of parametric optimization for large power pools. Two test systems have confirmed the high effectiveness of the proposed method.
Key words: power systems stability, inter-area oscillations in power systems, method for coordinated tuning of regulators, sequential-quadratic programming, complete eigenvalue problem.
ВВЕДЕНИЕ
Внимание к задаче обеспечения устойчивости объединенных энергосистем не ослабевает многие десятки лет. Значение проблем колебательной устойчивости отмечалось еще в конце прошлого века рабочей группой по системным колебаниям ("System Oscillations Working Group"), созданной под эгидой международного общества "IEEE Power Engineering Society" [1]. Изучалось влияние большого набора факторов (режимы, системы возбуждения, моделирование нагрузки и т.д.) на характеристики слабо-демпфированных или неустойчивых общесистемных колебаний, являвшихся предметом заботы энергообъединений во многих странах. Несмотря на успехи, поиски новых законов управления автоматическими регуляторами возбуждения (АРВ), алгоритмов выборов их настроек продолжаются [2—4]. Связано это с тем, что большие энергообъединения по мере развития их структуры и роста числа элементов часто приобретают новые динамические свойства и порождают новые проблемы. Следует отметить, что система рыночных отношений в энергосистемах многих стран резко повышает вероятность работы ЭЭС вблизи предельных режимов. При этом важно оценить и запасы по устойчивости, снизить риски каскадных аварий в ЭЭС [5].
Для решения задач в области статической устойчивости в СПбПУ был разработан вычислительный комплекс ПОИСК, получивший признание у нас в стране и за рубежом. Первые алгоритмы, положенные в его основу, были предложены около тридцати лет назад [6—9] и получили развитие в более поздних работах [10—13]. Одна из подсистем комплекса реализовала формализованный численный поиск единой настройки регуляторов для совокупности режимов ЭЭС. С этой целью для линеаризованной модели
f = A (k) x, (1)
dt
где k — вектор параметров системы управления; A — матрица состояния системы, предлагалось минимизировать следующую функцию качества
F = X («о -а,)2, (2)
а,- <а о
ориентированную на смещение влево на комплексной плоскости группы собственных значений X, матрицы A. Здесь а,- — вещественные части собственных значений, взятые с обратным знаком; а 0 — заданная величина показателя качества. Формула (2) обобщается на случай выбора единой системы настроек, робастной во всем диапазоне режимов работы. При этом обобщенная функция качества F формируется как сумма
критериев F k вида (2)
s
F = F(1) + F(2) + ... + F(s) = X F(k), (3)
k=1
где s — количество режимов работы, для каждой F k задается своя величина показате-
(k)
ля качества а о .
Описанная процедура имеет формализованный характер и позволяет полностью автоматизировать процесс выбора параметров управления. Вместе с тем каждое вычисление минимизируемой функции связано с решением полной проблемы собственных значений для матрицы состояния системы (1) на основе QR-алгоритма. Учитывая
рост трудоемкости последнего в кубической зависимости от размерности матрицы [14, 15], для моделей больших ЭЭС объем вычислений непреодолимо возрастает. Поэтому в [10] был предложен следующий подход, в основу которого положен модифицированный вариант градиентного метода минимизации.
Так как на практике приходится учитывать ограничения на диапазон изменения параметров k = . )T, kj e [kj11", kymax], выполняется следующая замена переменных
kj = j + k™x)/2 + [j - kjax)/2] sin qj, (4)
обычный градиентный метод минимизации без ограничений на qj принимает вид
Q(p+1) = Q(p) - h * gradF(Q(p)), (5)
где F — функция вида (2); p — номер итерации; Q = (q1,q2, ...)T — вектор новых переменных в соответствии с (4).
Компоненты вектора градиента вычисляются непосредственным дифференцированием (2) и (4)
dF dF dkj ST^ / \d<Xi n max , min4
=- 2 (ao )tt(kJ -kJ )cosqj, ()
dqj dkj dqj a¡ <ao dkj
da, ,
где —— элементы матрицы чувствительности, получающиеся по известным форму-
dkj
лам:
^ = vT ^u,/(vT u,); ^ = - Re
dkj dkj dkj
dXL.. (
dkj
Здесь А — матрица системы; X, = -а, + — ее собственные значения; иь V— собственные векторы матриц А и АТ соответственно.
Для значительного сокращения вычислительных затрат в [10] предлагалось не вычислять все собственные значения А на каждом шаге процесса минимизации (6), а использовать линейные аппроксимации зависимостей а,(к) при небольшом числе таких аппроксимаций и связанных с ними применений QR-алгоритма. Эта процедура позволила заметно уменьшить время расчетов, однако, и здесь среди нерешенных проблем оставались возможная овражность функции F, а также автоматизация процедуры выбора шага в направлении антиградиента. Устранить эти недостатки и еще сократить объем вычислений позволяет следующий подход, базирующийся на методе последовательного квадратичного программирования.
2. Двухэтапная процедура последовательного квадратичного программирования. Введем обозначения: к 0 — начальное значение вектора варьируемых параметров; Дк — вектор их приращений; а — вектор вещественных значений интересующей группы собственных значений, смещение которых в комплексной плоскости будет контролироваться. Тогда
а (к0 + Дк) = а (к0) + Н • Дк + (**), (8)
где слагаемое (**) содержит малые члены разложения второго порядка и выше, а эле-да ■
менты Ну = —матрицы Н вычисляются по формуле (7). Вводя вектор Да прираще-дк]
ний вектора а
Да = а (к0 + Дк) - а (к0),
ограничиваясь линейным приближением, и пренебрегая слагаемым (**), приближенно имеем
H A k «А а . (9)
Задаваясь желаемым значением вектора Аа, можно было бы выбирать вектор Ak из условия
||H • A k - А а ^ min,
но это приводит к недопустимости смещения в комплексной плоскости ряда собственных значений влево за желаемую степень устойчивости, что лишено практического смысла. Устранить недостаток позволяет введение вспомогательного вектора p, разрешающего неограниченное изменение влево контролируемой группы собственных значений, входящих в вектор а. При этом на одном шаге алгоритма решается следующая задача квадратичного программирования
||H -Ak - p -Да ^ min, (10)
p ^ 0, Ak min <Ak <Ak max.
Ограничения на Ak диктуются, в первую очередь, областью корректности квадратичной модели в связи с пренебрежением слагаемым (**) в (8). Кроме того, имеются и естественные технологические ограничения на диапазон изменения параметров.
В ряде случаев задача (10) может иметь не одно решение. При этом максимальный интерес вызывает то, которое имеет наименьшую длину ||Ak||, что повышает точность используемой аппроксимации в (8). Поэтому, после получения решения (10), обозначаемого как Ak*, предлагается обратиться к еще одной задаче квадратичного программирования
||А k|| ^ min, H -Ak > Аа *, A k min < Ak < Ak max, (11)
и процедура выполнения одного шага алгоритма становится двухэтапной. На втором этапе минимизируется величина ||Ak|| при условии, что H • Ak принимает значения не меньше А а * = H - A k *, где А а * — смещение доминирующей совокупности собственных значений, достигнутое на первом этапе при решении (10). Эта двухэтапная процедура легко распространяется и на случай выбора единой настройки АРВ для совокупности режимов работы энергосистемы, аналогично тому, как был выполнен переход от формулы (2) к выражению (3).
Потребность минимизировать ||Ak|| и, тем самым, снизить влияние возможной погрешности (**) в разложении (8) настолько привлекательна, что второй этап процедуры может быть проведен даже для случая, когда решение первого этапа будет единственным. Тогда уменьшение ||Ak|| достигается ценой небольшой "уступки" в улучшении демпфирования. Компоненты вектора А а * на втором этапе (11) задаются несколько меньшими, чем это было получено при решении (10),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.