ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 310-321
УДК 519.634
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ ДЛЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТРЕЩИН С ВОЗМОЖНЫМ КОНТАКТОМ БЕРЕГОВ1)
© 2015 г. Е. М. Рудой
(630090Новосибирск, пр-т Лаврентьева, 15, Ин-т гидродинамики СО РАН, Новосибирск гос. ун-т)
e-mail: rem@hydro.nsc.ru Поступила в редакцию 24.06.2014 г. Переработанный вариант 05.08.2014 г.
Рассматривается скалярное уравнение Пуассона в области с разрезом, на берегах которого заданы условия одностороннего ограничения. Предложен итерационный метод решения задачи. Метод основан на декомпозиции области и алгоритме Удзавы нахождения седловой точки Лагранжиана. Для построения алгоритма исходная область разбивается на две подобласти, в каждой из которых на каждом итерационном шаге решается линейная задача для уравнения Пуассона. Решения для каждой области связываются между собой двумя множителями Лагранжа: один обеспечивает "склеивание решений", а второй — выполнение условия одностороннего ограничения. Приведены примеры численного решения задачи. Библ. 23. Фиг. 4.
Ключевые слова: скалярное уравнение Пуассона, теория трещин, условия одностороннего ограничения, метод декомпозиции области, множители Лагранжа, алгоритм Удзавы.
Б01: 10.7868/80044466915020167
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается скалярное уравнение Пуассона в области с разрезом, на берегах которого задано условие одностороннего ограничения. А именно, считается, что скачок решения на разрезе неотрицателен. На внешней границе области задаются однородные условия Дирихле. Данное уравнение описывает равновесие мембраны, содержащей трещину. Таким образом, можно говорить о модельной задаче теории трещин с возможным контактом берегов (см. [1], [2]). Задача формулируется в виде задачи минимизации функционала энергии на множестве допустимых функций, которая, в свою очередь, эквивалентна вариационному неравенству. Для нахождения решения задачи минимизации строится итерационный процесс. Для этого применяется два подхода: метод декомпозиции области (см. [3], [4]) и метод Удзавы решения вариационных неравенств (см. [5], [6]).
Отметим, что метод декомпозиции области широко используется для решения различных задач математической физики, в том числе и для решения контактных задач механики деформируемого твердого тела (см., например [7]—[10]). Численное решение задач теории трещин с возможным контактом берегов можно найти в [11]—[15].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть О с К2 — ограниченная область с липшицевой границей дО. Пусть Гс с О — гладкая кривая без самопересечений. Предположим, что О разбивается на две подобласти 01 и 02 с липши-цевыми границами д01 и д02 соответственно. Положим Е = д01 п д02. Будем считать, что Гс с Е;
пусть Г = Е\ Гс, V — единичный вектор нормали к Е, направленный таким образом, что V есть внешний вектор нормали к О2.
Рассмотрим краевую задачу
-Ди = / в 0С, (1)
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 13-01-00017, 13-08-01097).
[ и ] > 0,
и = 0 на дО,
'ди
.ду.
= 0, — > 0, — [ и ] = 0 на Гс, (2)
ду ду
где [и] =и2 — щ; и,- есть сужение функции и на подобласть О,, - = 1, 2.
Уравнения (1) и краевые условия (2) определяют прогибы мембраны, содержащей трещину Гс и находящейся в равновесии под действием внешней силы / При этом предполагается, что берег трещины со стороны области О2 лежит не ниже берега трещины со стороны области 01. Последнее условие в (2) означает, что если [и] > 0 (т.е. берега трещины не контактируют), то — = 0 на
ду
обоих сторонах разреза. Если же — > 0, то [и] = 0 на Гс, т.е. берега трещины смыкаются. Таким
ду
образом, задача (1) является модельной задачей теории трещин с возможным контактом берегов, а условия (2) — модельным условием непроникания.
Для того чтобы дать вариационную постановку задачи (1), введем следующее функциональное пространство:
V = {V е Н (ос)| V = 0 п.в. на дО}; множество допустимых функций:
Кс = { V е V [ V] > 0 п.в. на Гс}. Затем определим функционал энергии:
П( V) = 1 ||VV2Лх - ^¿Х.
а "с
Задача (1), (2) допускает следующую вариационную постановку: найти такую функцию и е Кс,
что
П(и) = Ы П( V). (3)
V е Кс
Из теории вариационного исчисления (см. [5], [16]) следует, что существует единственное решение и е Кс задачи (3).
3. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧИ
Основываясь на методе декомпозиции области, перепишем задачу (3) в эквивалентном виде. Для этого определим следующие функциональные пространства:
V = {V, е Н(О,)| V, = 0 п.в. на дО, п дО}, , = 1, 2,
и множество Хес с ¥1 х У2, где
Кес = {(VI, V2) е VI х V2 - VI > 0 п.в. на Г„ V2 - VI = 0 п.в. на Г}.
Будем считать, что шеа8(дО; и дО) > 0, - = 1, 2. Поэтому в силу неравенства Пуанкаре норму в пространстве Ух можно определить следующим образом:
2
V,
||Vv,|2¿х, V, е V, , = 1, 2.
<11V _
п,
Используя разложение области О на 01 и 02, функционал энергии П(^ представим в виде суммы двух функционалов, определенных в подобластях О1 и О2, т.е.
П( V) = П1 ( VI) + П2 ( V2), (4)
где
П,( V) = 1 || Vv,|2йх - ^¡ёх, VI = V ц е ^ / = 1, 2.
Рассмотрим следующую задачу минимизации: найти такую пару функций (иь и2) е Кс, что П1 (Щ) + П2(Щ) = (П1( VI) + П2( V2)). (5)
(VI, Х^) е К%с
Теорема 1. Задача (5) имеет единственное решение (иь и2) е Кс Кроме того,
и1 = и| П , I = 1, 2, (6)
где и — решение задачи (3).
Доказательство. Существование и единственность решения задачи (5) следует из теории вариационного исчисления (см. [5]). В свою очередь, равенства (6) следуют из аддитивности интеграла Лебега и того факта, что включение е Кс выполняется тогда и только тогда, когда функция
v(x) =
f v1 (x), x е Oj, [ V2(x), x е O2,
принадлежит множеству Кс. Теорема доказана.
Замечание 1. В силу дифференцируемости по Гато функционалов П;, I = 1, 2, задача (5) эквивалентна следующему вариационному неравенству:
(Vv1 - Vu1)йх + ^и2^^ - Vu2)йх > |/( v1 - и1 )йх + |/( v2 - и2)йх У( v1, v2) е К&с, (7)
П2 П1 П2
из которого, в частности, следует тождество
|| Vu1|2 йх + | ^и2|2йх = |/и1йх + |/и2 йх. (8)
4. СМЕШАННАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА
Далее с задачей (5) мы ассоциируем функцию Лагранжа. Для этого определим множества
Л, = {h, е Ь2(Г,> 0 п.в. на Г,},
Л = W)
и функцию Лагранжа для задачи (3)
L( vj, V2, h,, h) = П( Vj) + П2( V2) + Jh,( vj - V2)ds + Jhg( Vj - V2)ds.
Гс rg
Справедливо равенство
nj( Vj) + П2( V2) = sup L( Vj, V2,Xc,Xg). (Xc, Xg) eAc X Ag
Отсюда следует, что (5) принимает следующий вид: найти такую пару функций (u1, u2) е V1 х V2, что
nj(Uj) + П2(U2) = inf sup L( Vj, V2, hc, hg). (9)
(vj, v2) e Vj x V2 (X,, Xg) еЛ, xA{
Q
Q
Q
Q
2
Следовательно, с задачей (9) естественно связать задачу об отыскании седловой точки лагранжиана L. К сожалению, в силу того, что оператор следа из H1(Q(), i = 1, 2, в Х2(Гс) не является сюръективным, то известные теоремы не гарантируют существование седловой точки лагранжиана L. Кроме того, известно, что решение u задачи (3) и, соответственно, функции u1 и u2, могут
иметь особенность в окрестности вершины трещины порядка Jr, где r — расстояние до вершины трещины (см. [17]). Следовательно, в этом случае не существует множителей Лагранжа, принадлежащих пространствам L2(rc) и L2(rg).
Отметим, что в нашем случае можно лишь утверждать, что выполняется следующее равенство (см. [18]):
min sup L( v, v2, Xc, Xg) = sup min L(vb v2, Xc, Xg). (10)
( Vj, v2) e V1 x V2 (Xc, Xg) eA, x Ag (Xc, Xg) eA, x Ag ( vj, v2) e Vj x V2
Далее рассмотрим семейство задач об отыскании седловой точки, зависящее от параметраp > 0 и аппроксимирующее задачу (10). Для этого будем использовать подход, применяемый в [19] для исследования задачи о кручении упруго-пластического стержня.
Пусть p > 0, положим
U = { v 6 V|Nlv<p}, i= J, 2,
Ap = {X, 6 L2(Г,)|0 <X, <p п.в. на Г,},
Лр = {Xg 6 L2(rg)| -p <Xg < p п.в. на rg}.
Рассмотрим следующую задачу об отыскании седловой точки лагранжиана L. Найти функции
(Up, U2, цp, vp) 6 U x U xApp xAp такие, что
L(Up, «2, X,, Xg) < L(Up, u2, y,p, Vp) < L( Vj, V2, Vp, Vp) V( Vj, V2, X,, Xg) 6 U x U xA^ x Лp. (11)
Из теории существования седловых точек (см., например, [5], [20]) следует, что для каждого p > 0 задача (11) имеет решение. Кроме того, несложно показать, что пара (up, «2) определяется единственным образом.
Неравенства (11) эквивалентны выполнению следующих условий:
J v«p (V Vj - V«) dx + J v«2(v V2 - V«2)dx + JVp( Vj - V2 - (Up- uP2))ds +
П П Г
JV( Vj - V2 - («j - «2))ds > Jf( Vj - uj)dx + Jf( V2 - «2)dx V( Vj, V2) 6 Uj x U2,
(12)
+g
]Х (и - и2) * < I йи - и2) * ^Хс .а:, (13)
Гс Гс
(и: - ир2) ¿з < I^ ( и: - ир2) ¿з УХе е Лр. (14)
ГГ 1 е 1 е
Справедлива
Теорема 2. Пусть (и1, и2) — решение задачи (5); (ир, и2, цр) — решение задачи (11). Тогда при р —» да
ис —»- и, сильно в V, I = 1, 2. (15)
rg
п
п
Доказательство. Подставим в (12) в качестве тестовых функций VI = 0, I = 1, 2. Получим неравенство
И2Vj + luft + JЦр(- u2)ds + Jцp(- u2)ds < Jfujdx + Jfu2dx.
Qj Q2
Подставив Ас = 0 и А = 0 в (13) и (14) соответственно, получим
J ц (uj - u2) ds > 0,
(16)
(17)
Jцр(uj - u2)ds > 0.
(18)
Следовательно, в силу неравенства Пуанкаре из (16) имеем оценку
И ^ < с Ур > 0, , = 1, 2. (19)
Так как последовательности {и1} и {и2} ограничены, то существуют подпоследовательности {и1 }, {и2 } и функции и1 е Уъ и2 е У2 такие, что прир' —- да
ир —- и' слабо в V, I = 1, 2.
Покажем, что (и1, и2) е Для этого сначала заметим, что из неравенства (13) следует, что
0, иР(х) - ир;(х) < 0,
Ир (х) =
В свою очередь из (14) получаем
Цр (x) =
Iс, up(x) - u2(x) > 0.
f-p, up(x) - u2(x) < 0, Ic, u2(x) - u~2(x)> 0.
Введем обозначения
где
Ip = J( u2 - u2 )+ds,
Г,
Jc = J (u2 - u2) ds + J( u2 - u2)+ds,
v+(x) = f v(x), v(x)> 0,
(20)
(21)
0, v(x)< 0,
Заметим, что из (20) и (21) следует, что
Jцр(u2 - u2)ds = cIp,
г
г
g
г
г
g
гг 1 g 1 g
V = V+ — V.
г
JHp( uPi - «2)ds = PJp•
Далее из (16), (17), (18) и (19) имеем оценку
0 < p (Ip + Jp )< с,
откуда следует, что
lim (Ip + Jp) = 0 •
p ^ да
Возьмем произвольную функцию ф е C0 (Гс) такую, что ф > 0. Имеем
|
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.