Автоматика и телемеханика, JV« 4, 2009
PACS 02.30.Yy
© 2009 г. Ю.С. ОСИПОВ, академик РАН (Президиум РАН, Москва),
A.B. КРЯЖИМСКИЙ, академик РАН (Математический институт РАН им. В.А. Стеклова, Москва),
B.И. МАКСИМОВ, д-р физ.-мат. наук (Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург)
МЕТОД ЭКСТРЕМАЛЬНОГО СДВИГА H.H. КРАСОВСКОГО H ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ1
Для гранично-управляемой динамической системы, описываемой параболическим дифференциальным уравнением с краевым условием Неймана, строятся решения задачи отслеживания эталонного движения, задачи отслеживания эталонного управления и задачи гарантированного управления (при условии доминирования ресурса управляющей стороны). В основе решений метод экстремального сдвига H.H. Красовского из теории позиционных дифференциальных игр.
1. Введение
В данной работе показано, что для гранично-управляемой параболической системы при решении трех разных по своей природе задач - задачи отслеживания эталонного движения, задачи отслеживания эталонного управления и задачи гарантированного управления - может быть использован единый подход, основанный на методе экстремального сдвига H.H. Красовского из теории позиционных дифференциальных игр [1].
Поясним содержание обсуждаемых задач. Далее T = [0,$] - ограниченный отрезок времени, П - ограниченная открытая область в Rn с гладкой границей оператор Лапласа! для всякой дважды дифференцируемой скалярной функции ж, определенной на П,
ALx(r]) = j2^ir (v = (т, ■ ■ ■, Vn) & Rn)-i= 1 ^
Принимаем следующие обозначения:
H = Ь2(П), U = Ь2(Т).
Через | ■ \H и (■, -)H обозначаем соответственно норму и скалярное произведение в H, через \ ■ - норму в U.
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 06-01-00034, 07-01-00008 и 09-01-00378), Программы Президиума РАН «Процессы управления» и У рало-Сибирского интеграционного проекта.
Рассмотрим динамическую систему, описываемую параболическим дифференциальным уравнением
(1) х^,п) - Льх(Ь,п) + *М= /(*,п) №,п) е Т х П)
с начальным условием
(2) х(0, п) = хо(п) (п е П) и граничным условием
дх(Ь, п)
(3)
дп
«(Ь) ((Ь,п) е М х Г).
Здесь начальное состояние х0 (■) - фиксированный элемент из Н, «(■) е ; и) -
граничное управление, функция /(■, ■) : Т х Дп ^ Д1 зафиксирована, при этом отображение Ь ^ / (Ь, ■) есть элем ент ; Н).
Обсуждаемые задачи рассматриваем с точки зрения управляющей стороны, в ведении которой находится выработка граничного управления.
На отрезке времени Т зададим конечное (достаточно плотное) семейство Л = = (тг)™1 моментов наблюдения. Для простоты считаем, что моменты наблюдения расположены на одном расстоянии друг от друга: = т + 6 (г = 0,... ,т — 1), при этом т0 = 0 и тт = Пусть в каждый момент т (г = 1,..., т) наблюдается состояние х(т) = х(т, ■) е Н системы (1)-(3) и результат наблюдения есть некоторый элемент е Н такой, что
(4) — х(т)|н < Л.
Здесь Л > 0 — верхний порог для погрешности наблюдения; считаем, что Л мало.
Задача отслеживания эталонного движения. Пусть выделено эталонное движение х*(-), являющееся решением начально-краевой задачи (1)-(3) при «(■) = «*(•), где «*(■) - эталонное граничное управление. Эталонное граничное управление «*(■) и эталонное движение х* (■) заранее неизвестны. Априорная информация об эталоном граничном управлении состоит в том, что это управление принимает значения в заданном ограниченном и замкнутом множестве Р с и. В каждый момент т (г = 1,..., т) управляющей стороне сообщается текущее эталонное состояние х* (т). Для системы (1)-(3) требуется сконструировать алгоритм управления, который, используя поступающую в моменты наблюдения информацию, формирует текущие значения и(Ь) е Р граничного управления так, что соответствующее движение х(-) системы (1)-(3) протекает в малой окрестности эталонного движения х*(-).
Задача отслеживания эталонного управления (см. [2, 3]). В условиях предыдущей задачи для системы (1)-(3) требуется сконструировать алгоритм управления, который, используя поступающую в моменты наблюдения информацию, формирует значения и(Ь) е Р граничного управления так, что складывающаяся реализация «(■) граничного управления находится в малой окрестности эталонного граничного управления «*(•).
Задача о гарантированном наведении (см. [1]). Предположим, что граничное условие для системы (1)-(3) зависит от значений не наблюдаемого управляющей стороной граничного возмущения «(•) е ; и), т.е. имеет вид
^ дх(г, Г])
дп
= «(ь) — «(*) ((ь,п) е (0,^1 х Г).
г
Пусть в пространстве и заданы множества Р и ^ допустимых значений граничного
Н
г
системы (1), (2), (5) зафиксированы семейство (Mt)teT терминальных множеств и семейство (Nt)teT ограничивающих множеств. Для системы (1), (2), (5) требуется сконструировать алгоритм управления, который, используя поступающую в моменты наблюдения информацию, формирует текущие значения u(t) £ P граничного управления так, что соответствующее движение x(-) системы (1), (2), (5), независимо от реализации граничного возмущения, в некоторый момент т £ T приходит в е-окрестность терминального множества MT, не покидая е-окрестностей ограничивающих множеств Nt при t ^ т.
Для решения обозначенных задач применим подход, основанный на методе экстремального сдвига H.H. Красовского - одном из центральных элементов теории позиционных дифференциальных игр [1]. Метод экстремального сдвига служит прежде всего для обоснования исчерпывающего, с теоретико-игровой точки зрения, характера позиционного управления - управления, реагирующего на наблюдения лишь фазовых состояний системы; он также составляет базу для построения законов управления с обратной связью, устойчивых относительно малых помех в канале наблюдения. Данный метод, изначально связанный с конечномерными управляемыми системами, был затем распространен на ряд классов бесконечномерных систем, в том числе на системы с запаздыванием (см. [4]) и системы с распределенными параметрами (см. [5, 6]). В [2, 7-14] метод экстремального сдвига соединен с методами теории некорректных задач [15] и использован для решения прототипов рассматриваемой здесь задачи об отслеживании эталонного управления - задач о динамическом восстановлении ненаблюдаемых входов управляемых систем. В [7, 11-12, 16] указаны другие приложения метода экстремального сдвига, в частности приложения в области методов оптимизации.
Прежде чем переходить к решению обозначенных выше задач, дадим формальное определение движения системы (1)-(3).
Введем в рассмотрение отображение Неймана N [17]: Nw, для каждого w £ U, есть (единственное) обобщенное решение эллиптического уравнения
А Lz — z = 0 в П
с граничным условием
dz dn
таким образом,
Nw £ H,
д (Nw)
дп
£U
и выполняется условие:
(Nv)(n)[Alф(щ) + ф(п)] dn = ф(а)
d(J\fv)(a) дп
da (ф £ Н2(П));
здесь Н2 (&) - пространство Соболева [14]. От метим, что N есть линейный ограниченный оператор, действующий из и в Н [13, 18].
Пусть : 4 ^ 0} - аналитическая сжимающая полугруппа линейных непре-
рывных самосопряженных операторов в Н (оператор 5(0) тождественен), инфини-тезимальным генератором которой служит оператор А вида
Ay = Alv — y,
r
ATTTiD TTA TTQUIXT-TTI U Q
UliJ^t^wltnnolll Jtld
I dz
: 0
V(A) = \zGH2(Q): g
г
[13, 19]. Под движением системы (1)-(3) (решением начально-краевой задачи (1)-(3)), соответствующим граничному управлению м(-) £ ; и), следуя [13],
понимаем функцию х(-) £ С(Т; Н) вида
(6) х(4) = 5(¿)ж0 + ^ У 5(4 - т) ¿т + У 5(4 - т)/(т, ■) ¿т.
о о
Далее оператор А отождествляем с его изоморфным расширением АН ^ Р*(А) (см. [13, 18, 19]). Так
КЕ1К все собственные значения оператора А положительны, существует линейный ограниченный обратный оператор А-1 : Н ^ Н (см. [20, с. 291], [13, с. 54]). Заметим также, что согласно [18, с. 314]
V
5(ф - г = А У 5(4 - ф^т (V ^ 0, г £ Н),
о
что вследствие сжимаемости полугруппы {5(4) : 4 ^ 0} дает:
(7) |А-1{5(ф - 4|я < |г|яV (V ^ 0, г £ Н);
последним свойством воспользуемся в дальнейшем (см. доказательства леммы 1 и теоремы 1).
2. Задача отслеживания эталонного движения
Пусть «*(•) £ L^(T; U) - эталонное граничное управление, принимающее значения в заданном ограниченном, замкнутом множестве P С U, и x*(-) - соответствующее управлению «*(•) эталонное движение системы (1)-(3). Пусть в каждый момент Tj наблюдения (i = 1,..., m) управляющая сторона получает сигнал £ H о реальном состоянии х(т) системы (1)-(3), подчиненный неравенству (4), и сигнал £ H о ее эталонном состоянии x*(Tj), подчиненный аналогичному неравенству:
(8) & - x*(Tj)iH < h.
Укажем алгоритм управления системой (1)-(3), который решает задачу об отслеживании ею эталонного движения x*(-), т.е. который, используя информацию, поступающую управляющей стороне в моменты Tj (i = 1,..., m), последовательно формирует значения u(t) £ P граничного управления на полуинтервалах [т , Tj+1) таким образом, что в каждый момент t £ T состояние x(t) системы (1)-(3) находится в £-окрестности эталонного состояния x*(t) в том смысле, что
(9) sup |A-1 (x(t) - x*(t)| h < £;
teT
число £ > 0 считаем заданным.
Алгоритм состоит в следующем. В начальный момент т0 = 0 полагаем:
(10) u(t) = u0 £ P для всех t £ [т0,т1);
выбор элемента u0 произволен. В каждый момент Ti наблюдения (i = 1,... ,m) при получении сигнала £ H о состоянии системы и сигнала £ Ho ее эталонном состоянии полагаем
(11) Si = -
выбираем ui из условий
(12) ui £ P, (si,Ящ)и < inf (si,Nw)h + h
wEP
и задаем
(13) u(t) = ui для всех t £ [ri,Ti+1).
Способ выбора в каждый момент ^наблюдения значения ui граничного управления на полуинтервале [Ti,Ti+1), представленный формулой (12), есть прямой аналог оригинального метода экстремального сдвига H.H. Красовского. На этом основании алгоритм (10)—(13) формирования значений граничного управления назовем алгоритмом экстремального сдвига.
Движение x(-) системы (1)-(3), которое соответствует граничному управлению ^-^удовлетворяющему (10)-(13), где £ H и £** £ H подчинены неравенствам (4) и (8) (i = 1,...,m), назовем движением системы (1)-(3) под действие
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.